2023-2024学年广东省广州市花都区九年级上学期期末数学试卷（含答案）.docx

2023-2024 学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，满分 30 分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求。）
1．（3 分）下列关于 x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ）

A．x﹣1＝0 B．x2+5＝0
C．x3+x＝3 D．ax2+bx+c＝0
2．（3 分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3 分）某班第一小组 7 名同学的毕业升学体育测试成绩（满分 30 分）依次为：25，23，25，23，27，

30，25，这组数据的中位数和众数分别是（ ）

A．23，25 B．23，23 C．25，23 D．25，25

4．（3 分）如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径 OA 的长是 5m，净高 CD 为 8m，则此路面 AB 宽为（ ）m．

A．7 B．8 C．9 D．10

5．（3 分）如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，BE 交 DC 于点 F．EF：FB＝1：

3，则 的值为（ ）

A． B．
C． D．以上答案都不对

第 9页（共 28页）

6．（3 分）若关于 x 一元二次方程 ax2﹣2ax+3＝0（a≠0）的根为 x1，x2，则下面成立的是（ ）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣2 C．x1•x2＝3 D．x1•x2＝﹣3
7．（3 分）如图，正比例函数 y1＝k1x 和反比例函数 y2＝的图象交于 A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若 y1＞y2，则 x 的取值范围是（ ）

A．x＜﹣1 或 x＞1 B．x＜﹣1 或 0＜x＜1

C．﹣1＜x＜0 或 0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 或 x＞1

8．（3 分）如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD＝40°，则∠DCF 等于（ ）
A．80° B．50° C．40° D．20°

9．（3 分）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）

A．20cm2 B．40cm2 C．20πcm2 D．40πcm2

10．（3 分）如图，抛物线 y＝x2﹣x﹣与直线 y＝x﹣2 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），动点 P
从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B．若使点 P

运动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）

A． B． C． D． 二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）抛物线 y＝x2﹣4x+5 的顶点坐标为 ．
12．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则 BC 的长是 ．

13．（3 分）小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：

掷图钉的次数
10
100
300
500
800
1000
针尖朝上的频率
90%
79%
72%
68%
69%
68%

请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 ．
14．（3 分）若点 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则 y1、y2、 y3 的大小关系是 ．
15．（3 分）某药品原价是 100 元，经连续两次降价后，价格变为 64 元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 ．

16．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 平分圆周角∠ACB，则下列结论：

①AD＝BD；
②△ABD 是等腰直角三角形；
③CA+CB＝ CD；
④S 四边形 ADBC＝CD2； 正确的有 ．
三、解答题（本大题共 9 题，满分 72 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

17．（4 分）解方程 x2﹣2x+1＝16．

18．（4 分）在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点坐标分别为 A（2，3），B（3，1），O（0，0）．以原点 O 为位似中心，在第三象限画出△OA1B1，使它与△OAB 的相似比是 2．

19．（6 分）一天晚上，小明帮助妈妈清洗两只有盖茶杯，一只为黑色，另一只为灰色，突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．求颜色搭配正确概率的是多少．

20．（6 分）学校生物小组有一块长 22m，宽 17m 的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的人行道（如图），要使种植面积为：300m2，人行道的宽应是多少米？

21．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的直线互相垂直，垂足为 D，∠AEC

＝90°，CD＝CE．求证：直线 CD 是⊙O 的切线．

22．（10 分）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 图象经过点 A（0，6）、B（3，3）、C（4，6）．
（1） 求此二次函数的解析式；

（2） 观察函数图象，试直接写出 y＞6 时，x 的取值范围．

23．（10 分）如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上．
（1） 求证： ；
（2） 这个正方形零件的边长是多少？

24．（12 分）已知点 P（m，n）在函数的图象上．
（1） 若 m＝﹣2，求 n 的值；

（2） 抛物线 y＝（x﹣m）（x﹣n）与 x 轴交于两点 M，N（M 在 N 的左边），与 y 轴交于点 G，记抛物线的顶点为 E．
①m 为何值时，点 E 到 x 轴的距离为；
②若 ，平面内是否存在点 F，使得以点 M、N、G、F 为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点 F 的坐标（不用说明理由）．

第 28页（共 28页）

25．（12 分）阅读：如图 1，点 A 是⊙O 外一点，点 P 是⊙O 上一动点．若⊙O 的半径为 3，OA 长度为 5，则根据：PA≥OA﹣OP，得到点 P 到点 A 的最短距离为：5﹣3＝2．
解决问题：

（1） 如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M、N 分别从点 B、C 同时出发，以相同的速度沿边

BC、CD 方向向终点 C 和 D 运动，连接 AM 和 BN 交于点 P．

①证明：△ABM≌△BCN；
②求点 P 到点 C 的最短距离．
（2） 如图 3，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的边 OB 在 x 轴正半轴上，点 A（3，m），m＞0，点 D从 B 点出发，沿 BO 运动到 O，点 E 同时从 O 点以相同的速度出发，沿 OA 运动到 A，连接 AD、BE， 交点为 F，M 是 y 轴上一点，求 FM 的最小值．

2023-2024 学年广东省广州市花都区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共 10 题，每题 3 分，满分 30 分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求。）
1．（3 分）下列关于 x 的方程中，属于一元二次方程的是（ ）

A．x﹣1＝0 B．x2+5＝0
C．x3+x＝3 D．ax2+bx+c＝0
【解答】解：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是 2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．
故选：B．

2．（3 分）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：选项 A、B、D 的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项 C 的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转 180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C．
3．（3 分）某班第一小组 7 名同学的毕业升学体育测试成绩（满分 30 分）依次为：25，23，25，23，27，

30，25，这组数据的中位数和众数分别是（ ）

A．23，25 B．23，23 C．25，23 D．25，25

【解答】解：在这一组数据中 50 是出现次数最多的，故众数是 25；

将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是 25，这组数据的中位数是 25． 故选：D．

4．（3 分）如图所示是一个单心圆曲隧道的截面，若隧道单心圆的半径 OA 的长是 5m，净高 CD 为 8m，则此路面 AB 宽为（ ）m．

A．7 B．8 C．9 D．10

【解答】解：∵圆的半径的长是 5m，CD 为 8m，

∴OD＝CD﹣OC＝8﹣5＝3（m），

由勾股定理得：AD＝＝＝4（m），
∵OD⊥AB，

∴AB＝2AD＝8（m），故选：B．
5．（3 分）如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的点，且 DE∥BC，BE 交 DC 于点 F．EF：FB＝1：

3，则 的值为（ ）

A． B．
C． D．以上答案都不对
【解答】解：∵DE∥BC，

∴△DEF∽△CBF，

∴ ．

故选：C．

6．（3 分）若关于 x 一元二次方程 ax2﹣2ax+3＝0（a≠0）的根为 x1，x2，则下面成立的是（ ）
A．x1+x2＝2 B．x1+x2＝﹣2 C．x1•x2＝3 D．x1•x2＝﹣3
【解答】解：∵关于 x 一元二次方程 ax2﹣2ax+3＝0（a≠0）的根为 x1，x2，
∴x1+x2＝﹣ ＝2，x1•x2＝ ， 故选：A．
7．（3 分）如图，正比例函数 y1＝k1x 和反比例函数 y2＝的图象交于 A（﹣1，2）、B（1，﹣2）两点，若 y1＞y2，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 或 x＞1 B．x＜﹣1 或 0＜x＜1

C．﹣1＜x＜0 或 0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 或 x＞1

【解答】解：如图，

结合图象可得：

①当 x＜﹣1 时，y1＞y2；②当﹣1＜x＜0 时，y1＜y2；
③当 0＜x＜1 时，y1＞y2；④当 x＞1 时，y1＜y2． 综上所述：若 y1＞y2，则 x＜﹣1 或 0＜x＜1．
故选：B．

8．（3 分）如图，⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，∠EOD＝40°，则∠DCF 等于（ ）

A．80° B．50° C．40° D．20°

【解答】解：∵⊙O 的直径 CD 过弦 EF 的中点 G，

∴（垂径定理），
∴∠DCF＝∠EOD（等弧所对的圆周角是圆心角的一半），
∴∠DCF＝20°． 故选：D．
9．（3 分）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（ ）
A．20cm2 B．40cm2 C．20πcm2 D．40πcm2
【解答】解：由图知，底面直径为 5，则底面周长 l 为 5π，母线长为 8，所以侧面展开图的面积＝×
5π×8＝20πcm2． 故选：C．
10．（3 分）如图，抛物线 y＝x2﹣x﹣与直线 y＝x﹣2 交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），动点 P
从 A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点 E，再到达 x 轴上的某点 F，最后运动到点 B．若使点 P

运动的总路径最短，则点 P 运动的总路径的长为（ ）

A． B． C． D．
【解答】解：如图
∵抛物线 y＝x2﹣x﹣ 与直线 y＝x﹣2 交于 A、B 两点，
∴x2﹣ x﹣ ＝x﹣2， 解得：x＝1 或 x＝，
当 x＝1 时，y＝x﹣2＝﹣1，
当 x＝时，y＝x﹣2＝﹣ ，
∴点 A 的坐标为（，﹣），点 B 的坐标为（1，﹣1），

∵抛物线对称轴方程为：x＝﹣ ＝

作点 A 关于抛物线的对称轴 x＝ 的对称点 A′，作点 B 关于 x 轴的对称点 B′，

连接 A′B′，
则直线 A′B′与对称轴（直线 x＝）的交点是 E，与 x 轴的交点是 F，
∴BF＝B′F，AE＝A′E，

∴点 P 运动的最短总路径是 AE+EF+FB＝A′E+EF+FB′＝A′B′， 延长 BB′，AA′相交于 C，
∴A′C＝ + +（1﹣ ）＝1，B′C＝1+ ＝ ，
∴A′B′＝ ＝ ．
∴点 P 运动的总路径的长为． 故选：A．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）抛物线 y＝x2﹣4x+5 的顶点坐标为 （2，1） ．
【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1，
∵抛物线开口向上，当 x＝2 时，y 最小＝1，
∴顶点坐标是：（2，1）．故答案为：（2，1）．
12．（3 分）如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则 BC 的长是 6 ．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

，

∵AD：DB＝1：2，DE＝2，
∴ ，
解得 BC＝6． 故答案为：6．
掷图钉的次数
10
100
300
500
800
1000
针尖朝上的频率
90%
79%
72%
68%
69%
68%

13．（3 分）小梦在研究“掷一枚图钉，针尖朝上”的概率，于是她便用同一枚图钉做实验进行研究，得到如下的数据：

请利用以上数据估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 0.68 ．

【解答】解：因为表中“掷这枚图钉，针尖朝上”的频率在 0.68 左右波动， 所以估算“掷这枚图钉，针尖朝上”的概率是 0.68．
故答案为：0.68．
14．（3 分）若点 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则 y1、y2、 y3 的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．
【解答】解：∵k2+2＞0，

∴反比例函数 的图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而减小．

∵﹣2＜﹣1＜2，

∴点 A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）位于第三象限，C（2，y3）位于第一象限，
∴y2＜y1＜0，y3＞0，
∴y2＜y1＜y3．
故答案为：y2＜y1＜y3．
15．（3 分）某药品原价是 100 元，经连续两次降价后，价格变为 64 元，如果每次降价的百分率是一样的，那么每次降价的百分率是 20% ．
【解答】解：设每次降价的百分率为 x，第二次降价后价格变为 100（1﹣x）2 元． 根据题意，得 100（1﹣x）2＝64，
即（1﹣x）2＝0.64， 解得 x1＝1.8，x2＝0.2．
因为 x＝1.8 不合题意，故舍去， 所以 x＝0.2．
即每次降价的百分率为 0.2，即 20%． 故答案为：20%．
16．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD 平分圆周角∠ACB，则下列结论：

①AD＝BD；
②△ABD 是等腰直角三角形；
③CA+CB＝ CD；
④S 四边形 ADBC＝CD2； 正确的有 ①②④ ．

【解答】解：如图，延长 CA 到点 F，使 AF＝BC，连接 DF，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵弦 CD 平分圆周角∠ACB，

∴∠ACD＝∠BCD＝45°，

∴∠ABD＝∠ACD＝45°，∠BAD＝∠BCD＝45°，

∴∠ABD＝∠BAD，

∴AD＝BD，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴△ABD 是等腰直角三角形，故①②正确；
∵四边形 ADBC 是⊙O 的内接四边形，

∴∠FAD＝∠DBC，

在△FAD 和△CBD 中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴FD＝CD，∠ADF＝∠BDC，

∵∠ADC+∠BDC＝90°，

∴∠ADC+∠ADF＝90°，

∴∠FDC＝90°，

∴△CDF 是等腰直角三角形，
∴CF＝ CD，CD＝DF，
∴S 四边形 ADBC＝S△ADC+S△BDC＝S△ADC+S△ADF＝S△FDC＝CD•DF＝ CD2， AC+AF＝AC+BC＝ CD，故③错误，④正确．
∴正确的结论是①②④． 故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共 9 题，满分 72 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。）

17．（4 分）解方程 x2﹣2x+1＝16．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣15＝0，
∴（x﹣5）（x+3）＝0，

∴x﹣5＝0 或 x﹣3＝0，

∴x1＝5，x2＝﹣3．
18．（4 分）在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点坐标分别为 A（2，3），B（3，1），O（0，0）．以原点 O 为位似中心，在第三象限画出△OA1B1，使它与△OAB 的相似比是 2．

【解答】解：如图，△OA1B1 即为所求．

19．（6 分）一天晚上，小明帮助妈妈清洗两只有盖茶杯，一只为黑色，另一只为灰色，突然停电了，小明只好把杯盖和茶杯随机地搭配在一起．求颜色搭配正确概率的是多少．
【解答】解：列表如下：

黑色杯盖
灰色杯盖
黑色茶杯
（ 黑色茶杯
，

黑色杯盖
（

黑色茶杯

，

灰色杯盖

）
）
灰色茶杯
（
（

灰色茶杯
灰色茶杯

，
，

黑色杯盖
灰色杯盖

）
）
共有 4 种等可能的结果，其中颜色搭配正确的结果有 2 种，
∴颜色搭配正确的概率为 ＝ ．
20．（6 分）学校生物小组有一块长 22m，宽 17m 的矩形试验田，为了方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的人行道（如图），要使种植面积为：300m2，人行道的宽应是多少米？
【解答】解：设道路的宽为 x m，依题意有

（22﹣x）（17﹣x）＝300整理，得 x2﹣39x+74＝0．
∴（x﹣37）（x﹣2）＝0，

∴x1＝2，x2＝37（不合题意，舍去） 答：小道的宽应是 2m．
21．（8 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的直线互相垂直，垂足为 D，∠AEC

＝90°，CD＝CE．求证：直线 CD 是⊙O 的切线．

【解答】证明：∵AD⊥CD，∠AEC＝90°，

∴∠ADC＝∠AEC＝90°， 在 Rt△ADC 与 Rt△AEC 中，
，

∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL），

∴∠DAC＝∠EAC， 连接 OC，
∵AO＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∴∠DAC＝∠ACO，

∴AD∥OC，

∴OC⊥CD，

∵OC 是⊙O 的半径，

∴直线 CD 是⊙O 的切线．
22．（10 分）如图，二次函数 y＝ax2+bx+c 图象经过点 A（0，6）、B（3，3）、C（4，6）．

（1） 求此二次函数的解析式；

（2） 观察函数图象，试直接写出 y＞6 时，x 的取值范围．

【解答】解：（1）把 A（0，6）、B（3，3）、C（4，6）分别代入 y＝ax2+bx+c 得 ，

解得 ，

∴此二次函数的解析式为 y＝x2﹣4x+6；
（2）∵抛物线开口向上， 而 A（0，6）、C（4，6），
∴当 y＞6 时，x 的取值范围为 x＜0 或 x＞4．

23．（10 分）如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边 BC＝120mm，高 AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB，AC 上．
（1） 求证： ；
（2） 这个正方形零件的边长是多少？

【解答】（1）证明：∵四边形 EFHG 是正方形，

∴EF∥BC，
∴ ＝ ＝ ．

（2）解：设这个正方形零件的边长是 x mm，

∵EF∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ， 解得：x＝48，
答：这个正方形零件的边长是 48mm．
24．（12 分）已知点 P（m，n）在函数的图象上．
（1） 若 m＝﹣2，求 n 的值；

（2） 抛物线 y＝（x﹣m）（x﹣n）与 x 轴交于两点 M，N（M 在 N 的左边），与 y 轴交于点 G，记抛物线的顶点为 E．
①m 为何值时，点 E 到 x 轴的距离为；
②若 ，平面内是否存在点 F，使得以点 M、N、G、F 为顶点的四边形是平行四边形，若不存在请说明理由，若存在，请直接写出点 F 的坐标（不用说明理由）．
【解答】解：（1）将点 P 的坐标代入反比例函数表达式得：mn＝﹣4，当 m＝﹣2 时，n＝2；
（2）①y＝（x﹣m）（x﹣n）＝x2﹣（m+n）x+mn＝x2﹣（m+n）x﹣4，则抛物线的对称轴为直线 x＝ （m+n），

即 4+ ＝ ， 解得：m+n＝±3，
∵mn＝﹣4，

则 m（3﹣m）＝﹣4 或 m（﹣3﹣m）＝﹣4， 解得：m＝﹣1 或﹣4（不合题意的值已舍去），
②存在，理由：
联立 m+n＝和 mn＝﹣4 得：2m2﹣15m﹣8＝0， 解得：m＝8（舍去）或﹣ ，
则 n＝8，即点 N（8，0），
故设点 M（﹣，0），点 F（s，t），
由抛物线的表达式知，点 G（0，﹣4）；当 MN 为对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得： ， 即点 F（，4）；
当 MG、NF 为对角线时，

同理可得： 或 ，

解得： 或 ，

则点 F 的坐标为：（﹣，﹣4）或（，﹣4），
综上，点 F 的坐标为：（，4）或（﹣，﹣4）或（，﹣4）．
25．（12 分）阅读：如图 1，点 A 是⊙O 外一点，点 P 是⊙O 上一动点．若⊙O 的半径为 3，OA 长度为 5，则根据：PA≥OA﹣OP，得到点 P 到点 A 的最短距离为：5﹣3＝2．
解决问题：

（1） 如图 2，已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 M、N 分别从点 B、C 同时出发，以相同的速度沿边

BC、CD 方向向终点 C 和 D 运动，连接 AM 和 BN 交于点 P．

①证明：△ABM≌△BCN；
②求点 P 到点 C 的最短距离．
（2） 如图 3，在平面直角坐标系中，等边△OAB 的边 OB 在 x 轴正半轴上，点 A（3，m），m＞0，点 D从 B 点出发，沿 BO 运动到 O，点 E 同时从 O 点以相同的速度出发，沿 OA 运动到 A，连接 AD、BE， 交点为 F，M 是 y 轴上一点，求 FM 的最小值．
【解答】（1）①证明：由题可知 BM＝CN，、
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，

∴△ABM≌△BCN（SAS）；

②解：∵△ABM≌△BCN，
∴∠CBN＝∠BAM，

∵∠ABP+∠CBN＝90°，

∴∠BAP+∠ABP＝90°，

∴∠APB＝90°，

∴P 点在以 AB 为直径的圆上，

取 AB 的中点 O，连接 OP、PC，OC，

∴PC≤OM+CO，

∴当 P、O、C 三点共线时，PC 有最小值为 OC＝OP，

∵OB＝2，BC＝4，
∴OC＝2 ，
∴PC 的最短距离为 2﹣2；
（2）解：由题可知，OE＝BD，

∵△ABO 是等边三角形，

∴∠EOB＝∠ABD＝60°，OB＝AB，

∴△ABD≌△BOE（SAS），

∴∠BAD＝∠OBE，

∴∠AFB＝180°﹣∠BAD﹣∠ABF＝180°﹣（∠OBE+∠ABF）＝180°﹣60°＝120°，

∴A、B、F 三点共圆，

作△ABF 的外接圆 N，连接 AN，BN，MN，FN，

当 F、M、N 三点共线时，FM 有最小值为 MN﹣FN， 当 MN⊥y 轴时，MN 有最小值 6，
∵点 A（3，m），△OAB 是等边三角形，

∴BO＝AB＝OA＝6， 连接 ON 交 AB 于点 G，
∵AO＝OB，AN＝BN，

∴ON 垂直平分 AB，

∴∠OGB＝90°，

∵∠OBG＝60°，

∴∠ONB＝30°，
∴GB＝ BO＝3，
∵∠ONB＝60°，

∴∠NBG＝30°，
∴BN＝ ＝3× ＝2 ，
∵NF＝NB，
∴FM 的最小值为 6﹣2．