第二讲 期望效用理论.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,金融经济学,之二,期望效用理论,山东科技大学经济与管理学院 张建刚,主要内容,确定性条件下的偏好与效用,不确定条件下的偏好与效用,期望效用理论,期望效用理论的反例,2,引言,理性个人的决策行为几乎是所有微观经济分析的起点。经济学的传统是把个人、家庭的存在，以及他们所具有的偏好形式和资源禀赋，视为独立于经济体系的外生因素；而经济组织的行为和作用则在经济体系中内生决定，因而一开始往往会去考察个人的选择行为进而演绎出经济组织的功能和市场的均衡，微观金融学也不例外。,要解构整个金融体系，要理解金融产品、资本市场、金融中介在跨期资源配置中的所具有的功能作用及其实现形式，,投资者行为,就是一个自然的起点。,3,个人生存过程中，必须反复面对以下,3,个选择问题：,（,1,）选择消费品种类和数量，在现有消费基金预算约束下，当期效用（,utility,）最大化；,（,2,）选择积累的财富在消费基金和投资基金之间进行分割的比例；,（,3,）选择投资品种类和数量，在现有投资基金预算约束下，未来（期望）效用最大化。不断进行选择的总过程的目的就在于：个人终生效用极大化。,考虑第一个选择问题时，我们称个人为,消费者（,consumer,）,；考虑第三个问题时为,投资者（,investor,），,一起考虑时为面临抉择的,个人（,individual,）或者决策者（,decision maker,）,。,4,我们对投资者行为的研究就从第三个选择问题开始，金融经济学的重点就是考察在理性个人特定要求和现有投资基金预算约束下，如何通过选择投资品种类和数量（资产组合），来最大限度的优化个人未来的消费或者财富。同时我们也研究这种个体的投资行为的汇总是否会产生市场均衡和相应的均衡价格体系。,5,一、个体行为决策准则,日常生活中，我们时常要比较不同商品或者服务给我们生理、心理上带来的感受或者说效用（,utility,）。,例如，看一场电影还是吃一块鸡腿，是需要经过激烈思想斗争的，尤其是当荷包里所剩无几的时候。,这便涉及到效用大小比较的问题。,6,一、个体行为决策准则,在,18,世纪的古典经济学家眼中，效用和黄油、大炮一样是看得见、摸得着的，他们把效用视为快乐的代名词，看做是一个人的整个福利的指数。,但是，古典经济学家实际上从来没有阐述过如何去度量效用；以及除了人们要实现效用最大化外，效用的概念是否还有别的独立意义。,正如我们即将看到的那样，现代效用理论来源于偏好，并仅仅认为是描述偏好的方法之一。,7,一、个体行为决策准则,（一）偏好关系,效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。,偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。,偏好关系（,preference relation),是指消费者对不,同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二,元）关系（,binary relation,）表述出来。,8,偏好杂谈（,1,）,偏好是指消费者按照自己的意愿对可供选择的商品组合进行的排列。,偏好,是,微观经济学,价值理论中的一个基础概念。偏好是主观的，也是相对的概念。偏好实际是潜藏在人们内心的一种情感和倾向，它是非直观的，引起偏好的感性因素多于理性因素。偏好有明显的个体差异，也呈现出群体特征。,9,偏好杂谈（,2,）,终日奔波只为饥，方才一饱便思衣。,衣食两般皆俱足，又想娇容美貌妻。,取得美妻生下子，恨无天地少根基。,买到田园多广阔，出入无船少马骑。,槽头扣了骡和马，叹无官职被人欺。,县丞主簿还嫌小，又要朝中挂紫衣。,作了皇帝求仙术，更想登天跨鹤飞。,若要世人心里足，除是南柯一梦西。,10,1.,偏好关系的表述,令,C,为商品（或者消费）集合，,C,中有,M,种可供选,择的商品。它是,M,维实数空间 中的一个非负子集，它,总是被假定为闭集和凸集。,x,、,y,、,z,是它的子集，,或者称之为商品束（,commodity bundle,）或者消费束,（,consume,boundle,）。我们可以在消费束的集合上,建立下面的偏好关系（,preference relation,）或者偏,好顺序（,preference ordering,）：,11,（,1,）,弱偏好于,x,，,x,至少与,y,一样好。,（,2,）强偏好于,x,；,但，不成立。,（,3,）,无差异于,x,、,y,；即：,和,12,2.,偏好应满足的基本公理（,Axiom,）条件：,（,1,）完备性（,completeness,）,:,中有一种关系成立。,完备性假定保证了消费者具备选别判断的能力。,13,（,2,）自返性（,reflexivity,）：,，,则有,即任何消费计划都不比自己差。,自返性保证了消费者对同一商品的偏好具有明显的一,贯性。,14,（,3,）传递性：,传递性保证了消费者在不同商品之间选好,的首尾一贯性。,同理：,15,满足以上三个公理实际上意味着消费者（理性个人）有能力建立起一套一贯的衡量标准，去评价事物的好坏。,16,无差异曲线,如果偏好关系满足上述,3,种性质，就称之为理性的（,rational,）。可以很方便的用无差异曲线（,indifference curve,）来描述消费者的偏好关系。,17,特例：字典序偏好,无差异曲线的存在要求个人总是愿意用一种商品来交换另一种商品，否则：,18,需要增加以下公理假设,（,4,）连续性（,continunity,）,对于任意的,x,、,y,，集合 和 是闭集，则 和 是开集。,即如果,x,是一组至少与,y,一样好的消费束，而,且它趋近于另一消费束,z,，则,z,与,y,至少同样好。这,样就可以得到一条,连续的,无差异曲线。,19,关于偏好的强度和凸性的假设,（,5,）单调性（,monotonicity,）,，,单调性说明增加一点商品至少与原来的情,况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然,成立。,强单调性说明同样的物品，如果其中有些种类,的数量严格多于原来的物品，消费者则必定严格,偏好于他们。,20,且 则,（,6,）局部非饱和性（,local non-satiation,）,和,0,，总存在 使得,在技术上，,局部非饱和性和单调性保证了无,差异曲线具有一个负的斜率,。,21,（,7,）凸性（,convexity,）,严格凸性（,strictly convexity,）：,凸性可理解为“边际替代率递减规律”的体现：为了弥补某种商品的减少需要更多数量的其他商品。,22,偏好的凸性,从图形看，偏好的凸性要求无差异曲线凸向原点。,23,（二）确定性环境下的效用函数,1.,效用函数定义,如果对于 有,和,成立，则函数关系 是一个代表了偏,好关系的效用函数。,24,解释,效用函数是表示个体偏好关系的一种可行的方法。,效用函数是一个连续的实函数。,效用函数可以说是唯一的，除了对它作严格正的仿射变换。,一般的效用函数依赖于两个因素：未来状态的概率分布以及在各状态下对消费的偏好。,但讲解到目前为止，我们并没有给出效用函数的具体形式。,25,（二）确定性环境下的效用函数,2.,基数效用与序数效用,基数效用：,19,世纪的一些经济学家如英国的杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或满意可以用他从享用或消费过程中所获得的效用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数效用,.,26,序数效用：,20,世纪意大利的经济学家帕累托,等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全,可以建立在序数效用的基础上。所谓,序数效用是,以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而,效用值的大小本身并没有任何意义,.,27,效用函数的单调变换不会改变偏好的评级顺序,序数效用函数,意味着：尽管在效用的绝对数上有很大差异，但是它们反映了同样的偏好顺序。,28,定理,1,：,一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个,效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关,系：,且,是单调递增函数，则有：,29,定理,2,：,如果消费者在消费集,C,上的偏好关系具有,完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一,个能够代表偏好顺序的连续效用函数,u,:,C,R,。,30,可以看出，消费者偏好是用来分析选择行为的完全一般的理论。它只需要很弱的前提条件，随着不断添加更严格的假设，我们获得了描述她的一种方法,效用函数。,有了效用函数这个很方便的工具，消费者选择问题就可以简单的表述为：,在既定收入约束或者财富约束下，最大化消费者效用函数。,31,效用函数的存在性,效用函数的存在性可以有,Debreu,定理证明：,存在性定理（,Debreu,）：如果 是消费集,X,上的一个偏好关系，满足理性选择公理（公理,1-7,），就存在一个连续实函数，使得,32,（三）消费者效用最大化问题,令 则最大化问题为：,上述约束式为瓦尔拉斯（,walrasian,budget set,）预算集。,33,M=2,时,是二维平面中的一条预算线。,34,把个人偏好（效用函数）同约束集合集中在同一个坐标系中，最优化问题的解就是无差异曲线和预算约束线的最高切点。,35,最优解：,36,不确定条件下的偏好关系,需要寻找更加合适的决策价值准则的理由：,经济学中关于优化问题广泛使用的效用最大化准则通常是在确定性的假定下进行讨论的。,在我们的假设的两时期经济中，由于现时经济决策的后果需要到将来才实现，因而充满着不确定性。,继续假定经济行为主体仍然可以运用通常的效用最大化标准来判断行为选择的后果，其理论逻辑就不够充分。,37,假设前提,经济行为主体选择行为,的依据是对于这些随机,的选择对象的优序偏好,决策者的选择品味由,他对于选择对象的偏,好关系来表示,偏好关系被看成是经济行为主体,关于事物判断的一种原始的特性,38,通过赋予经济行为主体的这种偏好关系以理性公理,我们可以逻辑地分析他基于偏好的选择行为的后果,从而发展出不确定性条件下的，作为经济,行为主体的决策价值准则的,期望效用理论,39,（三）不确定性环境下的行为选择,1.,关于风险与不确定性,奈特（,Knight.F,）,风险、不确定性和利润,中关于确定性、风险和不确定性的解释：,确定性：是指自然状态,如,何出现已知，并替换,行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件,发生的可能性。,40,风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机,问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可,能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认,识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。,不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那,些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并,且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问,题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种,状态发生的概率不清楚。,41,风险、不确定性与利润,(1921),Frank,Hyneman,Knight(1885-1972),Knight,不承认“风险,=,不确定性”，提出“风险”是有概率分布的随机性，而“不确定性”是不可能有概率分布的随机性。,Knight,的观点并未被普遍接受。但是这一观点成为研究方法上的区别,42,由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常,常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果,发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概,率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事,件同时视为风险。,即风险与不确定性有区别，但在操作,上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的,界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。,43,注意,在金融经济学中，我们所说的不确定性就是指风险。,在不确定性经济中，偏好关系式建立在不同的概率分布之间。,44,不确定性下建立偏好模型的方法,状态偏好方法,用概率来描述,45,不确定性下建立偏好模型的方法,（一）状态偏好方法（,Arrow,Debreu,Hirshleifer,),用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的集合，而不是用概率来反映个人所面临的随机性。,46,（二）概率分布法,简单地说，一个特定结果的概率等于现实状态的概率，给定一个行为，现实状态会导致结果,。,公平的说，一个行为的选择总的来说是对于结果的一个概率分布的选择。,考虑不确定条件下决策的一个同等方法就是将其作为在可选的概率分布之间所作的选择。,47,不确定条件下的选择的两种方式,作为一种在依存状态的结果之间进行的选择,作为一种在不同结果的概率分布之间进行的选择,48,不确定性下理性决策的三种原则,数学期望最大化原则,期望效用最大原则,后期望效用最大原则,49,（,2,）不确定性下的理性决策原则,A.,数学期望最大化原则,数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各,种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这,一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确,的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确,定情形下的推广。,问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下,的行为决策准则？,50,“圣彼德堡悖论”,1738,年发表,对机遇性赌博的分析,提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理论”。指出用“钱的数学期望”来作为决策函数不妥。应该用“钱的函数的数学期望”。,Daniel Bernoulli（1700-1782),51,典型案例：圣彼德堡悖论（,Saint,Petersbury,Paradox,）,考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以,得到,1,元，,第一次反面，第二次正面得,2,元，前两次反,面，第三次正面得,4,元，,如果前,n-1,次都是反面，,第,n,次出现正面得 元。问：游戏的参加应先付多,少钱，才能使这场赌博是,“,公平,”,的？,52,该游戏的数学期望值：,但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意,支付的成本（门票）仅为,2-3,元。,圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何,人们只愿意支付有限的价格？,53,B.,期望效用原则,Daniel Bernoulli,（,1700-1782,）是出生于瑞,士名门著名数学家，,1725-1733,年期间一直在圣彼德堡,科学院研究投币游戏。其在,1738,年发表,对机遇性赌博的,分析,提出解决,“,圣彼德堡悖论,”,的,“,风险度量新理,论,”,。指出人们在投资决策时不是用,“,钱的数学期望,”,来,作为决策准则，而是用,“,道德期望,”,来行动的。而道德期,望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富,人对于财富增加的边际效用是不一样的。,54,即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，,而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是,递减的。,伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏,的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：,其中，为一个确定值。,55,另外，,Crammer,（,1728,）采用幂函数的形式的效用函数对这一问题进行了分析。假定：,则,56,因此，,期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致,不可接受的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期望收,益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提,供最终的解决方案。,根据期望效用，,20%,的收益不一定和,2,倍的,10%,的收,益一样好；,20%,的损失也不一定与,2,倍的,10%,损失一样,糟,。,57,C.,后期望效用理论：,由阿莱悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，,如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的,期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用,的新的解释。,58,二、,VNM,期望效用函数,期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。,59,VNM,期望效用函数,（,上）,John von Neumann(1903-1957),（,下）,Oskar Morgenstern(1902-1977),1944,年在巨著,对策论与经济行为,中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险,60,期望效用函数,给定偏好关系虽然可以用效用函数来表示，但是当可能状态数目非常巨大时，证券组合是一个高维的向量或随机变量。为此，我们对效用函数进一步限制，经常用一类更为特殊的、性质更好的效用函数,期望效用函数,。下面我们将讨论在什么情形下，偏好关系不单单能被效用函数表示，而且是期望效用函数表示。,61,所谓期望效用函数是定义在一个随机变量集合上的函数，它在一个随机变量上的取值等于它作为数值函数在该随机变量上取值的数学期望。用它来判断有风险的利益就是比较“钱的函数的数学期望”（“而不是钱的数学期望”）。,62,效用函数的表述和定义,不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变化。,第一步的任务是要明确：什么实在不确定情况下，我们要讨论的“商品”和“商品空间。,不确定下的选择对象被人们称为彩票（,Lottery,）或未定商品（,contingent commodity,）。,63,设想消费者参加一次抽奖（,lottery,），所有可能产生,的结果为,C,，假定,C,的结果是有限的，我们用,n=1,，,，,N,来标示这些结果，每一结果发生的概率为 ，这样，我们可将该简单抽奖（,simple lottery,）记为：,64,一个具有,3,种结果的简单抽奖可以用,3,维空间或者二维空间中的一个区域来表示：,65,比简单抽奖更为复杂的是,复合抽奖,（,compound lottery,），其抽奖结果是众多的简单抽奖。复合抽奖记为：,66,其中，是一个简单抽奖。对于每,一个复合抽奖，我们可以计算出一个,引至抽奖,（,reduced lottery,）。它将复合抽奖简化为简单抽奖。,任何复合抽奖,的引至抽奖，可以通,过下面的向量加法获得：,67,复合抽奖、引至抽奖和简单抽奖的例子,令 ，下图为两个复合抽奖引至的简单抽奖：,68,所有类似的抽奖商品，就构成了不确定情况下的商品空间，我们记抽奖商品空间为,L,。,不同的抽奖商品之间也应当存在着与普通商品之间类似的偏好顺序和关系。,如果抽奖商品空间,L,上的偏好时理性的，并满足连续性假定，则存在一个序数效用函数 ，使得,69,期望效用表述（,expected utility representing,）：,对一件抽奖商品的期望效用表示为对抽奖结果的效用函,数的数学期望,:,其中，是,VNM,效用函数,。,更一般地，我们可以表述为：,70,其中，是一个随机变量。其含义为：不确定状态下的消费得到的效用是每一可能状态下消费路径得到的效用的加权平均值，权重是相应状态发生的概率。,71,如果抽奖结果是无限的，附加一些不太重要的技术性条件，我们就有期望效用函数的连续形式：,其中，为分布函数。,72,期望效用函数的公理化陈述,定理,定义在,P,上的偏好关系，若它满足如下公理，则该偏好关系可以 用,von Neumann and,Morgensern,期望效用函数表示，并且期望效用函数是唯一的。,73,公理,1,二元关系 是一个定义在,P,上的偏好关系，满足：,自返性,传递性,完备性,74,公理,2,（独立性公理或替代公理，,Independent or Substitute Axiom,）,对于,p,q,P,pq,，对于任意,a,(0,1),，意味着,ap+(1-a)r a q+(1-,a)r,对任意,r,P,。,含义,:,引入一个额外的不确定性的消费计划不会改变原有的偏好。也即消费者对于一个给定事件中的消费,p,、,q,的满意程度并不依赖于如果另外事件发生时消费,r,将会是什么。,75,独立性公理假设是不确定环境下决策理论的核心，它提供了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。,通过独立性假设，消费者希望把复杂的概率决策行为分为相同和不同的两个独立部分，整个决策行为仅由其中不同的部分来决定。,76,公理,3,（阿基米德公理，,Archimedean,Axion,）,对于,p,q,r,P,p,qr,则存在实数,a,b,(0,1),使得,a,p+(1-a)rqbp+(1-,b)r,含义,:,没有哪一个消费计划,p,好到使得对任意满足,qr,的消费计划,q,r,，无论概率,b,多么小，复合彩票,bp+(1-b)r,不会比,q,差。,同样，没有哪一个消费计划,r,，差到使得对任意满足,pq,的消费计划,p,q,，无论概率,a,多么大，复合彩票,ap+(1-a)r,不会比,q,好。即,不存在无限好或无限差的消费计划,。,(,数学上有类似的阿基米德公理,),77,数学中的阿基米德法则,不管一个数字,a,多么的小，另外一个数字,b,多么的大，总存在一个整数,k,，使得,kab,78,不确定性偏好关系的一些性质,79,一个定义在,P,上的二元关系 ，当且仅当它满足上面的三个公理时才存在着期望效用表示：,80,在一些附加简化假设下，如状态独立和时间可加性假设，期望效用函数的形式可以进一步简化：,81,四、期望效用准则矛盾,反对期望效用准则的最有趣和最相关的论证，通常包括几个这样的特例：,受试者经过深思熟虑之后，反而会选择不符合该准则的行动方案,。这种情况简单合理，人们的选择相当明确，因而选择与准则之间的矛盾似乎不可避免。我们的结论只能是，,或者期望效用准则不是理性行为，或者人们有一种非理性的天生偏好，即使是在他思考最多的时候,。,82,“,Allais,悖论”,(1953),期望效用函数似乎是相当人为、相当主观的概念。一开始就受到许多批评。其中最著名的是“,Allais,悖论”,(1953),。,由此引起许多非期望效用函数的研究，涉及许多古怪的数学。但都不很成功。,（,法）,Maurice Allais(1911-)1986,年诺贝尔经济奖获得者。,83,两个非常有趣的例子,投资者可能偏好一个不符合期望效用准则的方案。在每个例子中，,“错误”,方案都有一个似是而非的外表，并被许多受试者选中。,84,例,1.,投资者可以选择以下,3,种彩票：彩票,A,赢得,1000,美元的机会,是,1/1000,；彩票,B,赢得,100,美元的机会是,1/100,；彩票,C,赢得,1000,的机会是,1/2000,，赢得,100,美元的机会是,1/200,。,你会选择哪一种彩票,？,A,B,or C?,85,要求受试者在方案,A,B,C,之间进行选择，他们经常会表示出,对,C,的明确偏好,。,但是，,U,C,不可能比,U,A,和,U,B,更大。,对那些显示,偏好,C,的受试者，我们可以继续提问，问他们,在,A,和,B,之间是否更偏好,A,或者相反。争论仍然存在。,86,为具体起见，我们假定,A,偏好,B,。,我们再来询问他是否愿意要确定性,的,A,或者要得,到,A,或,B,的机会各半的方案。换言之，我们是直接选中,A,还是通过抛硬币来决定选,A,或,B?,实验证明，那些表示,A,偏好,B,的投资者一致认为，他们愿意选择,A,，,而不是,A,或,B,的机会各半。,87,不难发现，抛硬币选择,A,或,B,的结果的概率分布于彩票,C,的分布完全相同。因此我们可以将投资者的偏好概括如下：,C,偏好,A,；,A,偏好,A,或,B,各,50%,；但是,A,和,B,各,50%,又恰好,与,C,一样好。因此,C,明确偏,好,A,A,明确偏好,C,矛盾,。,88,例,2,阿莱悖论,1,方案,A,：,确定得到,1000000,美元；,方案,B:,得到,5000000,美元的概率,是,0.1,得到,1000000,美元的概率是,0.89,得到,0,美元的概率,是,0.01,89,他发现，在,A,和,B,中，他的受试者偏好于,A,。,于是，他进一步要求受试者考虑一下情形：,方案,C,：以,0.11,的概率得到,1000000,美元,以,0.89,的概率得到,0,美元,方案,D:,以,0.10,的概率得到,5000000,美元,以,0.90,的概率得到,0,美元,90,当,A,和,B,作为备选方案时选,A,，当,C,和,D,作为备选方案时选,C,，,就违背了期望效用原则。,通过计算表明，如果遵从期望效用原则的投资者,A,和,B,之间偏,好,A,，,那么他必须,在,C,和,D,之间偏好,D,。,这是一个矛盾。,91,显然，期望效用理论受到了“阿莱悖论”的严峻挑战。“阿莱悖论”实质上是要解释，许多建立在独立性假设上的期望效用，尤其是建立在追求期望效用最大化基石上的模型，都忽略的人的心理因素对概率分布的影响。因此，在“阿莱悖论”提出后，许多学者包括经济学家和心理学家均尝试着对不确定性下的选择行为进行进一步探索，力图揭示其中的心理因素与心理机制。,92,总结,本节为在不确定条件下进行选择提出了基础性的理论框架。,本节还讨论了期望效用准则，偏好关系的效用函数表示，以及期望效用函数存在的条件，并给出了几个期望效用准则的反例,。,93,