金融经济学第二章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二讲,决策理论：不确定下的效用函数,本章将介绍投资者所面临的选择目标问题，主要包括：,投资者对风险资产的偏好问题；,效用函数；,风险厌恶的度量；,用投资回报的均值和方差作为选择目标的参数，并根据它们之间的相互替换程度绘制出投资者的等效用曲线,关于风险与不确定性,奈特（,Knight.F,）,风险、不确定性和利润,中关于确定型、风险和不确定性的解释：,确定性：是指自然状态,如,何出现已知，并替换,行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件,发生的可能性。,风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机,问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可,能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认,识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。,不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那,些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并,且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问,题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种,状态发生的概率不清楚。,由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常,常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果,发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概,率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事,件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作,上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的,界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。,完备性,(,可比性,),：所有选择,x,和,y,中，个体要么偏好,x(),，要么偏好,y(),，或者认为,x,和,y,无差异,(),，即任意两个选择是可以比较的。,传递性,(,一致性,),：如果 和 ，那么，,如果 ，那么 。,强独立性：设想一个赌博，以概率,得到,x,，以概率,1-,得到,z,，记为,G(x,z:,),，强独立性，即如果 ，那么 。,A,.,不确定性下决策的五个公理,完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。,传递性保证了消费者在不同商品之间选好的首尾一贯性。,独立性味着如果将两个抽奖与第三个抽奖放在一起考,虑，则前两者的偏好顺序独立于特定的第三个抽奖。,独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提供,了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过该假设，消,费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立,部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定。,4,、,可测性：如果 ，那么存在唯一的,，使得,yG(x,z;,),5,、,可排序：如果 和 ，并且,yG(x,z;,1),和,uG(x,z;,2),，那么，如果 ，如果,1,2,，则,yu,。,这五个公理归结起来就是对人的行为作如下假设：,1,）个体总是理性的；,2,）个体能够面对成千上万个选择能够作出理性的决策。,另外，还假定个体是贪婪的，即多比少好！,B,、开发效用函数,基数效用与序数效用,基数效用：,19,世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中所所获得的效用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数效用,.,序数效用：,20,世纪意大利的经济学家帕累托,等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全,可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是,以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而,效用值的大小本身并没有任何意义,.,不确定性下的理性决策原则,数学期望最大化原则,数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各,种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这,一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确,的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确,定情形下的推广。,问题：是否数学期望最大化准则是不最优的不确定性下,的行为决策准则？,典型案例：圣彼德堡悖论（,Saint Petersbury Paradox,）,考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以,得到,1,元，,第一次反面，第二次正面得,2,元，前两次反,面，第三次正面得,4,元，,如果前,n-1,次都是反面，,第,n,次出现正面得 元。问：游戏的参加应先付多,少钱，才能使这场赌博是,“,公平,”,的？,该游戏的数学期望值：,但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意,支付的成本（门票）仅为,2-3,元。,圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何,人们只愿意支付有限的价格？,期望效用原则,Daniel Bernoulli,（,1700-1782,）是出生于瑞,士名门著名数学家，,1725-1733,年期间一直在圣彼德堡,科学院研究投币游戏。其在,1738,年发表,对机遇性赌博的,分析,提出解决,“,圣彼德堡悖论,”,的,“,风险度量新理,论,”,。指出人们在投资决策时不是用,“,钱的数学期望,”,来,作为决策准则，而是用,“,道德期望,”,来行动的。而道德期,望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富,人对于财富增加的边际效用是不一样的。,即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，,而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是,递减的。,伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏,的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：,其中，为一个确定值。,另外，,Crammer,（,1728,）采用幂函数的形式的效用函数对这一问题进行了分析。假定：,则,因此，,期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致,不可接受的结果。而贝努利提出的用期望效用取代期望收,益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提,供最终的解决方案。,根据期望效用，,20%,的收益不一定和,2,倍的,10%,的收,益一样好；,20%,的损失也不一定与,2,倍的,10%,损失一样,糟,。,后期望效用理论：,由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，,如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的,期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用,的新的解释。,1,、,效用函数应该具有的两个性质,（,1,）如果 ，那么 。,（,2,）风险资产排序，即：,证明：见,P42-43,。,一般地,效用函数对个人来说是特定的，没有办法对,比两个人的效用函数；群体的效用函数，比如一,个公司，是没有意义的。,期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。,例：,构造效用函数,任意分配损失,$1000,的效用是,-10,，问题：以多大的概率,赢,$1000,和,(1-,),输,$1000,的赌局，与,$0.0,的确定性结果等价？,用数学式子表示为,或者,假设,=0.6,和,U(0.0)=0,，那么,重复以上过程，可以计算效用函数,损失,赢利,概率,(,赢,),效用,(,赢,),效用,(,输,),-1000,1000,0.6,6.7,-10.0,-1000,2000,0.55,8.2,-10.0,-1000,3000,0.50,10.0,-10.0,-1000,4000,0.45,12.2,-10.0,-1000,5000,0.40,15.0,-10.0,-1000,6000,0.35,18.6,-10.0,-1000,7000,0.30,23.3,-10.0,-2000,2000,0.75,8.2,-24.6,-3000,3000,0.80,10.0,-40.0,-4000,4000,0.85,12.2,-69.2,-5000,5000,0.9,15.0,-135.0,10,效用指数,损益,(10),1000,(1000),C,、建立风险厌恶定义,风险态度,例：,对下面两种情形，你会选择哪一个？,I,、确定能够拿到,10$,；,II,、,10%,的可能获得,100$,，,90%,的可能拿到,0$,。不同的选择代表不同的风险态度。,（,1,）风险厌恶 ，见图,a,；,（,2,）风险中性 ，见图,b,；,（,3,）风险爱好,见图,c,；,w,U(w),图,a,U(w),U(w),w,w,图,b,图,c,2,、,风险溢价,（,1,）,Markowitz,风险溢价,先介绍什么是,确定性等价财富,。,例：,Smith,先生现在手头有,10$,，现在他面临一个,赌博：赌资,10$,，,80%,的可能性得,5$,，,20%,的可能性得,30$,。这个赌博给他带来的效用为,而,U(7.17)=1.97,。,7.17$,就是该赌博的确定性等价财富,W,*,。,风险溢价,=,期望财富,-,确定性等价财富,风险溢价（,risk premium,）是指风险厌恶者为避免承担风险而愿意放弃的投资收益。或让一个风险厌恶的投资者参与一项博彩所必需获得的 风险补偿（,risk compensation),。,它与个体的风险厌恶程度,有关,，与赌局成本的定义不一样，赌局成本：。,在上例中，赌博的风险溢价是,10-7.17=2.83$,。赌局成本也是,2.83$,。,在接下来，我们假定个体都是,风险厌恶的,，其效用函数为,严格的凹函数（,边界效用为正，而且边界效用递减）。,（,2,）,Pratt-Arrow,风险厌恶,公平赌局：；,风险溢价：,对上面式子进行,Taylor,展开，可以得到,这就是,Pratt-Arrow,局部风险溢价测度,。,定义,绝对风险厌恶,相对风险厌恶,例：,二次效用函数与指数效用函数：,几种常用的效用函数,金融经济学理论有时需要对个体的偏好做出某种假,设。其中，常用的一个假设是个体具有线性的风险容忍系数（,linear risk tolerance,），满足这一假设的,VNM,效用函数具有,LRT,形式：,在这种形式下，容易验证个体的风险容忍系数为其初始财富的线性函数。,从上式可以看出，个体的风险容忍系数与初始财富呈现性关系。,在上式中，当,1,时，个体的风险容忍系数随财富的增加而减少；当,1,时，个体的风险容忍系数随财富的增加而增加。,另外，由于该函数的绝对风险厌恶系数为,为一条双曲线，所以，这一效用函数也成为双曲线绝对,风险厌恶效用函数（,hyperbolic absolute risk,aversion,，,HARA),。,LRT,效用函数是一个函数族，在不同的参数下，将呈现出不同的形式：,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,5,）,不同函数的性质,（,1,）二次效用函数,拥有这种效用函数的个体在投资风险资产时只考虑资产的期望收益和方差，依此为基础资本资产定价模型得到了风险资产定价的线性表达式。,但二次函数作为效用函数存在局限性：超过一定的财富水平后，个体收入的边际效用为负值。,对前述（,2,）中的二次函数中的财富,W,求导：,因此，只有,W,在,0,，,1/b,时，个体的边际效用才会,大于零。,该函数的,A-P,绝对风险厌恶系数为：,对,W,求导，,这表明，二次效用函数个体的绝对风险厌恶系数是其,财富的单调递增函数，财富越多，个体的风险厌恶越强。,（,2,）负指数效用函数,如果个体的效用函数为负指数效用函数，则他对风险的厌恶程度与收入无关。因为，其绝对风险厌恶系数为常数：,这种个体在风险资产上的投资量不受其收入水平的影响。,（,3,）幂函数效用函数的性质,幂函数效用函数的相对风险厌恶系数为常数。,（,4,）对数函数效用函数的性质,对数效用函数的个体的相对风险厌恶系数也为常数，且等于,1,。,D,、风险厌恶的比较,Pratt-Arrow,定义风险溢价假设风险小和公平的。,Markowitz,的定义仅仅比较,例：,个体具有对数效用函数，财富水平,$20,000,。,面临风险：,50/50,机会赢或输,$10,。,80%,机会输,$1,000,，,20%,机会输,$10,000,。,情形,1,情形,2,Pratt-Arrow,风险溢价,$0.0025,$324,Markowitz,溢价,$0.0025002,$489,期望财富,$20,000,$17,200,确定性等价,财富,$19,999.997499,$16,711,风险厌恶测度的比较：,对于小的且公平投机的风险，二者非常接近，而对于大的且非对称的风险，,Markowitz,对风险溢价的侧度要大一些。,普拉特定理,对于具有相同财富水平的经济主体，我们可以用三种不同的方法来比较两者之间的风险厌恶程度：,（,1,）绝对风险厌恶度量,对于任意给定的初始财富水平,W,，如果下式成立，,则表明经济主体,i,比经济主体,j,更加厌恶风险：,（,2,）风险溢价度量,对于任意给定的初始财富水平,W,，为避免相同的风险，如果经济主体,i,比经济主体,j,需要更多的风险溢价补偿，则经济主体,i,比经济主体,j,更厌恶风险：,（,3,）效用函数的曲率,从几何上看，绝对风险厌恶系数代表了效用函数的曲率（弯曲程度），如果经济主体,i,较经济主体更加,j,厌恶风险,则表明，经济主体,i,有比经济行为主体,j,更加凹的效用函数。更确切地讲，经济行为主体,i,的效用函数 是经济行为主体,j,的效用函数 的一个凹变换，即存在一个递增的、严格凹的函数,G(),，使得,对于任意的,W,都成立：,（,4,）普拉特定理,假设 是两个二次可微、严格单调递增的效用函数，则以下三种表述是等价的：,对所有的,W,，有 ；,存在一个严格单调递增和严格凹的二阶可微函数,G(),，使得,；,任何公平博彩,对经济主体,i,的风险溢价较经济主体,j,的风险溢价高，即,E,、随机占优,一,阶随机占优,资产（组合）,x,随机占优另一个资产,y,，若在每一,个状态下个体从资产,x,获得的收益多于资产,y,。数学,定义为,X,一阶随机占优,y,对所有具有连续递增,(,边际效用非,负）的效用函数,U,的投资者对,x,的偏好胜过,y,，即,E,U,(x)E,U,(y),2,、,二阶随机占优,x,二阶随机占优,y,，,或如果所有具有连续效用函数的风险厌恶投资者,（即 ）偏好,x,胜过,y,，即,E,U,(x)E,U,(y),。,w,f(w),w,F(w),f,x,(w),g,y,(w),1,0.5,x,y,w,w,f(w),F(w),f,x,(w),g,y,(w),G,y,(w),F,x,(w),x,=,y,例：,如图两个资产服从正态分布：,x,二阶随机占优,y,x,=,y,且,y,x,一般,：,x,二阶随机占优,y,x,=,y,且,y,x,x,=,y,且,y,x,y,不是随机占优,x,。,F,、均值,方差准则,假定,资产收益服从正态分布，因此收益完全由它的均值、方差决定。,收益率与财富的关系,期望效用函数：,作变换 得,无差异曲线的斜率,R,E(R),*,A,B,C,无差异曲线表示投资者是风险厌恶的。,G,、均值,方差悖论,均值,-,方差规则是否总是正确的呢？,例：,下表给出公司,A,与,B,在不同自然经济状态下的营运收入情况以及它们的资本结构情况,D,自然经济状态,恐慌,坏,平均,好,很好,净运营收入,1200,1600,2000,2400,2800,概率,0.2,0.2,0.2,0.2,0.2,公司,A,利息开支,0,0,0,0,0,税前收益,1200,1600,2000,2400,2800,50%,税率,-600,-800,-1000,-1200,-1400,净收入,600,800,1000,1200,1400,每股收益,(100,股,),3.00,4.00,5.00,6.00,7.00,公司,B,利息开支,-600,-600,-600,-600,-600,税前收益,600,1000,1400,1800,2200,50%,税率,-300,-500,-700,-900,-1100,净收入,300,500,700,900,1100,每股收益,(100,股,),3.00,5.00,7.00,9.00,11.00,公司,A,资产,负债,债务,0,权益,20,000,20,000,20,000,公司,B,资产,负债,债务,10,000,权益,10,000,20,000,20,000,每股收益,均值,标准差,公司,A,5,1.41,公司,B,7,2.82,A,B,IIa,IIb,IIIa,IIIb,I,均值方差规则针对,I,、,II,、,III,三个投资者给出了他们的投资选择。但是我们发现,B,公司无论在什么自然状态下它的收益都大于或,等于,A,公司的收益。这表明无论对于什么样的投资者而言，,B,公司股票要优于公司的。,下面我们用随机占优的方法来比较这两种股票：,每股收益,概率,(B),概率,(A),F(B),G(A),F-G,(F-G),3,0.2,0.2,0.2,0.2,0,0,4,0,0.2,0.2,0.4,-0.2,-0.2,5,0.2,0.2,0.4,0.6,-0.2,-0.4,6,0,0.2,0.4,0.8,-0.4,-0.8,7,0.2,0.2,0.6,1.0,-0.4,-1.2,8,0,0,0.6,1.0,-0.4,-1.6,9,0.2,0,0.8,1.0,-0.2,-1.8,10,0,0,0.8,1.0,-0.2,-2.0,11,0.2,0,1.0,1.0,0,-2.0,1.0,1.0,阿莱悖论,(Allais paradox),(,关于预期效用的悖论,),现有四种彩票，其中获奖收入与获奖概率分布情况分别如下表所示,:,通过调查发现，很多人都认为,A,B,且,D C,，即偏好,A,于而非,B,，偏好,D,于而非,C,。这可能是因为,A,与,B,相比，购买彩票,A,可稳稳当当地得到,100,元奖金，而购买彩票,B,虽然以极大的可能性得到,100,元奖金和以较小的可能性得到,500,元的更高奖金，但同时还冒有一文不得的风险。既然购买,B,最可能得到的奖金仍是,100,元，因此,B,没有,A,好，或者,A,说比,B,好。对于彩票,C,和,D,来讲，购买获,D,得,500,元高额奖金的可能性仅比购买,C,获得,100,元低额奖金的可能性小,1,，而且,500,元与,100,元之间的差额不算小，因此购买,D,比购买,C,要好。,彩票,A,B,C,D,奖金,(,元,),100,500,100,0,100,0,500,0,获奖概率,100%,10%,89%,1%,11%,89%,10%,90%,设预期效用函数为,U,，那么,U(A)=U(100),U(B)=0.1,U(500)+0.89 U(100)+0.01 U(0),U(C)=0.11 U(100)+0.89 U(0),U(D)=0.1U(500)+0.9 U(0),而且应该有,U(A)U(B),及,U(D)U(C),。,从,U(A)U(B),可以推出,0.11,U(100)0.1,U(500)+0.01 U(0),在此式两边加上,0.89,U(0),可得：,0.11,U(100)+0.89,U(0)0.1,U(500)+0.9 U(0),即,U(C)U(D),，这与实际调查结果相矛盾。,H,、经验证据,效用理论是以五个公理为基础建立起来。到目前为止，还没有实验能够证明公理的正确性。,但是经验的事实已经动摇了效用理论的基础。,因此，还有很多工作需要做。,习 题,P62-P65,3.3,，,3.4,，,3.5,，,3.8,，,3.12,，,3.13,，,