2022-2023学年广东省广州市荔湾区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）两个不透明口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋的小球分别标号为 1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
A．两个小球的标号之和等于 1 B．两个小球的标号之和大于 1

C．两个小球的标号之和等于 6 D．两个小球的标号之和大于 6
2．（3 分）在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
3．（3 分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是( )

第 9页（共 32页）

A. 1
5
B. 3
10
C. 1
3
D. 1
2

2
4．（3 分）如图，在eO 中，弦 AB = 2 、点C 是圆上一点且ÐACB = 45° ，则eO 的直径
为( )

2
3 2
2
A．2 B． 3 C． D．4

5．（3 分）如图，在DABC 中， ÐBAC = 55° ， ÐC = 20° ，将DABC 绕点 A 逆时针旋转a角度(0 < a< 180°) 得到DADE ，若 DE / / AB ，则a的值为( )

A． 65° B． 75° C． 85° D．130°

6．（3 分）如图是二次函数 y = ax2 + bx + c 的部分图象，使 y… - 1 成立的 x 的取值范围是(

)

A. x…-1
B. x„-1
C． -1„x„3
D． x„-1或 x…3

7．（3 分）如图，正方形 ABCD 的顶点 A 、B 在eO 上，顶点C 、D 在eO 内，将正方形 ABCD绕点 B 顺时针旋转a度，使点C 落在eO 上．若正方形 ABCD 的边长和eO 的半径相等， 则旋转角度a等于( )
A． 36° B． 30° C． 25° D． 22.5°

8．（3 分）已知 k < 0 < k ，则函数 y = k1 和 y = k x - 1 的图象大致是( )

1 2 x 2
A． B．
C． D．
9．（3 分）二次函数 y = (k +1)x2 - 2x +1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( )

A. k…0
B. k„0
C. k„0 且 k ¹ -1
D. k < 0 且 k ¹ -1

10．（3 分）如图，在圆O 的内接四边形 ABCD 中， AB = 3 ， AD = 5 ，ÐBAD = 60° ，点C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是( )

3
4 3
3
8 3
3
A．4 B． 2 C． D．

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P(2, 3) 与点Q(-2, m + 1) 关于原点对称，则 m = ．
12．（3 分）如图， AB 为eO 的直径，弦CD ^ AB 于点 E ，已知CD = 6 ， EB = 1 ，则eO 的半径为 ．
13．（3 分）某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金 y （元) 关于 x 的函数关系式为y = ．

14．（3 分）随机抽取了某地区 1000 名九年级男生的身高数据，统计结果如下：

身高 x / cm
x < 160
160„x < 170
170„x < 180
x…180
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm 的概率是 ．
15．（3 分）如图，正比例函数 y = kx(k > 0) 与反比例函数 y = 1 的图象相交于 A ， C 两点，
x
过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B ，连接 BC ，则DABC 的面积为 ．

16．（3 分）将二次函数 y＝﹣x2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示． 当直线 y ＝ x+b 与新函数的图象恰有 3 个公共点时， b 的值为 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）在平面直角坐标系中，DABC 的顶点坐标是 A(2, 4) ，B(1, 0) ，C(3,1) ．试画出 DABC

绕点O 逆时针旋转90° 的△ A1 B1C1 ，并写出 A1 、C1 坐标．

18．（4 分）如图， AD = CB ，求证： AB = CD ．

19．（6 分）如图，一次函数 y = ax + b 与反比例函数 y = k 的图象相交于 A ， B 两点，且与
x
坐标轴的交点为(-6, 0) ， (0, 6) ，点 B 的横坐标为-4 ．
（1） 试确定反比例函数的解析式；
（2） 直接写出不等式 ax + b > k 的解集．
x

20．（6 分）已知函数 y = (m + 3)xm2 + 4m -3 + 5 是关于 x 的二次函数．

（1） 求 m 的值；

（2） 函数图象的两点 A(1, y1 ) ， B(5, y2 ) ，若满足 y1 > y2 ，则此时 m 的值是多少？

21．（8 分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全 体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整 的统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1） 本次被调查的学生有 人；

（2） 请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

（3） 通过了解，喜爱“航模”的学生中有 2 名男生和 2 名女生曾在市航模比赛中获奖，现

从这 4 个人中随机选取 2 人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的

2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率．

22．（10 分）新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价 50 元，每天销售量 y （桶) 与销售单价 x （元) 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1） 试求每天销量 y 与 x 之间的函数表达式及 x 的取值范围；

（2） 每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

第 32页（共 32页）

23．（10 分）如图，已知 AB 是eO 的直径， CD 与eO 相切于点 D ，且 AD / /OC ．
（1） 求证： BC 是eO 的切线；
（2） 延长CO 交eO 于点 E ．若ÐCEB = 30° ， eO 的半径为 2，求 B¶D 的长．（结果保留p)

24．（12 分）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 A(-1, 0) 、B(3, 0) 与 y 轴交于

点C ，顶点为 D ．以 AB 为直径在 x 轴上方画半圆交 y 轴于点 E ，圆心为 I ， P 是半圆上一动点，连接 DP ，点Q 为 PD 的中点．
（1） 试用含 a 的代数式表示c ；
（2） 若 IQ ^ PD 恒成立，求出此时该抛物线解析式；
（3） 在（2）的条件下，当点 P 沿半圆从点 B 运动至点 A 时，点Q 的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．

25．（12 分）如图，等腰RtDABC 中， ÐBAC = 90° ， D 是平面上任意一点，且 BD ^ CD ，过点 A 作 DB 、 DC 的垂线，垂足为 E 、 F ．
（1） 求证： BE = CF ；
（2） 当点 D 在平面上任意运动时，试探究线段 DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 点 D 在平面上任意运动，当DABD 面积取最大值时，此时，若CD = 1 ，请直接写出 AD
的长．

2022-2023 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3 分）两个不透明口袋中各有三个相同的小球，将每个口袋的小球分别标号为 1，2，3．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是( )
A．两个小球的标号之和等于 1 B．两个小球的标号之和大于 1

C．两个小球的标号之和等于 6 D．两个小球的标号之和大于 6

【解答】解： A 、两个小球的标号之和等于 1 是不可能事件，故 A 不符合题意；

B 、两个小球的标号之和大于 1 是必然事件，故 B 不符合题意；

C 、两个小球的标号之和等于 6 是随机事件，故C 符合题意；
D 、两个小球的标号之和大于 6 是不可能事件，故 D 不符合题意； 故选： C ．
2．（3 分）在以下绿色包装、可回收、节水、低碳四个环保图形中，是中心对称图形的是( )
A． B．
C． D．
【解答】解： A ．是中心对称图形，故本选项符合题意；

B ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D ．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选： A ．
3．（3 分）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是( )

A. 1
5
B. 3
10
C. 1
3
D. 1
2

【解答】解：因为两个同心圆等分成八等份，飞镖落在每一个区域的机会是均等的，其中黑 色区域的面积占了其中的四等份，
所以 P （飞镖落在黑色区域） = 4 = 1 ．
8 2
故选： D ．

2
4．（3 分）如图，在eO 中，弦 AB = 2 、点C 是圆上一点且ÐACB = 45° ，则eO 的直径
为( )

2
3 2
2
A．2 B． 3 C．

【解答】解：QÐACB = 45° ，
\ÐAOB = 2ÐACB = 2 ´ 45° = 90° ， 在RtDAOB 中，
Q OA = OB ，
\ÐOAB = ÐOBA = 45° ，
\sin 45° = OA ，
AB
D．4

2 2
\ 2 =
2
OA ，

解得： OA = 2 ．
则eO 的直径为 2OA = 2 ´ 2 = 4 ． 故选： D ．
5．（3 分）如图，在DABC 中， ÐBAC = 55° ， ÐC = 20° ，将DABC 绕点 A 逆时针旋转a角

度(0 < a< 180°) 得到DADE ，若 DE / / AB ，则a的值为( )
A． 65° B． 75° C． 85° D．130°
【解答】解：Q在DABC 中， ÐBAC = 55° ， ÐC = 20° ，
\ÐABC = 180° - ÐBAC - ÐC = 180° - 55° - 20° = 105° ，
Q将DABC 绕点 A 逆时针旋转a角度(0 < a< 180°) 得到DADE ，
\ÐADE = ÐABC = 105° ，

Q DE / / AB ，
\ÐADE + ÐDAB = 180° ，
\ÐDAB = 180° - ÐADE = 75°
\旋转角a的度数是 75° ， 故选： B ．
6．（3 分）如图是二次函数 y = ax2 + bx + c 的部分图象，使 y… - 1 成立的 x 的取值范围是(

)

A. x…-1
B. x„-1
C． -1„x„3
D． x„-1或 x…3

【解答】解：由函数图象可知，当 y… - 1 时，二次函数 y = ax2 + bx + c 不在 y = -1 下方部分的自变量 x 满足： -1„x„3 ，
故选： C ．
7．（3 分）如图，正方形 ABCD 的顶点 A 、B 在eO 上，顶点C 、D 在eO 内，将正方形 ABCD
绕点 B 顺时针旋转a度，使点C 落在eO 上．若正方形 ABCD 的边长和eO 的半径相等，

则旋转角度a等于( )

A． 36° B． 30° C． 25° D． 22.5°
【解答】解：连接 AO ， BO ， OF ，

Q AB = AO = BO ，
\DAOB 是等边三角形，
\ÐAOB = ÐOAB = 60° ，
同理： DFBO 是等边三角形， ÐFBA = 2ÐOBA = 120° ，
\Ða= 120° - 90° = 30° ，

故选： B ．
8．（3 分）已知 k < 0 < k ，则函数 y = k1 和 y = k x - 1 的图象大致是( )

1 2 x 2
A． B．
C． D．
【解答】解：Q k1 < 0 < k2 ， b = -1 < 0 ，
\直线过一、三、四象限；双曲线位于二、四象限． 故选： C ．

9．（3 分）二次函数 y = (k +1)x2 - 2x +1 的图象与 x 轴有交点，则 k 的取值范围是( )

A. k…0
B. k„0
C. k„0 且 k ¹ -1
D. k < 0 且 k ¹ -1

【解答】解：Q二次函数 y = (k +1)x2 - 2x +1 与 x 轴有交点，

ík + 1 ¹ 0
\ ì4 - 4(k + 1)…0 ，解得： k„0 且 k ¹ -1；
î

故答案选： C ．

10．（3 分）如图，在圆O 的内接四边形 ABCD 中， AB = 3 ， AD = 5 ，ÐBAD = 60° ，点C 为弧 BD 的中点，则 AC 的长是( )

3
4 3
3
8 3
3
A．4 B． 2 C． D．

【解答】解：Q A 、 B 、C 、 D 四点共圆， ÐBAD = 60° ，
\ÐBCD = 180° - 60° = 120° ，
QÐBAD = 60° ， AC 平分ÐBAD ，
\ÐCAD = ÐCAB = 30° ， 如图 1，
将DACD 绕点C 逆时针旋转120° 得DCBE ，
则ÐE = ÐCAD = 30° ， BE = AD = 5 ， AC = CE ，
\ÐABC + ÐEBC = (180° - ÐCAB - ÐACB) + (180° - ÐE - ÐBCE ) = 180° ，
\ A 、 B 、 E 三点共线， 过C 作CM ^ AE 于 M ，
Q AC = CE ，
\ AM = EM = 1 ´ (5 + 3) = 4 ，
2

在RtDAMC 中， AC =

故选： D ．
AM =
cos 30°
4 = 8 3 ；
3 3
2

二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）在平面直角坐标系中，点 P(2, 3) 与点Q(-2, m + 1) 关于原点对称，则 m = -4 ．
【解答】解：根据两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是原数的相反数， 得 m + 1 = -3 ，
\ m = -4 ． 故答案为-4 ．
12．（3 分）如图， AB 为eO 的直径，弦CD ^ AB 于点 E ，已知CD = 6 ， EB = 1 ，则eO 的
半径为 5 ．

【解答】解：连接OC ，
Q AB 为eO 的直径， AB ^ CD ，
\CE = DE = 1 CD = 1 ´ 6 = 3 ，
2 2
设eO 的半径为 x ，
则OC = x ， OE = OB - BE = x - 1， 在RtDOCE 中， OC 2 = OE 2 + CE 2 ，
\ x2 = 32 + (x -1)2 ，

解得： x = 5 ，
\eO 的半径为 5， 故答案为：5．

13．（3 分）某厂今年一月份新产品的研发资金为 a 元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x ，则该厂今年三月份新产品的研发资金 y（元) 关于 x 的函数关系式为 y =
a(1 + x)2 ．

【解答】解：Q一月份新产品的研发资金为 a 元，
2 月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是 x ，
\ 2 月份研发资金为 a ´ (1 + x) ，

\三月份的研发资金为 y = a ´ (1 + x) ´ (1 + x) = a(1 + x)2 ． 故填空答案： a(1 + x)2 ．
14．（3 分）随机抽取了某地区 1000 名九年级男生的身高数据，统计结果如下：

身高 x / cm
x < 160
160„x < 170
170„x < 180
x…180
人数
60
260
550
130
根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于170cm 的概率是

0.68 ．
【解答】样本中身高不低于170cm 的频率为 550 + 130 = 0.68 ，
1000
所以估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于170cm 的概率是 0.68． 故答案为：0.68．
15．（3 分）如图，正比例函数 y = kx(k > 0) 与反比例函数 y = 1 的图象相交于 A ， C 两点，
x
过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 B ，连接 BC ，则DABC 的面积为 1 ．

【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成

的直角三角形面积 S 是个定值，
即 S = 1 | k | ，
2

依题意有 S


DABC
= 2S


DAOB
= 2 ´ 1 ´ | k |= 1 ．
2

故答案为：1．

16．（3 分）将二次函数 y＝﹣x2+2x+3 的图象在 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线 y＝x+b 与新函数的图象恰有 3 个公共点时，b 的值为 或
﹣3 ．

【解答】解：二次函数解析式为 y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线 y＝﹣x2+2x+3 的顶点坐标为（1，4），当 y＝0 时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣ ，x2＝3，
则抛物线 y＝﹣x2+2x+3 与 x 轴的交点为 A（﹣1，0），B（3，0）， 把抛物线 y＝﹣x2+2x+3 图象 x 轴上方的部分沿 x 轴翻折到 x 轴下方，
则翻折部分的抛物线解析式为 y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3），顶点坐标 M（1，﹣4），如图，当直线 y＝x+b 过点 B 时，直线 y＝x+b 与该新图象恰好有三个公共点，

∴3+b＝0，

解得：b＝﹣3；

当直线 y＝x+b 与抛物线 y＝（x﹣1）2﹣4（﹣1≤x≤3）只有 1 个交点时，直线 y＝x+b
与该新图象恰好有三个公共点，

即（x﹣1）2﹣4＝x+b 有相等的实数解，
整理得：x2﹣3x﹣b﹣3＝0，Δ＝32﹣4（﹣b﹣3）＝0，

解得：b＝ ，
故答案为：
或﹣3．
所以 b 的值为：﹣3 或，
三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（4 分）在平面直角坐标系中，DABC 的顶点坐标是 A(2, 4) ，B(1, 0) ，C(3,1) ．试画出 DABC

绕点O 逆时针旋转90° 的△ A1 B1C1 ，并写出 A1 、C1 坐标．

【解答】解：如图：

由图可知： A1 (-4, 2) 、C1 (-1, 3) ．

18．（4 分）如图， AD = CB ，求证： AB = CD ．

【解答】证明：Q同弧所对对圆周角相等，
\ÐA = ÐC ， ÐD = ÐB ． 在DADE 和DCBE 中，
ìÐA = ÐC
í
ï AD = BC ，
î
ïÐD = ÐB

\DADE @ DCBE (ASA) ．
\ AE = CE ， DE = BE ，
\ AE + BE = CE + DE ，即 AB = CD ．

19．（6 分）如图，一次函数 y = ax + b 与反比例函数 y = k 的图象相交于 A ， B 两点，且与
x
坐标轴的交点为(-6, 0) ， (0, 6) ，点 B 的横坐标为-4 ．
（1） 试确定反比例函数的解析式；

（2） 直接写出不等式 ax + b > k 的解集．
x

í6 = b
【解答】解：（1）把 (-6, 0) ， (0, 6) 代入 y = ax + b 得： ì0 = -6a + b ，
î

íb = 6
解得： ìa = 1 ，
î

\一次函数的解析式为 y = x + 6 ， 把 x = -4 代入得： y = -4 + 6 = 2 ，
\ B(-4, 2) ，
把 B(-4, 2) 代入 y = k 得： 2 = k ，
x -4
解得： k = -8 ，
\反比例函数的解析式为 y = - 8 ．
x
ì y = x + 6
íï
（2）联立一次函数解析式和反比例函数解析式为： ï 8 ，
y = -
î x
解得： ìx1 = -4 ， ìx2 = -2 ，
í y = 2 í y = 4
î 1 î 2

\ A(-2, 4) ，
由图可知：当-4 < x < -2 或 x > 0 时， ax + b > k ．
x

20．（6 分）已知函数 y = (m + 3)xm2 + 4m -3 + 5 是关于 x 的二次函数．

（1） 求 m 的值；

（2） 函数图象的两点 A(1, y1 ) ， B(5, y2 ) ，若满足 y1 > y2 ，则此时 m 的值是多少？

【解答】解：（1）由题意得， m2 + 4m - 3 = 2 ， m + 3 ¹ 0 ，解得， m = 1或-5 ，

\ m 的值为 1 或-5 ．

（2）二次函数 y = (m + 3)xm2 + 4m -3 + 5 的对称轴为 y 轴，

Q数图象的两点 A(1, y1 ) ， B(5, y2 ) ，若满足 y1 > y2 ，
\ x > 0 时， y 随 x 的增大而减小，
\ m + 3 < 0 ，
\ m < -3 ，
\此时 m 的值是-5 ．
21．（8 分）某校计划组建航模、摄影、乐器、舞蹈四个课外活动小组，要求每名同学必须参加，并且只能选择其中一个小组．为了解学生对四个课外活动小组的选择情况，学校从全 体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把此次调查结果整理并绘制成如图两幅不完整 的统计图．

根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1） 本次被调查的学生有 60 人；

（2） 请补全条形统计图，并求出扇形统计图中“航模”所对应的圆心角的度数；

（3） 通过了解，喜爱“航模”的学生中有 2 名男生和 2 名女生曾在市航模比赛中获奖，现

从这 4 个人中随机选取 2 人参加省青少年航模比赛，请用列表或画树状图的方法求出所选的

2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率．
【解答】解：（1）本次被调查的学生有： 9 ¸ 15% = 60 （人) ；故答案为：60；

（2）航模的人数有： 60 - 9 - 15 - 12 = 24 （人) ， 补全条形统计图如图：

“航模”所对应的圆心角的度数是： 360°´ 24 = 144° ；
60

（3）设两名男生分别为男 1，男 2，两名女生分别为女 1，女 2，列表如下：

男 1
男 2
女 1
女 2
男 1

（男 2，男1)
（女 1，男1)
（女 2，男1)
男 2
（男 1，男 2)

（女 1，男 2)
（女 2，男 2)
女 1
（男 1，女1)
（男 2，女1)

（女 2，女1)
女 2
（男 1，女 2)
（男 2，女 2)
（女 1，女 2)

所有可能出现的结果有 12 种，它们出现的可能性相等，其中是 1 名男生和 1 名女生的情况

有 8 种，
则所选的 2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率是 8 = 2 ．
12 3
22．（10 分）新年将至，家家户户准备大扫除迎接新年，清洁用品需求量增加，商店新进一批桶装消毒液，每桶进价 50 元，每天销售量 y （桶) 与销售单价 x （元) 之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1） 试求每天销量 y 与 x 之间的函数表达式及 x 的取值范围；

（2） 每桶消毒液的销售价定为多少元时，商店每天获得的利润最大，最大利润是多少元？

【解答】解：（1）设 y 与销售单价 x 之间的函数关系式为： y = kx + b ，

í
将点(60,100) 、(70,80) 代入一次函数表达式得： ì100 = 60k + b ，
î80 = 70k + b

íb = 220
解得： ìk = -2 ，
î

故函数的表达式为： y = -2x + 220 ；
（2）设药店每天获得的利润为 w 元，由题意得：

w = (x - 50)(-2x + 220) = -2(x - 80)2 + 1800 ，

Q-2 < 0 ，函数有最大值，
\当 x = 80 时， w 有最大值，此时最大值是 1800，
故销售单价定为 80 元时，该商店每天获得的利润最大，最大利润 1800 元．
23．（10 分）如图，已知 AB 是eO 的直径， CD 与eO 相切于点 D ，且 AD / /OC ．
（1） 求证： BC 是eO 的切线；
（2） 延长CO 交eO 于点 E ．若ÐCEB = 30° ， eO 的半径为 2，求 B¶D 的长．（结果保留p)

【解答】（1）证明：连接OD ，

Q CD 与eO 相切于点 D ，
\ÐODC = 90° ，
Q OD = OA ，
\ÐOAD = ÐODA ，

Q AD / /OC ，
\ÐCOB = ÐOAD ， ÐCOD = ÐODA ，
\ÐCOB = ÐCOD ， 在DCOD 和DCOB 中

ìOD = OB
í
ïÐCOD = ÐCOB ，
î
ïOC = OC

\DCOD @ DCOB(SAS ) ，
\ÐODC = ÐOBC = 90° ，
\ BC 是eO 的切线；
（2）解：QÐCEB = 30° ，
\ÐCOB = 60° ，
QÐCOB = ÐCOD ，
\ÐBOD = 120° ，
\ B¶D 的长： 120pg2 = 4p．
180 3

24．（12 分）如图，抛物线 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 A(-1, 0) 、B(3, 0) 与 y 轴交于

点C ，顶点为 D ．以 AB 为直径在 x 轴上方画半圆交 y 轴于点 E ，圆心为 I ， P 是半圆上一动点，连接 DP ，点Q 为 PD 的中点．
（1） 试用含 a 的代数式表示c ；
（2） 若 IQ ^ PD 恒成立，求出此时该抛物线解析式；
（3） 在（2）的条件下，当点 P 沿半圆从点 B 运动至点 A 时，点Q 的运动轨迹是什么，试求出它的路径长．

【解答】解：（1）Q抛物线 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 A(-1, 0) 、 B(3, 0) ，

\该函数的解析式为 y = a(x + 1)(x - 3) = ax2 - 2ax - 3a ，

\ c = -3a ．
（2） 连接 DI ，
Q P 是半圆上一点，点Q 为 PD 的中点，且 IQ ^ PD ，
\点 D 在eI 上，
\ DI = 1 AB = 1 ´[3 - (-1)] = 2 ，
2 2
Q该抛物线的对称轴为直线 x = -1 + 3 = 1 ，
2
\ D(1, -2) ，
把 D(1, -2) 代入 y = ax2 - 2ax - 3a 得： -2 = a - 2a - 3a ， 解得： a = 1 ，
2
\该抛物线解析式为： y = 1 x2 - x - 3 ；
2 2
（3） Q IQ ^ PD ，
\ÐIQD = 90° ，
\点Q 在以 DI 为直径的圆上运动，
Q A(-1, 0) 、 B(3, 0) ， D(1, -2) ，

\当点 P 与点 B 重合时，
1 + 3 , -2) ，即Q (2, -1) ，

Q1 ( 2 2 1
当点 P 与点 A 重合时， 1 - 1, -2) ，即Q (0, -1) ，
Q2 ( 2 2 2
\Q1Q2 / / x 轴， Q1Q2 = 2 ，
\点Q 在以 DI 中点为圆心的半圆上运动，点Q 的路径长为： 1 ´ 2p= p．
2
答：它的路径长为p ．

25．（12 分）如图，等腰RtDABC 中， ÐBAC = 90° ， D 是平面上任意一点，且 BD ^ CD ，

过点 A 作 DB 、 DC 的垂线，垂足为 E 、 F ．

（1） 求证： BE = CF ；
（2） 当点 D 在平面上任意运动时，试探究线段 DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 点 D 在平面上任意运动，当DABD 面积取最大值时，此时，若CD = 1 ，请直接写出 AD
的长．

【解答】（1）证明：Q DABC 为等腰直角三角形，
\ AB = AC ， ÐBAC = 90° ，
Q BD ^ CD ， AE ^ DE ， AF ^ CD ，
\ÐEAF = 90° ， ÐAFC = ÐAEB = 90° ，
QÐBAC = ÐBAF + ÐCAF = 90° ， ÐEAF = ÐBAF + ÐBAE = 90° ，
\ÐCAF = ÐBAE ， 在DABE 和DACF 中，
ìÐAFC = ÐAEB = 90°
í
ïÐCAF = ÐBAE ，
î
ï AB = AC

\DABE @ DACF (AAS ) ，
\ BE = CF ．
（2） ①当点 D 在 BC 上方时，

由（1）可得DABE @ DACF ，
\ AE = AF ，
QÐBAC = 90° ， BD ^ CD ， AE ^ DE ， AF ^ CD ，
\四边形 AEDF 为正方形，

\ DE = DF ，

\ DA2 = DE2 + AE2 = 2DE2 ，则 DA =
2DE ，

Q DB + DC = (DE - BE ) + (DF + CF ) = 2DE ，

\ DB + DC =
2DA ；

②当点 D 在 BC 下方时，点 A 左侧时，过点 A 作 AM ^ AD 于点 A ，

QÐBAC = 90° ， BD ^ CD ，
\ÐBAC - ÐBAM = ÐDAM - ÐBAM ，即ÐBAD = ÐCAM ，
QÐBAC = 90° ， BD ^ CD ，
\ B 、 D 、 A 、C 四点共圆，则ÐABD = ÐACD ，
Q AB = AC ，
\ÐABC = ÐACB = 45° ，
\ÐABC = ÐADC = 45° ， AD = AM ，
Q AM ^ AD ，

\ DM =
DA =
cos 45°

2DA ，

在DABD 和DACM 中，

ìÐBAD = ÐCAM
í
ï AB = AC ，
î
ïÐABD = ÐACD

\DABD @ DACM (ASA) ，
\ DB = CM ，
\ DM = DC - CM = DC - DB ，

\ DC - DB =
2DA ；

③当点 D 在 BC 下方时，点 A 右侧时，

同理可得： DM = 2DA ， DM = BD - DC ，

\ DB - DC =
2DA ，

综上： DB + DC =
2DA 或| DB - DC |=
2DA ．

（3） 由（2）可得 B 、 D 、 A 、C 四点共圆，

过点 D 作 DN ^ AB 于点 N ，

Q SDABD
= 1 AB × DN ， AB 为定值，
2

\当 DN 最大时， SDABD 取最大值，

当 DN 经过点O 时， DN 取得最大值，

\ DN 垂直平分 AB ，
\ DA = DB ，

Q当点 D 在 BC 上方时， DB + DC =
2DA ，

1
2 -1
2
\ DA + 1 = 2DA ，整理得： DA = = + 1．