2022-2023学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共 10 题，共 30 分）

1．（3 分）一元二次方程3x2 - x - 2 = 0 的二次项系数是 3，它的一次项系数是( )

第 9页（共 30页）

A. -1
B. -2
C．1 D．0

2．（3 分）如图所示，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点C 落在点C¢ 处，折痕为 EF ，若ÐABE = 20° ，那么ÐEFC¢ 的度数为( )

A．115° B．120° C．125° D．130° 3．（3 分）一元二次方程 x2 - 2(3x - 2) + (x + 1) = 0 的一般形式是( )

A． x2 - 5x + 5 = 0
B． x2 + 5x - 5 = 0
C． x2 + 5x + 5 = 0
D． x2 + 5 = 0

4．（3 分）“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了 210 本图书，如果设该组共有 x 名同学，那么依题意，可列出的方程是( )

A． x(x + 1) = 210
B． x(x -1) = 210
C． 2x(x -1) = 210
D． 1 x(x - 1) = 210
2

5．（3 分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15% 和45% ，则口袋中白色球的个数可能是( )
A．24 B．18 C．16 D．6

6．（3 分）路边有一根电线杆 AB 和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端 A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上 E 点（如图），已知 BC = 5 米，长方形广告牌的长 HF = 4 米，高 HC = 3 米， DE = 4 米，则电线杆 AB 的高度是( )

A．6.75 米 B．7.75 米 C．8.25 米 D．10.75 米

7．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AB 边的中点，点 F 在 DE 上， CF = CD ，过点 F 作 FG ^ FC 交 AD 于点 G ．下列结论：① GF = GD ；② AG > AE ；③ AF ^ DE ；④ DF = 4EF ．正确的是( )
A．①② B．①③ C．①③④ D．③④

8．（3 分）设 x ， x 是一元二次方程 x2 - 2x - 3 = 0 的两根，则 x2 + x2 = ( )
1 2 1 2

A．2 B． -2
C. -1
D．10

9．（3 分）若关于 x 的方程 x2 - 2x + m - 1 = 0 有两个实根 x 、 x ，则 x x (x2 + x2 ) - 2x2 + 4x
1 2 1 2 1 2 1 1

的最大值是(
)

A．3
B．4
C．4.5
D．5

10．（3 分）一次函数 y = ax + b 和反比例函数 y = a - b 在同一平面直角坐标系中的大致图象
x
是( )

A． B．
C． D．

二、填空题（共 7 题，共 28 分）

11．（4 分）如图，在DABC 中， ÐACB = 90° ，点 D 是 AB 的中点， CD = 2 ，则 AB = ．

12．（4 分）已知：如图，矩形 ABCD 的长和宽分别为 2 和 1，以 D 为圆心，AD 为半径作 AE
弧，再以 AB 的中点 F 为圆心， FB 长为半径作 BE 弧，则阴影部分的面积为 ．

13．（4 分）设 a ， b 是方程 x2 + x - 2018 = 0 的两个实数根，则(a -1)(b -1) 的值为 ．

14 ．（ 4 分） 关于 x 的一元二次方程 x2 - (k -1)x - k + 2 = 0 有两个实数根 x ， x ， 若
1 2

(x1 - x2 + 2)(x1 - x2 - 2) + 2x1 x2 = -3 ，则 k = ．

15．（4 分）若从-1 ，1，2 这三个数中，任取两个分别作为点 M 的横、纵坐标，则点 M 在第二象限的概率是 ．

16．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 1 ， BC = 2 ， P 为线段 BC 上的一动点，且和 B 、 C 不重合，连接 PA ，过点 P 作 PE ^ PA 交CD 于 E ，将 DPEC 沿 PE 翻折到平面内，使点C 恰好落在 AD 边上的点 F ，则 BP 长为 ．

17．（4 分）如图，函数 y = x 与 y = 4 的图象相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作 x 轴
x
垂线，垂足分别为点C 、 D ，则四边形 ACBD 的面积为 ．

三、解答题（共 8 题，共 62 分）

18．（6 分）先观察如图的立体图形，再分别画出从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形．

19．（6 分）已知关于 x 的方程 x2 - 2mx + m2 - 4m - 1 = 0
（1） 若这个方程有实数根，求 m 的取值范围；

（2） 若此方程有一个根是 1，请求出 m 的值．

20．（6 分）将 A ， B ， C ， D 四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．
（1） A 在甲组的概率是多少？

（2） A ， B 都在甲组的概率是多少？

21．（8 分）如图，点 D ， E 在线段 BC 上， DADE 是等边三角形，且ÐBAC = 120°
（1） 求证： DABD∽DCAE ；
（2） 若 BD = 2 ， CE = 8 ，求 BC 的长．

22．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB = 3 ， BC = 5 ．
（1） 尺规作图：作ÐABC 的平分线 BF ，分别与 AC 、 AD 交于点 E 、 F ．
（2） 求 AE 的值．
EC

23．（8 分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆 AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分 AC 与未折断树杆 AB 形成53° 的夹角．树杆 AB 旁有一座与地面垂直的铁塔 DE ，测得 BE = 6 米，塔高 DE = 9 米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆 AB 落在地面的影子 FB 长为 4 米，且点 F 、 B 、C 、 E 在同一条直线上，点 F 、 A 、 D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin 53° » 0.8 ，cos 53° » 0.6 ， tan 53° » 1.33)

24．（10 分）如图 1，在平面直角坐标系中， YOABC 的一个顶点与坐标原点重合， OA 边落

在 x 轴上，且OA = 4 ， OC = 2
， ÐCOA = 45° ．反比例函数 y = k (k > 0, x > 0) 的图象
2
x

经过点C ，与 AB 交于点 D ，连接 AC ， CD ．

（1） 试求反比例函数的解析式；

（2） 求证： CD 平分ÐACB ；

（3） 如图 2，连接OD ，在反比例函数图象上是否存在一点 P ，使得 S

存在，请直接写出点 P 的坐标．如果不存在，请说明理由．


DPOC


= 1 S
2


DCOD


？如果

25．（10 分）如图 1，在DABC 中，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上， DE / / BC ， AD = AE ，
（1）求证： ÐB = ÐC ；
（2） 若ÐBAC = 90° ，把 DADE 绕点 A 逆时针旋转到图 2 的位置，点 M ，P ，N 分别为 DE ，
DC ， BC 的中点，连接 MN ， PM ， PN ．

①判断DPMN 的形状，并说明理由；
②把DADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD = 4 ， AB = 10 ，试问DPMN 面积是否存在最大值；若存在，求出其最大值．若不存在，请说明理由．

第 30页（共 30页）

2022-2023 学年广东省广州市荔湾区真光中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共 10 题，共 30 分）

1．（3 分）一元二次方程3x2 - x - 2 = 0 的二次项系数是 3，它的一次项系数是( )

A. -1
B. -2
C.1 D．0

【解答】解：一次项系数为-1 ， 故选： A ．
2．（3 分）如图所示，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点C 落在点C¢ 处，折痕为 EF ，若ÐABE = 20° ，那么ÐEFC¢ 的度数为( )

A．115° B．120° C．125° D．130°
【解答】解： RtDABE 中， ÐABE = 20° ，
\ÐAEB = 70° ；
由折叠的性质知： ÐBEF = ÐDEF ； 而ÐBED = 180° - ÐAEB = 110° ，
\ÐBEF = 55° ；
易知ÐEBC¢ = ÐD = ÐBC¢F = ÐC = 90° ，
\ BE / /C¢F ，
\ÐEFC¢ = 180° - ÐBEF = 125° ． 故选： C ．
3．（3 分）一元二次方程 x2 - 2(3x - 2) + (x + 1) = 0 的一般形式是( )

A． x2 - 5x + 5 = 0
B． x2 + 5x - 5 = 0
C． x2 + 5x + 5 = 0
D． x2 + 5 = 0

【解答】解：一元二次方程 x2 - 2(3x - 2) + (x + 1) = 0 的一般形式是 x2 - 5x + 5 = 0 ．

故选： A ．
4．（3 分）“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了 210 本图书，如果设该组共有 x 名同学，那么依题意，可列出的方程是( )

A． x(x + 1) = 210
B． x(x -1) = 210
C． 2x(x -1) = 210
D． 1 x(x - 1) = 210
2

【解答】解：由题意得， x(x -1) = 210 ， 故选： B ．
5．（3 分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有 40 个，除颜色外其他

完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15% 和
45% ，则口袋中白色球的个数可能是( )

A．24 B．18 C．16 D．6
【解答】解：Q摸到红色球、黑色球的频率稳定在15% 和 45% ，
\摸到白球的频率为1 - 15% - 45% = 40% ，
故口袋中白色球的个数可能是 40 ´ 40% = 16 个． 故选： C ．
6．（3 分）路边有一根电线杆 AB 和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端 A 的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G 处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上 E 点（如图），已知 BC = 5 米，长方形广告牌的长 HF = 4 米，高 HC = 3 米， DE = 4 米，则电线杆 AB 的高度是( )

A．6.75 米 B．7.75 米 C．8.25 米 D．10.75 米
【解答】解：过点G 作GQ ^ BE 于点Q ， GP ^ AB 于点 P ，

根据题意，四边形 BQGP 是矩形，

\ BP = GQ = 3 米，
DAPG∽DFDE ，
\ AP = 5 + 2 ，
3 4
\ AP = 21 ，
4
\ AB = 21 + 3 = 8.25 （米) ，
4
故选： C ．

7．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 AB 边的中点，点 F 在 DE 上， CF = CD ，过点 F 作 FG ^ FC 交 AD 于点 G ．下列结论：① GF = GD ；② AG > AE ；③ AF ^ DE ；④ DF = 4EF ．正确的是( )
A．①② B．①③ C．①③④ D．③④

【解答】解：连接CG 交 ED 于点 H ．如图所示：
Q四边形 ABCD 是正方形，
\ÐADC = 90° ，
Q FG ^ FC ，
\ÐGFC = 90° ，

í
在RtDCFG 与RtDCDG 中， ìCG = CG ，
îCF = CD
\RtDCFG @ RtDCDG(HL) ，
\GF = GD ，①正确．
QCF = CD ， GF = GD ，
\点G 、C 在线段 FD 的中垂线上，
\ FH = HD ， GC ^ DE ，
\ÐEDC + ÐDCH = 90° ，

QÐADE + ÐEDC = 90° ，
\ÐADE = ÐDCH ，
Q四边形 ABCD 是正方形，
\ AD = DC = AB ， ÐDAE = ÐCDG = 90° ，

ìÐEAD = ÐGDC
í
在DADE 和DDCG 中， ï AD = DC ，
î
ïÐADE = ÐDCH

\DADE @ DDCG (ASA) ，
\ AE = DG ，
Q点 E 是边 AB 的中点，
\点G 是边 AD 的中点，
\ AE = AG ，②不正确；
Q点 H 是边 FD 的中点，
\GH 是DAFD 的中位线，
\GH / / AF ，
\ÐAFD = ÐGHD ，
QGH ^ FD ，
\ÐGHD = 90° ，
\ÐAFD = 90° ，
即 AF ^ DE ，③正确；
Q AD = AB ， AB = 2AE ，
\ AD = 2 AE ，
QÐAFE = 90° = ÐDAE ， ÐAEF = ÐDEA ，
\DADE∽DFAE ，
\ DE = AD = AE = 2 ，
AE AF EF
\ DE = 2AE ， AE = 2EF ，
\ DF = 4EF ，④正确； 故选： C ．

8．（3 分）设 x ， x 是一元二次方程 x2 - 2x - 3 = 0 的两根，则 x2 + x2 = ( )
1 2 1 2

A．2 B． -2
C． -1
D．10

【解答】解：根据根与系数的关系可得 x1 + x2 = 2 ， x1 x2 = -3 ，

1 2 1 2 1 2
所以 x2 + x2 = (x + x )2 - 2x x = 4 - 2 ´ (-3) = 10 ．

故选： D ．

9．（3 分）若关于 x 的方程 x2 - 2x + m - 1 = 0 有两个实根 x 、 x ，则 x x (x2 + x2 ) - 2x2 + 4x
1 2 1 2 1 2 1 1

的最大值是(
)

A．3
B．4
C．4.5
D．5

【解答】解：Q关于 x 的方程 x2 - 2x + m - 1 = 0 有两个实根 x 、 x ，
1 2

\△ = 4 - 4(m - 1) = 8 - 4m…0 ，
\m„2 ，

Q x + x = 2 ， x × x = m - 1 ， x2 - 2x
= -m + 1 ，

1 2 1 2 1 1

1 2 1 2 1 2
\ x2 + x2 = (x + x )2 - 2x x = 4 - 2(m -1) = 6 - 2m ，

\ x x (x2 + x2 ) - 2x2 + 4x

Q m„2 ，
= (m - 1)(6 - 2m) - 2(-m + 1) = -2m2 + 10m - 8 = -2(m - 5 )2 + 9 ，
1 2 1 2 1 1
2 2

1 2 1 2 1 1
\当 m = 2 时， x x (x2 + x2 ) - 2x2 + 4x 的最大值= 4 ，

故选： B ．
10．（3 分）一次函数 y = ax + b 和反比例函数 y = a - b 在同一平面直角坐标系中的大致图象
x
是( )

A．

B． C． D．
【解答】解：图 A 、 B 直线 y = ax + b 经过第一、二、三象限，
\ a > 0 、b > 0 ，
Q y = 0 时， x = - b ，即直线 y = ax + b 与 x 轴的交点为(- b ， 0)
a a
由图 A 、 B 的直线和 x 轴的交点知： - b > -1 ，
a
即b < a ， 所以b - a < 0
\ a - b > 0 ，
此时双曲线在第一、三象限．

故选项 B 不成立，选项 A 正确．
图C 、 D 直线 y = ax + b 经过第二、一、四象限，
\ a < 0 ， b > 0 ，
此时 a - b < 0 ，双曲线位于第二、四象限， 故选项C 、 D 均不成立；
故选： A ．

二、填空题（共 7 题，共 28 分）

11．（4 分）如图，在DABC 中， ÐACB = 90° ，点 D 是 AB 的中点，CD = 2 ，则 AB = 4 ．

【解答】解：QÐACB = 90° ， D 为 AB 中点，
\CD = 1 AB ，
2
\ AB = 2CD ，
QCD = 2 ，
\ AB = 2CD = 4 ． 故答案为：4．
12．（4 分）已知：如图，矩形 ABCD 的长和宽分别为 2 和 1，以 D 为圆心，AD 为半径作 AE
弧，再以 AB 的中点 F 为圆心， FB 长为半径作 BE 弧，则阴影部分的面积为 1 ．

【解答】解：Q AF = BF ， AD = 1 ， AB = 2 ，
\ AD = BF = 1 ，
\扇形 DAE 的面积= 扇形 FBE 的面积，
\阴影部分的面积= 1´1 = 1． 故答案为 1．
13．（4 分）设 a ，b 是方程 x2 + x - 2018 = 0 的两个实数根，则(a - 1)(b - 1) 的值为 -2016 ．

【解答】解：

Q a ， b 是方程 x2 + x - 2018 = 0 的两个实数根，
\ a + b = -1 ， ab = -2018 ，
\(a - 1)(b - 1) = ab - a - b + 1 = ab - (a + b) + 1 = -2018 - (-1) + 1 = -2016 ， 故答案为： -2016 ．
14 ．（ 4 分） 关于 x 的一元二次方程 x2 - (k -1)x - k + 2 = 0 有两个实数根 x ， x ， 若
1 2

(x1 - x2 + 2)(x1 - x2 - 2) + 2x1 x2 = -3 ，则 k = 2 ．

【解答】解：Q关于 x 的一元二次方程 x2 - (k -1)x - k + 2 = 0 的两个实数根为 x ， x ，
1 2

\ x1 + x2 = k - 1 ， x1 x2 = -k + 2 ．

Q(x - x + 2)(x - x - 2) + 2x x = -3 ，即(x + x )2 - 2x x
- 4 = -3 ，

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

\(k -1)2 + 2k - 4 - 4 = -3 ， 解得： k = ±2 ．
Q关于 x 的一元二次方程 x2 - (k -1)x - k + 2 = 0 有实数根，

\△ = [-(k -1)]2 - 4 ´1´ (-k + 2)…0 ，

2
解得： k…2
-1或 k„- 2
-1 ，

2
\ k = 2 ．
故答案为：2．

15．（4 分）若从-1 ，1，2 这三个数中，任取两个分别作为点 M 的横、纵坐标，则点 M 在
第二象限的概率是 1 ．
3
【解答】解：列表如下：

由表可知，共有 6 种等可能结果，其中点 M 在第二象限的有 2 种结果，

所以点 M 在第二象限的概率是 2 = 1 ，
6 3
故答案为： 1 ．
3
16．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中， AB = 1 ， BC = 2 ， P 为线段 BC 上的一动点，且和 B 、
C 不重合，连接 PA ，过点 P 作 PE ^ PA 交CD 于 E ，将 DPEC 沿 PE 翻折到平面内，使点C
恰好落在 AD 边上的点 F ，则 BP 长为 1 或 1 ．
3
【解答】解：作 PH ^ AD 于 H ，如图，设 BP = x ，则CP = 2 - x ．

Q PE ^ PA ，
\Ð2 + Ð3 = 90° ，
QÐ1 + Ð2 = 90° ，
\Ð1 = Ð3 ，
\RtDABP∽RtDPCE ，

\ AB = BP ．即 1

= x ．

PC CE
2 - x CE

\CE = x(2 - x) ．
QDPEC 沿 PE 翻折到DPEF 位置，使点 F 落到 AD 上，
\ EF = CE = x(2 - x) ， PF = PC = 2 - x ， ÐPFE = ÐC = 90° ，

\ DE = DC - CE = 1 - x(2 - x) = (x -1)2 ．

\Ð5 + Ð6 = 90° ．
QÐ4 + Ð6 = 90° ，
\Ð5 = Ð4 ．

\RtDPHF∽RtDFDE ，
\ PH = PF ，即 1 = 2 - x ．

FD FE
\ FD = x ，
在RtDDFE 中，
FD x(2 - x)

Q DE2 + DF 2 = FE2 ，
\[(x -1)2 ]2 + x2 = [x(2 - x)]2 ，
解得 x = 1 ， x = 1 ，

1 3 2
1

\ BP 的长为
或 1．
3

解法二：过点 A 作 AM ^ BF 于 M ．

QDPEF 由DPEC 翻折得到，
\DPEF @ DPEC ，
\ PF = PC ， ÐFPE = ÐEPC ，
又QÐBPA + ÐEPC = 90° ， ÐAPM + ÐEPF = 90° ，
\ÐAPB = ÐAPM ，
又QÐB = ÐAMP = 90° ， AP = AP ，
\DABP @ DAMP (AAS ) ，
\ AB = AM = 1， BP = PM ，
令 BP = x ，则 PC = PF = 2 - x ， BP = PM = x ，
\ MF = 2 - x - x = 2 - 2x ，

Q AD / / BC ，
\ÐAPB = ÐPAD ，
又QÐAPB = ÐAPF ，
\DAPF 为等腰三角形，
\ AF = PF = 2 - x ，

在DAMF 中， AF 2 = AM 2 + MF 2 ，

\(2 - x)2 = 12 + (2 - 2x)2 ，

\ x = 1 或 1 ．
3
1

故答案为：
或 1．
3

17．（4 分）如图，函数 y = x 与 y = 4 的图象相交于 A 、 B 两点，过 A 、 B 两点分别作 x 轴
x
垂线，垂足分别为点C 、 D ，则四边形 ACBD 的面积为 8 ．

【解答】解：设 A 的坐标是(m, n) ，则 B 的坐标是(-m, -n) ， mn = 4
则 AC = n ， CD = 2m ．
则四边形 ACBD 的面积= AC × CD = 2mn = 8 ． 故答案为：8．
三、解答题（共 8 题，共 62 分）

18．（6 分）先观察如图的立体图形，再分别画出从它的正面、左面、上面三个方向所看到的平面图形．

【解答】解：如图所示：

19．（6 分）已知关于 x 的方程 x2 - 2mx + m2 - 4m - 1 = 0
（1） 若这个方程有实数根，求 m 的取值范围；

（2） 若此方程有一个根是 1，请求出 m 的值．

【解答】解：（1）根据题意知△ = (-2m)2 - 4(m2 - 4m -1)…0 ，
解得： m… - 1 ；
4

（2）将 x = 1 代入方程得1 - 2m + m2 - 4m -1 = 0 ， 整理，得： m2 - 6m = 0 ，
解得： m1 = 0 ， m2 = 6 ，
Q m… - 1 ，
4
\ m = 0 和 m = 6 均符合题意， 故 m = 0 或 m = 6 ．
20．（6 分）将 A ， B ， C ， D 四人随机分成甲、乙两组参加羽毛球比赛，每组两人．
（1） A 在甲组的概率是多少？

（2） A ， B 都在甲组的概率是多少？

【解答】解：所有可能出现的结果如下：

甲组
乙组
结果
AB
CD
( AB, CD)
AC
BD
( AC, BD)
AD
BC
( AD, BC)
BC
AD
(BC, AD)
BD
A C
(BD, AC)
CD
AB
(CD, AB)
总共有 6 种结果，每种结果出现的可能性相同．
（1） 所有的结果中，满足 A 在甲组的结果有 3 种，所以 A 在甲组的概率是 1 ．（2 分）
2

（2） 所有的结果中，满足 A ，B 都在甲组的结果有 1 种，所以 A ，B 都在甲组的概率是 1 ．（6
6
分）

21．（8 分）如图，点 D ， E 在线段 BC 上， DADE 是等边三角形，且ÐBAC = 120°
（1） 求证： DABD∽DCAE ；
（2） 若 BD = 2 ， CE = 8 ，求 BC 的长．

【解答】（1）证明：Q ÐBAC = 120° ， ÐDAE = 60° ，
\ÐBAD + ÐEAC = 60° ，
QDADE 是等边三角形，
\ÐADE = ÐAED = 60° ，
\ÐBAD + ÐB = 60° ， ÐADB = ÐAEC = 120° ，
\ÐB = ÐEAC ，又ÐADB = ÐAEC ，
\ ABD∽DCAE ；
（2）解：Q ABD∽DCAE ，
\ BD = AD ，即 AD2 = BDgCE = 16 ，
AE CE
解得， AD = 4 ，则 DE = 4 ，
\ BC = BD + DE + EC = 14 ．
22．（8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， AB = 3 ， BC = 5 ．
（1） 尺规作图：作ÐABC 的平分线 BF ，分别与 AC 、 AD 交于点 E 、 F ．
（2） 求 AE 的值．
EC
【解答】（1）解：如图所示：

（2）证明：QY ABCD 中 AD / / BC ，
\ÐAFB = ÐFBC ，
又QÐABF = ÐFBC ，
\ÐABF = ÐAFB ，
\ AB = AF ，
QÐAFE = ÐCBE ， ÐAEF = ÐCEB ，
\DAEF∽DCEB ，
当 AB = 3 ， BC = 5 时，
\ AF = 3 ，
\ AE = AF = 3 ．
EC BC 5
23．（8 分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆 AB 与地面仍保持垂直的关系，而折断部分 AC 与未折断树杆 AB 形成53° 的夹角．树杆 AB 旁有一座与地面垂直的铁塔 DE ，测得 BE = 6 米，塔高 DE = 9 米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆 AB 落在地面的影子 FB 长为 4 米，且点 F 、 B 、C 、 E 在同一条直线上，点 F 、 A 、 D 也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin 53° » 0.8 ，cos 53° » 0.6 ， tan 53° » 1.33)
【解答】解：Q AB ^ EF ， DE ^ EF ，
\ÐABC = 90° ， AB / / DE ，
\DFAB∽DFDE ，
\ AB = FB ，
DE FE
Q FB = 4 米， BE = 6 米， DE = 9 米，

\ AB =

4 ，得 AB = 3.6 米，

9 4 + 6
QÐABC = 90° ， ÐBAC = 53° ， cosÐBAC = AB ，
AC

\ AC =
AB

cosÐBAC
= 3.6 = 6 米，
0.6

\ AB + AC = 3.6 + 6 = 9.6 米，
即这棵大树没有折断前的高度是 9.6 米．
24．（10 分）如图 1，在平面直角坐标系中， YOABC 的一个顶点与坐标原点重合， OA 边落

在 x 轴上，且OA = 4 ， OC = 2
， ÐCOA = 45° ．反比例函数 y = k (k > 0, x > 0) 的图象
2
x

经过点C ，与 AB 交于点 D ，连接 AC ， CD ．

（1） 试求反比例函数的解析式；

（2） 求证： CD 平分ÐACB ；

（3） 如图 2，连接OD ，在反比例函数图象上是否存在一点 P ，使得 S

存在，请直接写出点 P 的坐标．如果不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图 1，过点C 作CE ^ x 轴于 E ，
\ÐCEO = 90° ，
QÐCOA = 45° ，
\ÐOCE = 45° ，


DPOC


= 1 S
2


DCOD


？如果

2
Q OC = 2 ，
\OE = CE = 2 ，
\C(2, 2) ，
Q点C 在反比例函数图象上，
\ k = 2 ´ 2 = 4 ，

\反比例函数解析式为 y = 4 ，
x

（2）如图 2，过点 D 作 DG ^ x 轴于G ，交 BC 于 F ，

Q CB / / x 轴，
\GF ^ CB ，
Q OA = 4 ，
由（1）知， OE = CE = 2 ，
\ AE = EC = 2 ，
\ÐECA = 45° ， ÐOCA = 90° ，

QOC / / AB ，
\ÐBAC = ÐOCA = 90° ，
\ AD ^ AC ，
Q A(4, 0) ， AB / /OC ，
\直线 AB 的解析式为 y = x - 4 ①，
Q反比例函数解析式为 y = 4 ②，
x

2
í
联立①②解得， ìïx = 2
+ 2 ìïx = 2 - 2
2
或
í

（舍) ，

2
2
2
ïî y = 2 - 2 ïî y = -2 - 2

2
\ D(2
+ 2 ， 2
- 2) ，

2
\ AG = DG = 2 - 2 ，

2
\ AD = 2DG = 4 - 2 ，

2
\ DF = 2 - (2 2 - 2) = 4 - 2 ，

\ AD = DF ，
Q AD ^ AC ， DF ^ CB ，
\点 D 是ÐACB 的角平分线上， 即： CD 平分ÐACB ；

（3）存在，Q点C(2, 2) ，

2
2
\直线OC 的解析式为 y = x ， OC = 2 ，

2
Q D(2
+ 2 ， 2
- 2) ，

2
\CD = 2 - 2

Ⅰ、如图 3，当点 P 在点C 右侧时，即：点 P 的横坐标大于 2，

Q SDPOC
= 1 S
2

DCOD ，

\设CD 的中点为 M ，

2
\ M ( + 2 ， 2) ，

过点 M 作 MP / /OC 交双曲线于 P ，
\直线 PM 的解析式为 y = x - 2 ③，
Q反比例函数解析式为 y = 4 ④，
x

联立③④解得，

5
5
ìïx = + 1 或 ìïx = 1 -


5
（舍) ，

5
í
ïî y = - 1
í
ïî y = -1 -

5
\ P(
+ 1 ，
-1) ；

5
Ⅱ、当点 P¢ 在点C 左侧时，即：点 P¢ 的横坐标大于 0 而小于 2， 设点 M 关于OC 的对称点为 M ¢ ， M ¢(m, n) ，

\ m +
2 + 2 = 2 ， n +
2 = 2 ，

2 2

2
2
\ m = 2 - ， n = 4 - ，

2
\ M ¢(2 - ， 4 -
2) ，

Q P¢M ¢ / /OC ，
\直线 P¢M ¢ 的解析式为 y = x + 2 ⑤，

5
联立④⑤解得， ìïx = - 1 或ìïx = -1 -


5
（舍) ，

5
5
í
5
ïî y = + 1
í
ïî y = 1 -

5
5
5
5
\ P¢(
- 1 ，
+ 1) ．

5
即：点 P 的坐标为(
-1 ，
+ 1) 或 P(
+ 1 ，
-1) ．

25．（10 分）如图 1，在DABC 中，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上， DE / / BC ， AD = AE ，

（1）求证： ÐB = ÐC ；
（2）若ÐBAC = 90° ，把 DADE 绕点 A 逆时针旋转到图 2 的位置，点 M ，P ，N 分别为 DE ，
DC ， BC 的中点，连接 MN ， PM ， PN ．

①判断DPMN 的形状，并说明理由；
②把DADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD = 4 ， AB = 10 ，试问DPMN 面积是否存在最大值；若存在，求出其最大值．若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）Q AD = AE ，
\ÐADE = ÐAED ，

Q DE / / BC ，
\ÐADE = ÐB ， ÐAED = ÐC ，
\ÐB = ÐC ．
（2）① DPMN 是等腰直角三角形，
理由：Q点 P ， M 分别是CD ， DE 的中点，
\ PM = 1 CE ， PM / /CE ，
2
Q点 N ， M 分别是 BC ， DE 的中点，
\ PN = 1 BD