2022-2023学年广东省广州市番禺区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）在平面直角坐标系中，点(3, -2) 关于原点对称点的坐标是( )

第 9页（共 26页）

A． (3, 2) B． (-3, -2)
C． (-3, 2)
D． (3, -2)

2．（3 分）如图图形中，是中心对称图形的是( )

A． B．
C． D．
3．（3 分）方程 x2 - x = 56 的根是( )

A． x1 = 7 ， x2 = 8
B． x1 = 7 ， x2 = -8
C． x1 = -7 ， x2 = 8
D． x1 = -7 ， x2 = -8

4．（3 分）如图，在eO 中，弧 AB 所对的圆周角ÐACB = 50° ，若 P 为弧 AB 上一点，
ÐAOP = 53° ，则ÐPOB 的度数为( )

A． 25° B． 47° C． 53° D． 37°

5．（3 分）抛物线 y = 2(x - 3)2 - 7 的顶点坐标是( )

A． (3, 7) B． (-3, 7)
C． (3, -7)
D． (-3, -7)

6．（3 分）某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了 90 件，设组员有 x 名同学，则根据题意列出的方程是( )

A． x(x -1) = 90
B． x(x + 1) = 90
C． x(x -1) = 90 ´ 2
D． x(x + 1) = 90 ´ 2

7．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - (k - 3)x - k + 1 = 0 的根的情况，下列结论中，正确的结论是( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
8．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于eO ，连接 BD ．则ÐCBD 的度数是( )
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
9．（3 分）如图， DABC 中， ÐACB = 90° ， ÐABC = 40° ．将DABC 绕点 B 逆时针旋转得到
△ A¢BC¢ ，使点C 的对应点C¢ 恰好落在边 AB 上，则ÐCAA¢ 的度数是( )
A． 50° B． 70° C．110° D．120°

10．（3 分）如图是二次函数 y = ax2 + bx + c(a ，b ，c 是常数， a ¹ 0) 图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点(2, 0) 和(3, 0) 之间，顶点为(1, 3) 对于下列结论：
① 2a + b = 0 ；
② a - b + c < 0 ；
③ 3a + c > 8 ；
④当-1 < x < 3 时： y > 0 ；

⑤若方程| ax2 + bx + c |= 1 有四个根，则这四个根的和为 4． 其中正确的是( )

A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤

二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

11．（3 分）方程 x2 = 9 的实数解是 ．
12．（3 分）点O 是正五边形 ABCDE 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O 至少旋转 ° 后能与原来的图案互相重合．

13．（3 分）关于 x 的方程 2x2 + mx - 4 = 0 的一根为 x = 1 ，则另一根为 ．

14．（3 分）已知二次函数 y = 2(x -1)2 - 3 ，当 x 时， y 随 x 的增大而减小．

15．（3 分）在一个布袋里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里摸出1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1 个球．则两次摸出的球都是红球的概率是 ． 16．（3 分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在
壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？大意是：如图，CD 为eO
的直径，弦 AB ^ CD ，垂足为点 E ， CE = 1寸， AB = 10 寸，则直径CD = 寸．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程： x2 - 5x + 6 = 0

18．（4 分）如图，在eO 中， ¶AB = ¶AC ， ÐACB = 70° ．分别求ÐABC 和ÐBOC 的度数．

19．（6 分）在直角坐标系中画出函数 y = - 1 (x - 1)2 + 2 的图象（不用列表，直接画图），并
2
指出它的开口方向， 对称轴和顶点， 怎样移动抛物线 y = - 1 x2 就可以得到抛物线
2
y = - 1 (x - 1)2 + 2 ？
2

20．（6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， DABO 的三个顶点坐标分别为 A(-1, 3) ， B(-4, 3) ， O(0, 0) ．
（1） 画出DABO 关于 x 轴对称的△ A1 B1O ，并写出点 B1 的坐标；

（2） 画出DABO 绕点O 顺时针旋转90° 后得到的△ A2 B2O ，并写出点 B2 的坐标；

（3） 在（2）的条件下，求点 B 旋转到点 B2 所经过的路径长（结果保留p) ．

21．（8 分）如图是 2 个可以随机转动的转盘，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字

1，2，3，转盘 B 的四个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，4．转动 A 、B 转盘各一次， 当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在两个扇形的交线上时， 视为指针向右边的扇形）．
（1） 用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；

（2） 求两个数字的积为偶数的概率．

22．（10 分）如图，点 M ，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC ，CD 上，且ÐMAN = 45° ．把DADN
绕点 A 顺时针旋转90° 得到DABE ．
（1） 求证： DAEM @ DANM ．
（2） 若 BM = 3 ， DN = 2 ，求正方形 ABCD 的边长．

23．（10 分）为了推广劳动教育课程实施，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，如图所示，某中学用一段长为 30 米的篱笆，再借助学校的一段围墙围成一个矩形菜园 ABCD 供学生参加劳动实践，已知学校该段围墙长为 12 米．
（1） 能围成一个面积为 72 平方米的矩形菜园吗？请说明理由；

（2） 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？菜园的最大面积是多少？

24．（12 分）如本题图①所示，四边形 ABCD 内接于eO ， AD 为直径，过点C 作CE ^ AB
于点 E ，连接 AC ．
(I ) 求证： ÐCAD = ÐECB ；
（Ⅱ）如本题图②，若CE 是eO 的切线， ÐCAD = 30° ，连接OC ．
（1） 试判断四边形 ABCO 的形状，并说明理由；
（2） 当 AB = 2 时，求 AD 、 AC 与C¶D 围成的阴影部分的面积．

第 27页（共 26页）

25．（12 分）已知函数 y = x2 + bx + c(b ， c 为常数）的图象经过点(-2, 4) ．

（1） 求b ， c 满足的关系式；
（2） 设该函数图象的顶点坐标是(m, n) ，当b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数解析式；

（3） 若该函数的图象不经过第三象限，当-5„x„1时，函数的最大值与最小值之差为 16， 求b 的值．

2022-2023 学年广东省广州市番禺区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）在平面直角坐标系中，点(3, -2) 关于原点对称点的坐标是( )2222aa

A． (3, 2) B． (-3, -2)
C． (-3, 2)
D． (3, -2)

【解答】解：根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，

\点(3, -2) 关于原点对称的点的坐标为(-3, 2) ， 故选： C ．
2．（3 分）如图图形中，是中心对称图形的是( )

A． B．
C． D．
【解答】解：观察四个选项可知，只有 B 选项中的图形绕某一点旋转180° 后能与自身重合， 因此 B 选项中的图形是中心对称图形，
故选： B ．

3．（3 分）方程 x2 - x = 56 的根是( )

A． x1 = 7 ， x2 = 8
B． x1 = 7 ， x2 = -8
C． x1 = -7 ， x2 = 8
D． x1 = -7 ， x2 = -8

【解答】解：Q x2 - x = 56 ，
\ x2 - x - 56 = 0 ， 则(x - 8)(x + 7) = 0 ，
\ x - 8 = 0 或 x + 7 = 0 ， 解得 x1 = -7 ， x2 = 8 ，
故选： C ．

4．（3 分）如图，在eO 中，弧 AB 所对的圆周角ÐACB = 50° ，若 P 为弧 AB 上一点，
ÐAOP = 53° ，则ÐPOB 的度数为( )

A． 25° B． 47° C． 53° D． 37°
【解答】解：QÐACB 与ÐAOB 是同弧所对的圆周角与圆心角， ÐACB = 50° ，
\ÐAOB = 2ÐACB = 100° ，
QÐAOP = 53° ，
\ÐPOB = ÐAOB - ÐAOP = 100° - 53° = 47° ． 故选： B ．
5．（3 分）抛物线 y = 2(x - 3)2 - 7 的顶点坐标是( )

A． (3, 7) B． (-3, 7)
C． (3, -7)
D． (-3, -7)

【解答】解：因为 y = 2(x - 3)2 - 7 是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3, -7) ；
故选： C ．
6．（3 分）某中学一生物兴趣小组的每位同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了 90 件，设组员有 x 名同学，则根据题意列出的方程是( )

A． x(x -1) = 90
B． x(x + 1) = 90
C． x(x -1) = 90 ´ 2
D． x(x + 1) = 90 ´ 2

【解答】解：Q全组共有 x 名同学，
\每名同学需赠送出(x -1) 件标本． 根据题意得： x(x - 1) = 90 ．
故选： A ．

7．（3 分）关于 x 的一元二次方程 x2 - (k - 3)x - k + 1 = 0 的根的情况，下列结论中，正确的结论是( )
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根

C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

【解答】解：△ = [-(k - 3)]2 - 4(-k + 1)

= k 2 - 6k + 9 - 4 + 4k
= k 2 - 2k + 5

= (k -1)2 + 4 ，

Q(k -1)2…0 ，

\(k -1)2 + 4 > 0 ，即△ > 0 ，

\方程有两个不相等的实数根． 故选： C ．
8．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于eO ，连接 BD ．则ÐCBD 的度数是( )
A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°
【解答】解：Q在正六边形 ABCDEF 中， ÐBCD = (6 - 2) ´180° = 120° ， BC = CD ，
6
\ÐCBD = 1 (180° - 120°) = 30° ，
2
故选： A ．

9．（3 分）如图， DABC 中， ÐACB = 90° ， ÐABC = 40° ．将DABC 绕点 B 逆时针旋转得到
△ A¢BC¢ ，使点C 的对应点C¢ 恰好落在边 AB 上，则ÐCAA¢ 的度数是( )
A． 50° B． 70° C．110° D．120°
【解答】解：QÐACB = 90° ， ÐABC = 40° ，
\ÐCAB = 90° - ÐABC = 90° - 40° = 50° ，

Q将DABC 绕点 B 逆时针旋转得到△ A¢BC¢ ，使点C 的对应点C¢ 恰好落在边 AB 上，
\ÐA¢BA = ÐABC = 40° ， A¢B = AB ，
\ÐBAA¢ = ÐBA¢A = 1 ´ (180° - 40°) = 70° ，
2
\ÐCAA¢ = ÐCAB + ÐBAA¢ = 50° + 70° = 120° ． 故选： D ．
10．（3 分）如图是二次函数 y = ax2 + bx + c(a ，b ，c 是常数， a ¹ 0) 图象的一部分，与 x 轴的交点 A 在点(2, 0) 和(3, 0) 之间，顶点为(1, 3) 对于下列结论：
① 2a + b = 0 ；
② a - b + c < 0 ；
③ 3a + c > 8 ；
④当-1 < x < 3 时： y > 0 ；

⑤若方程| ax2 + bx + c |= 1 有四个根，则这四个根的和为 4． 其中正确的是( )

A．①②⑤ B．①②④ C．①②③ D．②③⑤

【解答】解：Q- b
2a

= 1 ，

\ 2a + b = 0 ，故①正确；
Q与 x 轴的交点 A 在点(2, 0) 和(3, 0) 之间，对称轴为直线 x = 1 ，
\与 x 轴的另一个交点 B 在点(-1, 0) 和(0, 0) 之间，
\当 x = -1 时， y = a - b + c < 0 ，故②正确；
Q 2a + b = 0 ，
\b = -2a ，
Q a - b + c < 0 ，
\3a + c < 0 ，故③错误；
函数图象与 x 轴的交点没有具体说明交点的坐标，
\当-1 < x < 3 时， y > 0 不一定成立，故④错误；

方程| ax2 + bx + c |= 1 的四个根分别为 ax2 + bx + c = 1 和 ax2 + bx + c = -1 的根，

Q抛物线 y = ax2 + bx + c 关于直线 x = 1 对称，
\抛物线与直线 y = 1 的交点的横坐标之和为 2， 抛物线与直线 y = -1 的交点横坐标之和为 2，
\方程| ax2 + bx + c |= 1 的四个根的和为 4，故⑤正确．

正确的是①②⑤， 故选： A ．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．）

11．（3 分）方程 x2 = 9 的实数解是 x = 3 ， x = -3 ．
1 2

【解答】解：Q x2 = 9 ，
\ x = ±3 ，

\ x1 = 3 ， x2 = -3 ．

故答案为： x1 = 3 ， x2 = -3 ．

12．（3 分）点O 是正五边形 ABCDE 的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）．这个图案绕点O 至少旋转 72 ° 后能与原来的图案互相重合．

【解答】解：连接OA ， OE ，则这个图形至少旋转ÐAOE 才能与原图象重合，⑨⑨
ÐAOE = 360° = 72° ．
5
故答案为：72．

2
13．（3 分）关于 x 的方程 2x2 + mx - 4 = 0 的一根为 x = 1 ，则另一根为 x = -2 ．

【解答】解：设方程的另一根为 x2 ，

Q关于 x 的方程 2x2 + mx - 4 = 0 的一根为 x = 1 ，

则1´ x2
= -4 = -2 ，
2

解得 x2 = -2 ．

故答案为： x2 = -2 ．

14．（3 分）已知二次函数 y = 2(x -1)2 - 3 ，当 x < 1 时， y 随 x 的增大而减小．

【解答】解：在 y = 2(x -1)2 - 3 中， a = 2 ，

Q a > 0 ，
\开口向上，
由于函数的对称轴为 x = 1 ，
当 x < 1 时， y 的值随着 x 的值增大而减小； 当 x > 1 时， y 的值随着 x 的值增大而增大． 故答案为： < 1．
15．（3 分）在一个布袋里放有 1 个白球和 2 个红球，它们除颜色外其余都相同，从布袋里

摸出 1 个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出 1 个球．则两次摸出的球都是红球的概率是
4 ．
9
【解答】解：根据题意画图如下：

Q共有 9 种情况，两次摸出的球都是红球的有 4 种情况，
\两次摸出的球都是红球的概率是 4 ．
9
故答案为： 4 ．
9

16．（3 分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在
壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？大意是：如图，CD 为eO 的直径，弦 AB ^ CD ，垂足为点 E ， CE = 1寸， AB = 10 寸，则直径CD = 26 寸．
【解答】解：连接OA ，设OA = r 寸，则OE = r - CE = (r - 1) 寸，
Q AB ^ CD ， AB = 10 寸，
\ AE = 1 AB = 5 寸，
2
在RtDOAE 中，

OA2 = AE 2 + OE 2 ，即 r2 = 52 + (r -1)2 ，

解得 r = 13 ，
\CD = 2r = 26 寸． 故答案为：26．

三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（4 分）解方程： x2 - 5x + 6 = 0
【解答】解：Q x2 - 5x + 6 = 0 ，
\(x - 2)(x - 3) = 0 ，
则 x - 2 = 0 或 x - 3 = 0 ， 解得 x1 = 2 ， x2 = 3 ．
18．（4 分）如图，在eO 中， ¶AB = ¶AC ， ÐACB = 70° ．分别求ÐABC 和ÐBOC 的度数．

【解答】解：Q ¶AB = ¶AC ， ÐACB = 70° ，
\ÐABC = ÐACB = 70° ，
\ÐA = 180° - ÐABC - ÐACB = 40° ，
\ÐBOC = 2ÐA = 80° ，
\ÐABC 的度数为70° ， ÐBOC 的度数为80° ．
19．（6 分）在直角坐标系中画出函数 y = - 1 (x - 1)2 + 2 的图象（不用列表，直接画图），并
2
指出它的开口方向， 对称轴和顶点， 怎样移动抛物线 y = - 1 x2 就可以得到抛物线
2
y = - 1 (x - 1)2 + 2 ？
2
【解答】解：如图：

由 y = - 1 (x - 1)2 + 2 得到该函数的图象的开口方向向下，对称轴是：x = 1 ，顶点坐标是(1, 2) ；
2
抛物线 y = - 1 x2 的顶点坐标是(0, 0) ，抛物线 y = - 1 (x - 1)2 + 2 的顶点坐标是(1, 2) ，
2 2
Q由顶点(0, 0) 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位得到顶点(1, 2) ，

\ 由抛物线 y = - 1 x2 向右平移 1 个单位， 再向上平移 2 个单位就可以得到抛物线
2
y = - 1 (x - 1)2 + 2 ．
2
20．（6 分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， DABO 的三个顶点坐标分别为 A(-1, 3) ， B(-4, 3) ， O(0, 0) ．
（1） 画出DABO 关于 x 轴对称的△ A1 B1O ，并写出点 B1 的坐标；

（2） 画出DABO 绕点O 顺时针旋转90° 后得到的△ A2 B2O ，并写出点 B2 的坐标；

（3） 在（2）的条件下，求点 B 旋转到点 B2 所经过的路径长（结果保留p) ．

【解答】解：（1）如图，△ A1 B1O 即为所求， B1 (-4, -3) ．

（2）如图，△ A2 B2O 即为所求， B2 (3, 4) ．

（3）点 B 旋转到点 B 所经过的路径长= 90p× 5 = 5p．

2 180 2
21．（8 分）如图是 2 个可以随机转动的转盘，转盘 A 的三个扇形面积相等，分别标有数字

1，2，3，转盘 B 的四个扇形面积相等，分别标有数字 1，2，3，4．转动 A 、B 转盘各一次， 当转盘停止转动时，将指针所落扇形中的两个数字相乘（当指针落在两个扇形的交线上时， 视为指针向右边的扇形）．
（1） 用树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果；

（2） 求两个数字的积为偶数的概率．

【解答】解：（1）画树状图得：

则共有 12 种等可能的结果；

（2）共有 12 种等可能的结果，其中两个数字的积为偶数有 8 种情况，
\两个数字的积为偶数的概率是： 8 = 2 ．
12 3

22．（10 分）如图，点 M ，N 分别在正方形 ABCD 的边 BC ，CD 上，且ÐMAN = 45° ．把DADN
绕点 A 顺时针旋转90° 得到DABE ．
（1） 求证： DAEM @ DANM ．
（2） 若 BM = 3 ， DN = 2 ，求正方形 ABCD 的边长．

【解答】（1）证明：由旋转的性质得， DADN @ DABE ，
\ÐDAN = ÐBAE ， AE = AN ， ÐD = ÐABE = 90° ，
\ÐABC + ÐABE = 180° ，
\点 E ，点 B ，点C 三点共线，
QÐDAB = 90° ， ÐMAN = 45° ，
\ÐMAE = ÐBAE + ÐBAM = ÐDAN + ÐBAM = 45° ，
\ÐMAE = ÐMAN ，
Q MA = MA ，
\DAEM @ DANM (SAS ) ．

（2）解：设CD = BC = x ，则CM = x - 3 ， CN = x - 2 ，
QDAEM @ DANM ，
\ EM = MN ，
Q BE = DN ，
\ MN = BM + DN = 5 ，
QÐC = 90° ，
\ MN 2 = CM 2 + CN 2 ，

\25 = (x - 2)2 + (x - 3)2 ，

解得， x = 6 或-1 （舍弃），
\正方形 ABCD 的边长为 6．
23．（10 分）为了推广劳动教育课程实施，培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质，如图所示，某中学用一段长为 30 米的篱笆，再借助学校的一段围墙围成一个矩形菜园 ABCD 供学生参加劳动实践，已知学校该段围墙长为 12 米．
（1） 能围成一个面积为 72 平方米的矩形菜园吗？请说明理由；

（2） 这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？菜园的最大面积是多少？
【解答】解：（1）能，理由如下：

设矩形的长为 x m ，则宽为 30 - x m ，
2
菜园的面积 S = x × 30 - x = - 1 x2 + 15x = 72 ，
2 2
解得 x = 24 （不合题意，舍）或 x = 6 ，
\能，此时矩形的长为6m ，宽为 12 米；
（2）设矩形的长为 x m ，则宽为 30 - x m ，
2
菜园的面积 S = x × 30 - x = - 1 x2 + 15x = - 1 (x - 15)2 + 225 ， (0 < x„12) 2 2 2 2
Q当 x < 15 时， S 随 x 的增大而增大，
\当 x = 12 时， S = - 1 ´ 9 + 225 = 108 ，

最大值 2 2

答：当矩形的长为12m 、宽为9m 时矩形的面积最大，最大面积为108m2 ．
24．（12 分）如本题图①所示，四边形 ABCD 内接于eO ， AD 为直径，过点C 作CE ^ AB
于点 E ，连接 AC ．
(I ) 求证： ÐCAD = ÐECB ；
（Ⅱ）如本题图②，若CE 是eO 的切线， ÐCAD = 30° ，连接OC ．
（1） 试判断四边形 ABCO 的形状，并说明理由；
（2） 当 AB = 2 时，求 AD 、 AC 与C¶D 围成的阴影部分的面积．

【解答】(I ) 证明：Q四边形 ABCD 是eO 的内接四边形，
\ÐCBE = ÐD ，
Q AD 为eO 的直径，
\ÐACD = 90° ，
\ÐD + ÐCAD = 90° ，
\ÐCBE + ÐCAD = 90° ，

QCE ^ AB ，
\ÐCBE + ÐBCE = 90° ，
\ÐCAD = ÐBCE ；
（Ⅱ）解：（1）四边形 ABCO 是菱形，理由：
QÐCAD = 30° ，
\ÐCOD = 2ÐCAD = 60° ，

Q CE 是eO 的切线，
\OC ^ CE ，
QCE ^ AB ，
\OC / / AB ，
\ÐDAB = ÐCOD = 60° ，
由（1）知， ÐCBE + ÐCAD = 90° ，
\ÐCBE = 90° - ÐCAD = 60° = ÐDAB ，
\ BC / /OA ，
\四边形 ABCO 是平行四边形，
Q OA = OC ，
\Y ABCO 是菱形；
（2）由①知，四边形 ABCO 是菱形，

\OA = OC = AB = 2 ，
\ AD = 2OA = 4 ，
由①知， ÐCOD = 60° ，
在RtDACD 中， ÐCAD = 30° ，

3
\ CD = 2 ， AC = 2 ，

\ AD ， AC 与C¶D 围成阴影部分的面积为 SDAOC + S扇形COD

= 1 S
2


DACD
+ S扇形COD

= 1 ´ 1 ´
2 ´ 2
+ 60p´ 22

3
2 2 360
3
= + 2p． 3

25．（12 分）已知函数 y = x2 + bx + c(b ， c 为常数）的图象经过点(-2, 4) ．

（1） 求b ， c 满足的关系式；
（2） 设该函数图象的顶点坐标是(m, n) ，当b 的值变化时，求 n 关于 m 的函数解析式；

（3） 若该函数的图象不经过第三象限，当-5„x„1时，函数的最大值与最小值之差为 16， 求b 的值．
【解答】解：（1）将点(-2, 4) 代入 y = x2 + bx + c ，

得-2b + c = 0 ，
\ c = 2b ；
b 4c - b2
（2） m = - ， n = ，
2 4
8b - b2
\n = ，
4
\ n = 2b - m2 = -4m - m2 ；
2 b 2 b2

（3） y = x + bx + 2b = (x + ) - + 2b ，
2 4
对称轴为直线 x = - b ，
2
当b„0 ， c…0 ，函数不经过第三象限，则 c = 0 ；

此时 y = x2 ，当-5„x„1时，函数最小值是 0，最大值是 25，

\最大值与最小值之差为 25；（舍去）
当b > 0 时， c > 0 ，函数不经过第三象限，则△„0 ，
\0 < b„8 ，

①当-2„ - b „1时，函数有最小值
2
b 2b ，函数有最大值 25 - 3b ；
- +
2
4

Q函数的最大值与最小值之差为 16，
b
2
\25 - 3b + - 2b = 16 ，
4

\b = 2 或b = 18 （舍) ；
②当-5„ - b < -2 时，函数有最小值
2

b 2b ，函数有最大值1 + 3b ；
- +
2
4

Q函数的最大值与最小值之差为 16，
\ b2

1 + 3b + - 2b = 16 ，
4
\b = 6 或b = -10 （舍) ；
③当- b < -5 时，函数有最小值 25 - 3b ，函数有最大值1 + 3b ；
2

Q函数的最大值与最小值之差为 16，
\1 + 3b - 25 + 3b = 16 ，
\b = 20 （舍) ；
3
综上所述b = 2 或b = 6 ．