2023-2024学年广东省广州市荔湾区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3 分）如图所示图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D． 2．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心

C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球3．（3 分）在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，1） 4．（3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（3，﹣1） C．（﹣1，﹣7） D．（﹣3，﹣1）

6．（3 分）如图，OA 是⊙O 的半径，弦 BC⊥OA，D 是优弧上一点，如果∠AOB＝58°，那么∠ADC的度数为（ ）

A．32° B．29° C．58° D．116°

7．（3 分）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛 21 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． x（x+1）＝21 B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21

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8．（3 分）已知 a，b，c 为常数，点 P（a，c）在第四象限，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判定

9．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若把直角三角形绕边 AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）

A． π B． π C．12π D．24π
10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点，与 y 轴的交点 B 在（0，0）和
（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x＝．则下列结论：①x＞3 时，y＜0；②4a+b＜0；
③﹣ ＜a＜0；④2a＜c．其中正确的个数是（ ）

A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）
11．（3 分）二次函数 y＝x2+bx+c 的图象上有两点 A（3，1），B（5，1），则此抛物线的对称轴是直线 x
＝ ．

12．（3 分）从 1～10 这 10 个整数中随机抽取 1 个数，抽到 3 的倍数的概率是 ．

13．（3 分）如图，将三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到三角形 CDE，若点 A 恰好在 ED 的延长线上，若

∠ABC＝110°，则∠ADC 的度数为 ．

14．（3 分）若α、β是关于 x 的方程 x2﹣x+k＝0 的两个实数根，且α2+β2＝5，则 k 的值为 ．
15．（3 分）⊙O 的半径是 2，弦 AB＝2，点 C 为⊙O 上的一点（不与点 A、B 重合），则∠ACB 的度数为 ．
16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝12，点 D 是边 BC 上的一动点，连接 AD，作 CE⊥AD 于点 E，连接 BE，则 BE 的最小值为 ．

三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）解方程：x2﹣2x＝x﹣2．

18．（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（﹣1，0），B（﹣2，﹣2）， C（﹣4，﹣1）．
（1） 将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2） 求点 B 运动路径长．

19．（6 分）如图 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 EB＝9，AE＝1，求弦 CD 的长．

20．（6 分）一个不透明的口袋中装有 2 个红球（记为红球 1、红球 2）、1 个白球、1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．
（1） 从中任意摸出 1 个球，求恰好摸到黑球的概率；

（2） 先从中任意摸出 1 个球，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，请用列举法求两次都摸到红球的概率．

21．（8 分）如图，已知点 E 在直角△ABC 的斜边 AB 上，以 AE 为直径的⊙O 与直角边 BC 相切于点 D．

（1） 求证：AD 平分∠BAC；

（2） 若 BE＝4，BD＝8，求⊙O 的半径．

22．（10 分）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件 30 元，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W 元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件．
（1） 求 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

（2） 当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3） 如果每天的利润不低于 3000 元，求销售单价 x（元）的取值范围．

23．（10 分）已知抛物线 y1＝﹣x2+mx+n 和直线 y2＝kx+b，抛物线 y1 的对称轴与直线 y2 交于点 A（﹣1，5），点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4．
（1） 求 y1 的解析式；
（2） 若 y2 随着 x 的增大而减小，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点，求 y2 的解析式．

24．（12 分）已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且，∠ABC＝60°，D 为⊙O 上一动点．

（1） 如图 1，若点 D 是的中点，则∠DBA＝ °；

（2） 如图 2，点 D 是上一动点，过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为点 E，求证：CD＝DE+AE；
（3） 如图 3，∠D＝30°，连接 AD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．

25．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一动点．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 过点 A 作 AD∥BC 交抛物线于点 D，点 Q 为直线 AD 上一动点，连接 CP，CQ，BP，BQ，求四边形 BPCQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
（3） 将抛物线向右平移 1 个单位，M 为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点 N，使以点 B，C，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标，若不存在，请说明理由．

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2023-2024 学年广东省广州市荔湾区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（3 分）如图所示图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，符合题意； D、是中心对称图形，不符合题意； 故选：C．
2．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）

A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天

D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球

【解答】解：A、经过红绿灯路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项不符合题意；

B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；

C、班里的两名同学，他们的生日是同一天是随机事件，故本选项不符合题意；

D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球是不可能事件，故本选项符合题意； 故选：D．
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点（1，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）

A．（﹣1，﹣3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（3，1）

【解答】解：点 A（1，3）关于原点 O 对称的点 A1 的坐标是：（﹣1，﹣3）．

故选：A．

4．（3 分）抛掷一枚质地均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：
共有 4 种等可能的结果数，其中两次都是“正面朝上”的结果有 1 种，
∴两次都是“正面朝上”的概率为 ， 故选：C．
5．（3 分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，得到的抛物线顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（3，﹣1） C．（﹣1，﹣7） D．（﹣3，﹣1）

【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为 y＝（x﹣1+2）
2﹣4+3＝（x+1）2﹣1，
∴得到的抛物线顶点坐标是（﹣1，﹣1）．故选：A．
6．（3 分）如图，OA 是⊙O 的半径，弦 BC⊥OA，D 是优弧上一点，如果∠AOB＝58°，那么∠ADC的度数为（ ）

A．32° B．29° C．58° D．116°

【解答】解：∵弦 BC⊥OA，

∴ ＝ ，

∴∠ADC＝ ∠AOB＝ ×58°＝29°． 故选：B．
7．（3 分）某中学的初三篮球赛中，参赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛 21 场，设参加比赛的球队有 x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A． x（x+1）＝21 B． x（x﹣1）＝21
C．x（x+1）＝21 D．x（x﹣1）＝21
【解答】解：依题意得： x（x﹣1）＝21． 故选：B．
8．（3 分）已知 a，b，c 为常数，点 P（a，c）在第四象限，则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的根的情况为（ ）
A. 有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根
D．无法判定

【解答】解：∵点 P（a，c）在第四象限，

∴a＞0，c＜0，

∴ac＜0，

∴方程 ax2+bx+c＝0 的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程 ax2+bx+c＝0 有两个不相等的实数根． 故选：B．
9．（3 分）如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，若把直角三角形绕边 AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（ ）

A． π B． π C．12π D．24π
【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，

∴AB＝ ＝5，
设 AB 边上的高为 h，则×5h＝ ×3×4， 解得：h＝
∴所得两个圆锥底面半径为 ．
∴几何体的表面积＝ ×2π× ×4+×2π××3＝ π． 故选：A．
10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点，与 y 轴的交点 B 在（0，0）和
（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线 x＝．则下列结论：①x＞3 时，y＜0；②4a+b＜0；
③﹣ ＜a＜0；④2a＜c．其中正确的个数是（ ）

A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【解答】解：由题知，
因为抛物线的对称轴为直线 x＝，且与 x 轴的一个交点坐标为（，0），所以抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（，0），
所以当 x＞时，y＜0，
则当 x＞3 时，y＜0． 故①正确．
因为抛物线的对称轴是直线 x＝，
所以 ，
则 3a+b＝0，

又因为 a＜0， 所以 4a+b＜0． 故②正确．
将（ ，0）代入函数解析式得，
，
又因为 b＝﹣3a， 则 c＝．
而抛物线与 y 轴的交点 B 在（0，0）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），所以﹣1＜c＜0，
则﹣1＜ ＜0，
得 ．
故③正确．
因为 ，a＜0， 所以 ．
又因为 c＝， 所以 2a＜c．
故④正确． 故选：D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.）

11．（3 分）二次函数 y＝x2+bx+c 的图象上有两点 A（3，1），B（5，1），则此抛物线的对称轴是直线 x＝
4 ．

【解答】解：∵点 A（3，1），B（5，1）的纵坐标相同，

∴点 A（3，1），B（5，1）是抛物线上的对称点，
∴对称轴为直线 x＝＝4， 故答案为：4．
12．（3 分）从 1～10 这 10 个整数中随机抽取 1 个数，抽到 3 的倍数的概率是 ．

【解答】解：由题意可得：在 1～10 中共有 10 个整数，

3 的倍数只有 3，6，9，共 3 个，
∴随机抽取一个数，抽到 3 的倍数的概率是． 故答案为： ．
13．（3 分）如图，将三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到三角形 CDE，若点 A 恰好在 ED 的延长线上，若

∠ABC＝110°，则∠ADC 的度数为 70° ．

【解答】解：∵三角形 ABC 绕点 C 顺时针旋转得到三角形 CDE，

∴∠ABC＝∠CDE，

∵∠ABC＝110°，

∴∠CDE＝110°，

∴∠ADC＝70°， 故答案为：70°．
14．（3 分）若α、β是关于 x 的方程 x2﹣x+k＝0 的两个实数根，且α2+β2＝5，则 k 的值为 ﹣2 ．
【解答】解：∵α、β是关于 x 的方程 x2﹣x+k＝0 的两个实数根，
∴α+β＝1，αβ＝k，

∵α2+β2＝5，
∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ＝1﹣2k＝5， 解得：k＝﹣2．
∵Δ＝（﹣1）2﹣4k≥0，
∴k≤ ，
∴k 的值为﹣2． 故答案为：﹣2．
15．（3 分）⊙O 的半径是 2，弦 AB＝2，点 C 为⊙O 上的一点（不与点 A、B 重合），则∠ACB 的度数为 30°

或 150° ．

【解答】解：如图，连接 OA，OB．

∵AO＝BO＝2，AB＝2，

∴△ABO 是等边三角形，

∴∠AOB＝60°．

若点 C 在优弧上，则∠BCA＝30°；
若点 C 在劣弧 上，则∠BCA＝ （360°﹣∠AOB）＝150°； 综上所述：∠BCA 的度数为 30°或 150°．
故答案为 30°或 150°．
16．（3 分）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝12，点 D 是边 BC 上的一动点，连接 AD，作 CE⊥AD 于点 E，连接 BE，则 BE 的最小值为 4 ．

【解答】解：∵CE⊥AD，

∴∠AEC＝90°，

∴点 E 在以 AC 为直径的圆上，

取 AC 的中点 O，以 AC 为直径作⊙O，当 O、E、B 共线时，BE 的长最小，

∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝12，
∴OC＝ AC＝6，
Rt△OCB 中，OC＝OE＝6，BC＝8，

∴OB＝ ＝ ＝10，
∴BE＝OB﹣OE＝10﹣6＝4， 则 BE 的最小值为：4，
故答案为：4．

三、解答题（本大题共 9 小题，共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（4 分）解方程：x2﹣2x＝x﹣2．
【解答】解：方程整理，得x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0， 因式分解，得
（x﹣2）（x﹣1）＝0于是，得
x﹣2＝0 或 x﹣1＝0

解得 x1＝2，x2＝1．
18．（4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（﹣1，0），B（﹣2，﹣2）， C（﹣4，﹣1）．
（1） 将△ABC 绕点 O 顺时针旋转 90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2） 求点 B 运动路径长．

【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求．

（2）∵OB＝ ＝2 ，∠BOB1＝90°，
∴点 B 运动路径长为＝ π．
19．（6 分）如图 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若 EB＝9，AE＝1，求弦 CD 的长．
【解答】解：连接 OC，如图，

∵CD⊥AB，

∴CE＝DE，

∵EB＝9，AE＝1，

∴AB＝10，OC＝OA＝5，

∴OE＝4，

在 Rt△OCE 中，CE＝＝3，
∴CD＝2CE＝6．
20．（6 分）一个不透明的口袋中装有 2 个红球（记为红球 1、红球 2）、1 个白球、1 个黑球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀．

（1） 从中任意摸出 1 个球，求恰好摸到黑球的概率；

（2） 先从中任意摸出 1 个球，再从余下的 3 个球中任意摸出 1 个球，请用列举法求两次都摸到红球的概率．
【解答】解：（1）4 个小球中有 1 个黑球，
则任意摸出 1 个球，恰好摸到红球的概率是； 故答案为： ；

红 1
红 2
白
黑
红 1
﹣﹣﹣
（红 2，红 1）
（白，红 1）
（黑，红 1）
红 2
（红 1，红 2）
﹣﹣﹣
（白，红 2）
（黑，红 2）
白
（红 1，白）
（红 1，白）
﹣﹣﹣
（黑，白）
黑
（红 1，黑）
（红 2，黑）
（白，黑）
﹣﹣﹣

（2）列表如下：

所有等可能的情况有 12 种，其中两次都摸到红球有 2 种可能， 则 P（两次摸到红球）＝＝ ．
21．（8 分）如图，已知点 E 在直角△ABC 的斜边 AB 上，以 AE 为直径的⊙O 与直角边 BC 相切于点 D．

（1） 求证：AD 平分∠BAC；

（2） 若 BE＝4，BD＝8，求⊙O 的半径．

【解答】（1）证明：连接 OD，

∵BC 是⊙O 的切线，

∴OD⊥BC， 又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，

∴∠2＝∠3；

∵OA＝OD，

∴∠1＝∠3，

∴∠1＝∠2，

∴AD 平分∠BAC；

（2）解：∵BC 与圆相切于点 D．

∴BD2＝BE•BA，
∵BE＝4，BD＝8，

∴BA＝16，

∴AE＝AB﹣BE＝12，

∴⊙O 的半径为 6．

22．（10 分）某网店专门销售杭州第十九届亚运会吉祥物机器人“江南忆”套装，成本为每件 30 元，每天销售 y（件）与销售单价 x（元）之间存在一次函数关系，如图所示，网店每天的销售利润为 W 元．网店希望每天吉祥物机器人“江南忆”套装的销售量不低于 220 件．
（1） 求 y 与 x 之间的函数关系式（不要求写自变量的取值范围）；

（2） 当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

（3） 如果每天的利润不低于 3000 元，求销售单价 x（元）的取值范围．

【解答】解：（1）设 y＝kx+b，将（40，300），（55，150）代入，得： ，
解得： ，

所以 y 与 x 之间的函数关系式为：y＝﹣10x+700；

（2）设每周可获利润为 W 元，

W＝y（x﹣30），

＝（x﹣30）（﹣10x+700），

＝﹣10x2+1000x﹣21000，
＝﹣10（x﹣50）2+4000， 又∵﹣10x+700≥220，
∴x≤48，

∵x＜50，

∴x≤48，

∵x＜50 时，W 随 x 的增大而增大，

∴当 x＝48 时，W 取得最大值，最大值为﹣10×4+4000＝3960．

答：当销售单价为 48 元时，每天获取的利润最大，最大利润是 3960 元．

（3）依题意得：W＝﹣10x2+1000x﹣21000＝3000， 即﹣10（x﹣50）2＝1000，
解得：x1＝40，x2＝60，
∵a＝﹣10＜0，x≤48，

∵当 40≤x≤48 时，每月利润不低于 3000 元．

23．（10 分）已知抛物线 y1＝﹣x2+mx+n 和直线 y2＝kx+b，抛物线 y1 的对称轴与直线 y2 交于点 A（﹣1，5），点 A 与 y1 的顶点 B 的距离是 4．
（1） 求 y1 的解析式；
（2） 若 y2 随着 x 的增大而减小，且 y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点，求 y2 的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线 y1＝﹣x2+mx+n，直线 y2＝kx+b，y1 的对称轴与 y2 交于点 A（﹣1，5），点 A
与 y1 的顶点 B 的距离是 4．
∴B（﹣1，1）或（﹣1，9），
∴﹣ ＝﹣1， ＝1 或 9， 解得 m＝﹣2，n＝0 或 8，
∴y1 的解析式为 y1＝﹣x2﹣2x 或 y1＝﹣x2﹣2x+8；
（2）①当 y1 的解析式为 y1＝﹣x2﹣2x 时，抛物线与 x 轴交点是（0，0）和（﹣2，0），

∵y1 的对称轴与 y2 交于点 A（﹣1，5），
∴y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（0，0），把（﹣1，5），（0，0）代入得，
解得 k＝﹣5，

∴y2＝﹣5x．
②当 y1＝﹣x2﹣2x+8 时，解﹣x2﹣2x+8＝0 得 x＝﹣4 或 2，
∵y2 随着 x 的增大而 j 减小，且过点 A（﹣1，5），
∴y1 与 y2 都经过 x 轴上的同一点（2，0），把（﹣1，5），（2，0）代入得，
解得 ；

∴y2＝﹣ x+．
综上所述，y2 的解析式为 y2＝﹣5x 或 y2＝﹣x+ ．
24．（12 分）已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且，∠ABC＝60°，D 为⊙O 上一动点．

（1） 如图 1，若点 D 是的中点，则∠DBA＝ 30 °；

（2） 如图 2，点 D 是上一动点，过点 B 作直线 AD 的垂线，垂足为点 E，求证：CD＝DE+AE；
（3） 如图 3，∠D＝30°，连接 AD，探究 AD，BD，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．

【解答】（1）解：连接 BD，如图：

∵ ，∠ABC＝60°，
∴△ABC 是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵点 D 是的中点，
∴∠ACD＝30°，

∴∠DBA＝∠ACD＝30°； 故答案为：30°；
（2） 证明：过 B 作 BH⊥CD 于点 H，连接 BD，

∴∠BHC＝∠BHD＝90°，

∵BE⊥AD，

∴∠E＝90°＝∠BHC，

∵ ，
∴AB＝BC，

又∵∠EAB＝∠HCB，

∴△ABE≌△CBH（AAS），

∴BE＝BH，CH＝AE，

∵BD＝BD，

∴Rt△BDE≌Rt△BHD（HL），

∴DE＝DH，

∵CD＝CH+DH，

∴CD＝AE+DE；

（3） 解：AD2＝BD2+CD2．
连接 AD，在 AD 的下方作等边三角形 ADE，连接 CE，如图：

∴AD＝AE＝DE，∠DAE＝60°， 由（1）知△ABC 是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，

∵∠BAC＝60°，∠D＝30°，

∴∠ABD+∠ACD＝∠ACE+∠ACD＝360°﹣60°﹣30°＝270°，

∴∠DCE＝360°﹣（∠ACE+∠ACD）＝90°，

∴DE2＝DC2+CE2，
∴AD2＝BD2+CD2．
25．（12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣2，0），B（4，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 P 为直线 BC 上方抛物线上一动点．
（1） 求抛物线的解析式；

（2） 过点 A 作 AD∥BC 交抛物线于点 D，点 Q 为直线 AD 上一动点，连接 CP，CQ，BP，BQ，求四边形 BPCQ 面积的最大值及此时点 P 的坐标；
（3） 将抛物线向右平移 1 个单位，M 为平移后抛物线的对称轴上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点 N，使以点 B，C，M，N 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标，若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8；
（2） 过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，

由点 B、C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y＝﹣2x+8， 设点 P（x，﹣x2+2x+8），则点 H（x，﹣2x+8），

则 PH＝﹣x2+2x+8+2x﹣8＝﹣x2+4x，
∵AD∥BC，

则 S△BCQ＝S△BCA，
则四边形 BPCQ 面积＝S△BCQ+S△BCP＝S△BCP+S△BCA＝AB×CO ×OB×PH
＝ 6×8+ 4×（﹣x2+4x）＝﹣2x2+8x+24，

∵﹣2＜0，

故四边形 BPCQ 面积有最大值为 32，此时点 P（2，8）；

（3） 存在，理由：

平移后的抛物线的对称轴为直线 x＝2，设点 M（2，m），设点 N（s，t），
当 BC 是对角线时，

由中点坐标公式和 MB＝CM 得：

，解得： ，

则点 N（2，4）；

当 BN 或 BM 为对角线时，

由中点坐标公式和 BM＝BC 或 BC＝BN 得：

或 ，

解得： 或 ，

即点 N（﹣2，8±2）或（6，±2）；
综上，点 N 的坐标为：（2，4）（舍去）或（﹣2，8±2）或（6，±2）．