2021-2022学年广东省广州市海珠区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2021-2022 学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共 10 小题，共 30 分）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
2．（3 分）已知DABO∽DDEO ，且 BO : EO = 1: 3 ，则DABO 与DDEO 的面积比是( )

A．1: 3 B． 3 :1 C．1: 9 D． 9 :1
3．（3 分）如图，抛物线对称轴为直线 x = 1 ，与 x 轴交于点 A(-1, 0) ，则另一交点的坐标是( )

第 9页（共 30页）

A． (3, 0) B． (-3, 0)
C． (1, 0) D． (2, 0)

4．（3 分）社区医院十月份接种了新冠疫苗 100 份，十二月份接种了 392 份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为 x ，那么 x 满足的方程是( )
A．100(1 + x)2 = 392 B． 392(1 - x)2 = 100

C．100(1 + 2x)2 = 392 D．100(1 + x2 ) = 392

5．（3 分）已知：如图，在DABC 中， ÐADE = ÐC ，则下列等式成立的是( )

A. AD = AE
AB AC
B. DE = AE
BC AB
C. AE = AD
BC BD
D. DE = AD
BC AB

6．（3 分）如何平移抛物线 y = -(x + 4)2 -1 得到抛物线 y = -x2 ( )

A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位

B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位

C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位

D. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位

7．（3 分）若关于 x 的一元二次方程(m + 1)x2 + 3x + m2 -1 = 0 的一个实数根为 0，则 m 等于( )

A．1 B． ±1
C． -1
D．0

8．（3 分）如图，在eO 中， CD 是eO 的直径， AB ^ CD 于点 E ，若 AB = 8 ， CE = 2 ，则
eO 的半径为( )

5
5
A． 2 B． C．3 D．5

9．（3 分）如图， PA 、PB 切eO 于点 A 、B ，直线 FG 切eO 于点 E ，交 PA 于 F ，交 PB
于点G ，若 PA = 8cm ，则DPFG 的周长是( )

A． 8cm B．12cm C．16cm D． 20cm

10．（3 分）如图， DABC 中， AB = AC ， BC = 6 ， AD ^ BC 于点 D ， AD = 4 ， P 是半径为 1 的e A 上一动点，连结 PC ，若 E 是 PC 的中点，连结 DE ，则 DE 长的最大值为( )

A．3.5 B．4.5 C．4 D．3

二、填空题（共 6 小题，共 18 分）

11．（3 分）函数 y = x2 - 5 的最小值是 ．

12．（3 分）如图， A 、 B 、C 是eO 上的三点， ÐAOB = 80° ，则ÐACB 的度数为 ．
13．（3 分）圆锥底面的半径为5cm ，高为12cm ，则圆锥的侧面积为 cm2 ．

14．（3 分）二次函数 y = (x -1)2 ，当 x < 1 时， y 随 x 的增大而 ．（填“增大”或“减小”

)

15．（3 分）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线l 的解析式为 y = x + t ．若直线l 与半圆只有一个交点，则t 的取值范围是 ．

16．（3 分）如图，在DABC 中， AB = AC ，以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 AD 、BE 交于点 M ，过点 D 作 DF ^ AC 于点 F ， DH ^ AB 于点 H ，交 BE 于点G ：下列结论：① DCDF @ DBDH ，② DG = DM ，③ CF = FE ，④ BE = 2DH ，其中正确结论的序号是 ．

三、解答题（共 9 小题，共 72 分）

17．（4 分）解方程．

（1） x2 = 4x ； （2） x(x - 2) = 3x - 6 ．

18．（4 分）如图， DABC 的三个顶点 A 、 B 、C 都在格点上，坐标分别为(-2, 4) 、(-2, 0) 、
(-4,1) ．

（1） 画出DABC 绕着点 A 逆时针旋转90° 得到的△ AB1C1 ；

（2） 写出点 B1 、C1 的坐标．

19．（6 分）如图，抛物线 y = -(x -1)2 + 4 交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点C ．

（1） 求点 A 、 B 、C 坐标；

（2） 若直线 y = kx + b 经过 B 、C 两点，直接写出不等式-(x -1)2 + 4 > kx + b 的解集．

20．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 - x + 2m - 4 = 0 有两个实数根．
（1） 求 m 的取值范围；

（2） 若方程的两根满足(x1 - 3)(x2
- 3) = m2 -1 ，求 m 的值．

21．（ 8 分）如图， D 为eO 上一点， 点 C 是直径 BA 延长线上的一点， 连接 CD ， 且
ÐCDA = ÐCBD ．
（1） 求证： CD 是eO 的切线；
（2） 若 DC = 4 ， AC = 2 ，求OC 的长．

22．（10 分）如图，AB = 4 ，CD = 6 ，F 在 BD 上，BC 、AD 相交于点 E ，且 AB / /CD / / EF ．
（1） 若 AE = 3 ，求 ED 的长．
（2） 求 EF 的长．

23．（10 分）如图，已知直线 y = -2x + m 与抛物线相交于 A ， B 两点，且点 A(1, 4) 为抛物线的顶点，点 B 在 x 轴上．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若点 P 是 y 轴上一点，当ÐAPB = 90° 时，求点 P 的坐标．

24．（12 分）如图，在eO 中， AB 为弦，CD 为直径，且 AB ^ CD ，垂足为 E ， P 为 ¶AC 上的动点（不与端点重合），连接 PD ．
（1） 求证： ÐAPD = ÐBPD ；
（2） 利用尺规在 PD 上找到点 I ，使得 I 到 AB 、 AP 的距离相等，连接 AD （保留作图痕迹，不写作法）．求证： ÐAIP + ÐDAI = 180° ；
（3） 在（2）的条件下，连接 IC 、 IE ，若ÐAPB = 60° ，试问：在 P 点的移动过程中， IC
IE
是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

25．（12 分）已知抛物线G : y1
= mx2 - (3m - 3)x + 2m - 3 ，直线 h : y
= mx + 3 - 2m ，其中 m ¹ 0 ．

2
（1） 当 m = 1时，求抛物线G 与直线 h 交点的坐标；
（2） 求证：抛物线G 与直线 h 必有一个交点 A 在坐标轴上；
（3） 在（2）的结论下，解决下列问题：

①无论 m 怎样变化，求抛物线G 一定经过的点坐标；
②将抛物线G 关于原点对称得到的图象记为抛物线G¢ ，试结合图象探究：若在抛物线G 与直线 h ，抛物线G¢ 与直线 h 均相交，在所有交点的横坐标中，点 A 横坐标既不是最大值， 也不是最小值，求此时抛物线G 的对称轴的取值范围．

2021-2022 学年广东省广州市海珠区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（共 10 小题，共 30 分）
1．（3 分）下列图形中，是中心对称图形的是( )

A. B．
C． D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：选项 A 、 B 、C 不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180° 后与原图重合，所以不是中心对称图形；
选项 D 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180° 后与原图重合，所以是中心对称图形；
故选： D ．

【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
2．（3 分）已知DABO∽DDEO ，且 BO : EO = 1: 3 ，则DABO 与DDEO 的面积比是( )

A．1: 3 B． 3 :1 C．1: 9 D． 9 :1
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方直接得到答案即可．
【解答】解：QDABO∽DDEO ，且 BO : EO = 1: 3 ，
\DABO 与DDEO 的面积比是1: 9 ， 故选： C ．

【点评】考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的 平方，难度不大．
3．（3 分）如图，抛物线对称轴为直线 x = 1 ，与 x 轴交于点 A(-1, 0) ，则另一交点的坐标是(
)

第 31页（共 30页）

A． (3, 0) B． (-3, 0)
C． (1, 0) D． (2, 0)

【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线 x = 1 求解．
【解答】解：抛物线对称轴为直线 x = 1 ，点 A 坐标为(-1, 0) ， 由抛物线的对称性可得图象与 x 轴另一交点坐标为(3, 0) ，
故选： A ．

【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称． 4．（3 分）社区医院十月份接种了新冠疫苗 100 份，十二月份接种了 392 份．设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为 x ，那么 x 满足的方程是( )
A．100(1 + x)2 = 392 B． 392(1 - x)2 = 100

C．100(1 + 2x)2 = 392 D．100(1 + x2 ) = 392

【分析】设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为 x ，根据该社区医院十二月接种疫苗的数量，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为 x ， 根据题意得：100(1 + x)2 = 392 ．
故选： A ．

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方 程是解题的关键．
5．（3 分）已知：如图，在DABC 中， ÐADE = ÐC ，则下列等式成立的是( )

A. AD = AE
AB AC
B. DE = AE
BC AB
C. AE = AD
BC BD
D. DE = AD
BC AB

【分析】先根据相似三角形的判定定理求出DADE∽DACB ，再根据其对应边成比例解答即可．
【解答】解：Q在DABC 中， ÐADE = ÐC ， ÐA = ÐA ，
\DADE∽DACB ，
\ DE = AE ．
BC AB
故选： B ．

【点评】本题主要考查了三角形相似的判定方法，有两个角对应相等的三角形相似，相似三 角形的对应边的比相等．
6．（3 分）如何平移抛物线 y = -(x + 4)2 -1 得到抛物线 y = -x2 ( )

A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位

B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位

C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位

D. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位

【 分析】 根据二次函数的性质得到抛物线
y = -x2 的顶点坐标为 (0, 0) ， 抛物线

y = -(x + 4)2 -1 的顶点坐标为(-4, -1) ，然后通过顶点平移的情况来判断抛物线平移的情况．

【解答】解：抛物线 y = -x2 的顶点坐标为(0, 0) ，抛物线 y = -(x + 4)2 -1 的顶点坐标为(-4, -1) ，
Q点(-4, -1) 向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位可得到(0, 0) ，
\将抛物线 y = -(x + 4)2 -1 向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位得到抛物线 y = -x2 ． 故选： B ．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，
所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的 坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．

7．（3 分）若关于 x 的一元二次方程(m + 1)x2 + 3x + m2 -1 = 0 的一个实数根为 0，则 m 等于(

)

A．1 B． ±1


C． -1


D．0

【分析】把 x = 0 代入方程得到关于 m 的方程，再解关于 m 的方程，然后利用一元二次方程的定义确定 m 的值．
【解答】解：把 x = 0 代入(m + 1)x2 + 3x + m2 -1 = 0 ，得 m2 - 1 = 0 ， 解得 m1 = -1 ， m2 = 1，
而 m + 1 ¹ 0 ，即 m ¹ -1．
所以 m = 1． 故选： A ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一 元二次方程的解．
8．（3 分）如图，在eO 中， CD 是eO 的直径， AB ^ CD 于点 E ，若 AB = 8 ， CE = 2 ，则
eO 的半径为( )

5
5
A． 2 B． C．3 D．5

【分析】由垂径定理得 AE = 1 AB = 4 ，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
2
【解答】解：设eO 的半径为 r ，
Q CD 是eO 的直径， AB ^ CD ， AB = 8 ，
\ AE = 1 AB = 4 ，
2
在RtDOAE 中，由勾股定理得： AE 2 + OE 2 = OA2 ， 即 42 + (r - 2)2 = r2 ，
解得： r = 5 ，
即eO 的半径为 5，

故选： D ．

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解 题的关键．
9．（3 分）如图， PA 、PB 切eO 于点 A 、B ，直线 FG 切eO 于点 E ，交 PA 于 F ，交 PB
于点G ，若 PA = 8cm ，则DPFG 的周长是( )

A． 8cm B．12cm C．16cm D． 20cm
【分析】由于 PA 、FG 、PB 都是eO 的切线，可根据切线长定理，将DABC 的周长转化为切线长求解．
【解答】解：根据切线长定理可得： PA = PB ， FA = FE ， GE = GB ； 所以DPFG 的周长= PF + FG + PG ，
= PF + FE + EG + PG ，
= PF + FA + GB + PG ，
= PA + PB
= 16cm ， 故选： C ．
【点评】此题主要考查的是切线长定理，图中提供了许多等量线段，分析图形时关键是要仔 细探索，找出图形的各对相等切线长．
10．（3 分）如图， DABC 中， AB = AC ， BC = 6 ， AD ^ BC 于点 D ， AD = 4 ， P 是半径为 1 的e A 上一动点，连结 PC ，若 E 是 PC 的中点，连结 DE ，则 DE 长的最大值为( )

A．3.5 B．4.5 C．4 D．3

【分析】连接 PB ，根据等腰三角形的三线合一得到CD = DB ，根据三角形中位线定理得到

DE = 1 PB ，则当 PB 取最大值时， DE 的长最大，求得 PB 的最大值，即可求得 DE 长的最
2
大值．

【解答】解：连接 PB ，
Q AB = AC ， AD ^ BC ，
\CD = DB = 1 BC = 3 ，
2
Q点 E 为 AC 的中点，
\ DE 是DPBC 的中位线，
\ DE = 1 PB ，
2
\当 PB 取最大值时， DE 的长最大，

Q P 是半径为 1 的e A 上一动点，
\当 PB 过圆心 A 时， PB 最大，
Q BD = 3 ， AD = 4 ，

32 + 42
\ AB = = 5 ，

Qe A 的半径为 1，
\ PB 的最大值为5 + 1 = 6 ，
\ DE 长的最大值为 3， 故选： D ．

【点评】本题考查的是点和圆的位置关系，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线 定理，明确当 PB 取最大值时， DE 的长最大是解题的关键．
二、填空题（共 6 小题，共 18 分）

11．（3 分）函数 y = x2 - 5 的最小值是 -5 ．

【分析】由 x2…0 可得 x = 0 时，函数值最小．

【解答】解：Q x2…0 ，

\ x = 0 时，函数值最小为-5 ． 故答案为： -5 ．
【点评】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数性质，掌握求二次函数最值的 方法．
12．（3 分）如图， A 、B 、C 是eO 上的三点，ÐAOB = 80° ，则ÐACB 的度数为 40° ．
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求得ÐACB 的度数．
【解答】解：QÐAOB = 80° ，
\ÐACB = 1 ÐAOB = 40° ．
2
故答案为： 40°
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

13．（3 分）圆锥底面的半径为5cm ，高为12cm ，则圆锥的侧面积为 65p cm2 ．
【分析】根据圆锥的侧面积公式： S = prl ，直接代入数据求出即可．
【解答】解：由圆锥底面半径 r = 5cm ，高 h = 12cm ，

r2 + h2
根据勾股定理得到母线长l = = 13cm ，

根据圆锥的侧面积公式：prl = p´ 5 ´13 = 65p， 故答案为： 65p．
【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式，熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关 键．
14．（3 分）二次函数 y = (x -1)2 ，当 x < 1 时，y 随 x 的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小” )
【分析】利用二次函数的解析式画出示意图，根据图象解答即可．

【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数 y = (x -1)2 的示意图如下：

抛物线 y = (x -1)2 的对称轴为直线 x = 1 ，由图象可以看出： 当 x < 1 时，即在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而减小，
故答案为：减小．

【点评】本题主要考查了二次函数的性质，结合函数的图象利用数形结合的思想解答简单明 了．
15．（3 分）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径 1，直线l 的解析式为 y = x + t ．若

2
直线l 与半圆只有一个交点，则t 的取值范围是 t = 或-1„t < 1 ．

【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点 C 或从直线过点 A 开始到直线过点 B 结束（不包括直线过点 A) ．
当直线和半圆相切于点C 时，根据直线的解析式知直线与 x 轴所形成的锐角是 45° ，从而求得ÐDOC = 45° ，即可求出点C 的坐标，进一步求得t 的值；当直线过点 B 时，直接根据待定系数法求得t 的值．
【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点 C 或从直线过点 A 开始到直线过点 B 结束（不包括直线过点 A) ．
直线 y = x + t 与 x 轴所形成的锐角是 45° ．
当直线和半圆相切于点C 时，则OC 垂直于直线， ÐCOD = 45° ．
又OC = 1 ，则CD = OD = 2 ，即点C(- 2 ， 2 ) ，
2 2 2
把点C 的坐标代入直线解析式，得

2
t = y - x = ，

当直线过点 A 时，把点 A(-1, 0) 代入直线解析式，得t = y - x = 1 ． 当直线过点 B 时，把点 B(1, 0) 代入直线解析式，得t = y - x = -1 ．
2
即当t = 或-1„t < 1 时，直线和圆只有一个公共点；

2
故答案为t = 或-1„t < 1 ．

【点评】此题综合考查了直线和圆的位置关系，及用待定系数法求解直线的解析式等方法． 16．（3 分）如图，在DABC 中， AB = AC ，以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点 D ，交 AC 于点 E ，连接 AD 、BE 交于点 M ，过点 D 作 DF ^ AC 于点 F ， DH ^ AB 于点 H ，交 BE 于点G ：下列结论：① DCDF @ DBDH ，② DG = DM ，③ CF = FE ，④ BE = 2DH ，其中正确结论的序号是 ①②④ ．

【分析】①根据 AB 为半圆O 的直径，求出ÐADB = 90° ，然后利用等腰三角形的三线合一性质证明 BD = CD ，进而易证DCDF @ DBDH ；
② 要证明 DG = DM ， 可以先证明 ÐDGM = ÐDMG ， 而 ÐDGM = ÐDBM + ÐBDG ，
ÐDMG = ÐABM + ÐDAB ，根据已知 DH ^ AB ，易证ÐDAB = ÐBDG ，所以只要证明 ÐDBM
和ÐABM 相等即可解答；
③根据已知易证 DF / / BE ，由①可得 BD = DC ，然后利用平行线分线段成比例即可解答；
④利用三角形的中位线定理证明 BE = 2DF ，由①可得 DF = DH ，即可解答．
【解答】解：①Q AB 为半圆O 的直径，
\ÐADB = 90° ，

Q AB = AC ，
\ÐABC = ÐC ，
Q AB = AC ， AD ^ BC ，
\ BD = CD ，
\DCDF @ DBDH (AAS ) ， 故①正确；
②QÐADB = 90° ，
\ÐDAB + ÐDBA = 90° ，
QÐDHB = 90° ，
\ÐBDH + ÐDBA = 90° ，
\ÐBDH = ÐDAB ，
QÐDGM = ÐDBM + ÐBDG ， ÐDMG = ÐABM + ÐDAB ， ÐDBM ¹ ÐABM ，
\ÐDGM ¹ ÐDMG ，
\ DG ¹ DM ， 故②不正确；
③Q AB 为半圆O 的直径，
\ÐAEB = 90° ，
\ BE ^ AC ，
Q DF ^ AC ，
\ DF / / BE ，
\ CD = CF ，
BD FE
QCD = BD ，
\CF = FE ， 故③正确；
④由③可得： CD = BD ， CF = FE ，
\ DF 是DCBE 的中位线，
\ BE = 2DF ，
由①可得： DCDF @ DBDH ，
\ DF = DH ，

\ BE = 2DH ， 故④正确；
所以：其中正确结论的序号是①②④， 故答案为：①②④．
【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图 形分析是解题的关键．
三、解答题（共 9 小题，共 72 分）

17．（4 分）解方程．

（1） x2 = 4x ；
（2） x(x - 2) = 3x - 6 ．
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x 的一元一次方程，进一步求解即可；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于 x 的一元一次方程，进一步求解即可．
【解答】解：（1）Q x2 = 4x ，
\ x2 - 4x = 0 ， 则 x(x - 4) = 0 ，
\ x = 0 或 x - 4 = 0 ， 解得 x1 = 0 ， x2 = 4 ；
（2）Q x(x - 2) = 3x - 6 ，
\ x(x - 2) - 3(x - 2) = 0 ， 则(x - 2)(x - 3) = 0 ，
\ x - 2 = 0 或 x - 3 = 0 ， 解得 x1 = 2 ， x2 = 3 ．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因 式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
18．（4 分）如图， DABC 的三个顶点 A 、 B 、C 都在格点上，坐标分别为(-2, 4) 、(-2, 0) 、
(-4,1) ．

（1） 画出DABC 绕着点 A 逆时针旋转90° 得到的△ AB1C1 ；

（2） 写出点 B1 、C1 的坐标．

【分析】（1）根据旋转的性质画出点 B 、C 的对应点即可；

（2）根据点 B1 、C1 的位置，即可写出坐标．

【解答】解：（1）如图所示，△ AB1C1 即为所求；

（2）根据图形可知： B1 (2, 4) ， C1 (1, 2) ．

【点评】本题主要考查了作图- 旋转变换，平面直角坐标系中点的坐标的特征等知识，注意旋转的方向是正确画图的关键．
19．（6 分）如图，抛物线 y = -(x -1)2 + 4 交 x 轴于 A 、 B 两点，交 y 轴于点C ．

（1） 求点 A 、 B 、C 坐标；

（2） 若直线 y = kx + b 经过 B 、C 两点，直接写出不等式-(x -1)2 + 4 > kx + b 的解集．

【分析】（1）令 x = 0 可得点 A ， B 坐标，令 y = 0 可得点C 坐标．
（2）通过观察图象， BC 之间的部分抛物线在直线上方，从而求解．
【解答】解：（1）令 y = 0 ，则0 = -(x -1)2 + 4 ，解得 x = 3 或 x = -1 ，
\点 A 坐标为(-1, 0) ，点 B 坐标为(3, 0) ， 令 x = 0 ， y = -1 + 4 = 3 ，
\点C 坐标为(0, 3) ．

（2）由图象可得， 0 < x < 3 时，抛物线在直线上方，

\-(x -1)2 + 4 > kx + b 的解集为0 < x < 3 ．

【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关 系．
20．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2 - x + 2m - 4 = 0 有两个实数根．
（1） 求 m 的取值范围；

（2） 若方程的两根满足(x1 - 3)(x2
- 3) = m2 -1 ，求 m 的值．

【分析】（1）利用判别式得到△ = (-1)2 - 4(2m - 4)…0 ，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到 x + x = 1 ， x x = 2m - 4 ， (x - 3)(x
- 3) = m2 -1 变形得到

1 2 1 2 1 2

x x - 3(x + x ) + 9 = m2 -1 ，代入得到关于 m 的方程，解方程即可求得 m 的值．
1 2 1 2

【解答】解：（1）根据题意得△ = (-1)2 - 4(2m - 4)…0 ，
解得 m„17 ；
8

（2）根据题意得 x1 + x2 = 1 ， x1 x2 = 2m - 4 ，

Q(x1 - 3)(x2
- 3) = m2 -1 ，

\ x x - 3(x + x ) + 9 = m2 -1，
1 2 1 2

\ 2m - 4 - 3´1 + 9 = m2 - 1 ，
\ m2 - 2m - 3 = 0 ，

解得 m1 = -1 ， m2 = 3 （不合题意，舍去）．故 m 的值是-1 ．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0(a ¹ 0) 的两
1 2

根时， x + x = - b ， x × x = c ．也考查了根的判别式．

1 2 a 1 2 a

21．（ 8 分）如图， D 为eO 上一点， 点 C 是直径 BA 延长线上的一点， 连接 CD ， 且
ÐCDA = ÐCBD ．
（1） 求证： CD 是eO 的切线；
（2） 若 DC = 4 ， AC = 2 ，求OC 的长．

【分析】（1）根据圆周角定理和等腰三角形的性质，得出ÐODA + ÐCDA = 90° ，即OD ^ CD

即可得出结论；

（2）利用相似三角形的判定和性质，求出 BC ，进而求出半径OA ，再求出OC 即可．

【解答】解：（1）如图，连接OD ，
Q AB 是eO 的直径，
\ÐADB = 90° ，
即ÐODB + ÐODA = 90° ，
QOB = OD ，
\ÐABD = ÐODB ，
又QÐCDA = ÐCBD ，
\ÐODA + ÐCDA = 90° ， 即OD ^ CD ，

Q OD 是eO 的半径，
\CD 是eO 的切线；
（2）QÐCDA = ÐCBD ， ÐACD = ÐDCB ，
\DACD∽DDCB ，
\ CD = AC ，
CB DC
即 4 = 2 ，
CB 4
\CB = 8 ，
\OA = CB - AC
2
= 8 - 2
2
= 3 ，
\OC = OA + AC
= 3 + 2
= 5 ．

【点评】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，掌握圆周 角定理，相似三角形的性质是解决问题的关键．
22．（10 分）如图，AB = 4 ，CD = 6 ，F 在 BD 上，BC 、AD 相交于点 E ，且 AB / /CD / / EF ．
（1） 若 AE = 3 ，求 ED 的长．
（2） 求 EF 的长．

【分析】（1）证明 DAEB∽DDEC ，得到 AE = AB ，把已知数据代入计算即可；
DE CD

（2）根据 DBEF∽DBCD ，得到 EF = BF ，同理得到 EF = DF ，两个比例式相加再代入计

算，得到答案．
【解答】解：（1）Q AB / /CD ，
\DAEB∽DDEC ，
\ AE = AB ，
DE CD
Q AB = 4 ， CD = 6 ， AE = 3 ，
CD BD
AB BD

\ 3 = 4 ，
DE 6
解得： DE = 9 ；
2
（2）QCD / / EF ，
\DBEF∽DBCD ，
\ EF = BF ，
CD BD
同理： EF = DF ，
AB BD
\ EF + EF = BF + DF = 1 ，
CD AB BD BD
\ EF + EF = 1，
6 4
解得： EF = 12 ．
5
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是 解题的关键．
23．（10 分）如图，已知直线 y = -2x + m 与抛物线相交于 A ， B 两点，且点 A(1, 4) 为抛物线
的顶点，点 B 在 x 轴上．
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若点 P 是 y 轴上一点，当ÐAPB = 90° 时，求点 P 的坐标．

【分析】（1）将点 A(1, 4) 代入 y = -2x + m ，确定直线解析式即可求出 B 点坐标，再设抛物线解析式为 y = a(x -1)2 + 4 ，将所求的 B 点坐标代入即可求 a 的值；

5
（2）（2）设 P(0,t) ，则可求 AB = 2
， AB 的中点 M (2, 2) ，再由直角三角形斜边的中线等

于斜边的一半可得 4 + (t - 2)2 = 5 ，即可求 P 点坐标为(0,1) 或(0, 3) ．

【解答】解：（1）将点 A(1, 4) 代入 y = -2x + m ，
\-2 + m = 4 ，
\ m = 6 ，
\ y = -2x + 6 ，
令 y = 0 ，则 x = 3 ，
\ B(3, 0) ，
设抛物线解析式为 y = a(x -1)2 + 4 ， 将 B(3, 0) 代入 y = a(x -1)2 + 4 ，

\ 4a + 4 = 0 ，
\ a = -1 ，

\ y = -x2 + 2x + 3 ；

（2）设 P(0,t) ，

Q A(1, 4) ， B(3, 0) ，

5
\ AB = 2
， AB 的中点 M (2, 2) ，

QÐAPB = 90° ，
5
\ MP = ，

\4 + (t - 2)2 = 5 ，

\t = 1或t = 3 ，
\ P 点坐标为(0,1) 或(0, 3) ．
【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握待定系数法求函数的解析式，灵活应用直角三 角形的性质是解题的关键．
24．（12 分）如图，在eO 中， AB 为弦，CD 为直径，且 AB ^ CD ，垂足为 E ， P 为 ¶AC 上的动点（不与端点重合），连接 PD ．
（1） 求证： ÐAPD = ÐBPD ；
（2） 利用尺规在 PD 上找到点 I ，使得 I 到 AB 、 AP 的距离相等，连接 AD （保留作图痕迹，不写作法）．求证： ÐAIP + ÐDAI = 180° ；
（3） 在（2）的条件下，连接 IC 、 IE ，若ÐAPB = 60° ，试问：在 P 点的移动过程中， IC
IE
是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可证明；

（2） 作ÐBAP 的平分线交 DP 于 I ，证明ÐDAI = ÐAID ，进而命题可证；
（3） 连接 BI ， AC ，先计算得ÐAIB = 120° ，从而确定 I 在以 D 为圆心， AD 为半径的圆上运动，根据“射影定理”得 AD2 = DE × CD ，进而证明△ DI ¢E∽DDCI ¢ ，从而求得结果．
【解答】（1）证明：Q直径CD ^ 弦 AB ，
\ ¶AD = B¶D ，

\ÐAPD = ÐBPD ；
（2） 解：如图，

作ÐBAP 的平分线，交 PD 于 I ， 证：Q AI 平分ÐBAP ，
\ÐPAI = ÐBAI ，
\ÐAID = ÐAPD + ÐPAI = ÐAPD + BAI ，
Q ¶AD