2025年全国中考数学二次函数的综合中考模拟和真题汇总含详细答案2.doc

-全国中考数学二次函数综合中考模拟和真题汇总含详细答案

一、二次函数
1．如图，有关x二次函数y=x2+bx+c图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数体现式；
（2）在y轴上与否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．祈求出点P坐标；
（3）有一种点M从点A出发，以每秒1个单位速度在AB上向点B运动，另一种点N从点D与点M同步出发，以每秒2个单位速度在抛物线对称轴上运动，当点M抵达点B时，点M、N同步停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
【答案】（1）二次函数体现式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒抵达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【解析】
【分析】
（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数体现式；
（2）先求出点B坐标，再根据勾股定理求得BC长，当△PBC为等腰三角形时分三种状况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种状况求出点P坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数体现式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种状况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3，∴OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3
∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重叠，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
∴S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒抵达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

2．如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线解析式及顶点D坐标；
（2）判断△ABC形状，证明你结论；
（3）点M是抛物线对称轴上一种动点，当MC+MA值最小时，求点M坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y＝x﹣2，顶点D坐标为 （，﹣）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M坐标为（，﹣）．
【解析】
【分析】
（1）由于点A在抛物线上，因此将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴交点坐标，即可求得AB、BC、AC长，由勾股定理逆定理可得三角形形状；
（3）根据抛物线性质可得点A与点B有关对称轴x对称，求出点B，C坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB值最小．则BC与直线x交点即为M点，运用得到系数法求出直线BC解析式，即可得到点M坐标．
【详解】
（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线ybx﹣2上，∴b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b，∴抛物线解析式为yx﹣2．
yx﹣2（x2﹣3x﹣4 ），∴顶点D坐标为 （）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D坐标为 （），∴抛物线对称轴为x．
∵抛物线yx2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B有关对称轴x对称．
∵A（﹣1，0），∴点B坐标为（4，0），当x＝0时，yx﹣2＝﹣2，则点C坐标为（0，﹣2），则BC与直线x交点即为M点，如图，根据轴对称性，可得：MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB值最小．

设直线BC解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入，可得：，解得：，∴yx﹣2．
当x时，y，∴点M坐标为（）．
【点睛】
本题考察了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、直角三角形性质及判定、轴对称性质，处理本题关键是运用待定系数法求函数解析式．

3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线顶点坐标为（2，0），且通过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线解析式；
（2）在l上与否存在一点P，使PA+PB获得最小值？若存在，求出点P坐标；若不存在，请阐明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等，求定点F坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P坐标为（，﹣1）．（3）定点F坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线顶点坐标为（2，0），可设抛物线解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），运用待定系数法即可求出抛物线解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B坐标，作点B有关直线l对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB获得最小值，根据点B坐标可得出点B′坐标，根据点A、B′坐标运用待定系数法可求出直线AB′解析式，再运用一次函数图象上点坐标特征即可求出点P坐标；
（3）由点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等结合二次函数图象上点坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m任意性可得出有关x0、y0方程组，解之即可求出顶点F坐标．
详解：（1）∵抛物线顶点坐标为（2，0），
设抛物线解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线通过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A坐标为（1，），点B坐标为（4，1）．
作点B有关直线l对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB获得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B′坐标为（4，-3）．
设直线AB′解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F坐标为（2，1）．
点睛：本题考察了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点坐标特征、轴对称中最短途径问题以及解方程组，解题关键是：（1）根据点坐标，运用待定系数法求出二次函数解析式；（2）运用两点之间线段最短找出点P位置；（3）根据点M到直线l距离与点M到点F距离总是相等结合二次函数图象上点坐标特征，找出有关x0、y0方程组．

4．如图，直线AB和抛物线交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线顶点D横坐标是2．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）在x轴上与否存在一点C，与A，B构成等腰三角形？若存在，求出点C坐标，若不在，请阐明理由；
（3）在直线AB下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB面积最大，并求出这个最大值．

【答案】（1），顶点D（2，）；（2）C（，0）或（，0）或（，0）；（3）
【解析】
【分析】
（1）抛物线顶点D横坐标是2，则x2，抛物线过A（0，﹣3），则：函数体现式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数体现式，即可求解；
（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种状况求解即可；
（3）由S△PAB•PH•xB，即可求解．
【详解】
（1）抛物线顶点D横坐标是2，则x2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函数体现式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解得：a，b，c=﹣3，∴抛物线解析式为：yx2x﹣3．
当x=2时，y，即顶点D坐标为（2，）；
（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种状况讨论：
①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±4，即点C坐标为：（4，0）或（﹣4，0）；
②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5，即：点C坐标为（5，0）或（5﹣2，0）；
③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=，则点C坐标为（，0）．
综上所述：存在，点C坐标为：（±4，0）或（5，0）或（，0）；
（3）过点P作y轴平行线交AB于点H．设直线AB体现式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k，故函数体现式为：yx﹣3，设点P坐标为（m，m2m﹣3），则点H坐标为（m，m﹣3），S△PAB•PH•xB（m2+12m）=－6m2+30m=，当m=时，S△PAB获得最大值为：．
答：△PAB面积最大值为．

【点睛】
本题是二次函数综合题．重要考察了二次函数解析式求法和与几何图形结合综合能力培养．要会运用数形结合思想把代数和几何图形结合起来，运用点坐标意义表达线段长度，从而求出线段之间关系．

5．如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA＝1，tan∠BAO＝3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y＝ax2+bx+c通过点A、B、C．

（1）求抛物线解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）当△CEF与△COD相似时，P点坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【解析】
【分析】
（1）根据正切函数，可得OB，根据旋转性质，可得△DOC≌△AOB，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分两种状况讨论：①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线顶点；②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，得到△EFC∽△EMP，根据相似三角形性质，可得PM与ME关系，解方程，可得t值，根据自变量与函数值对应关系，可得答案．
【详解】
（1）在Rt△AOB中，OA＝1，tan∠BAO3，∴OB＝3OA＝3．
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到，∴△DOC≌△AOB，∴OC＝OB＝3，OD＝OA＝1，∴A，B，C坐标分别为（1，0），（0，3），（﹣3，0），代入解析式为
，解得：，抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，∴对称轴为l1，∴E点坐标为（﹣1，0），如图，分两种状况讨论：
①当∠CEF＝90°时，△CEF∽△COD，此时点P在对称轴上，即点P为抛物线顶点，P（﹣1，4）；

②当∠CFE＝90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于M点，∵∠CFE=∠PME=90°，∠CEF=∠PEM，∴△EFC∽△EMP，∴，∴MP＝3ME．
∵点P横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵P在第二象限，∴PM＝﹣t2﹣2t+3，ME＝﹣1﹣t，t＜0，∴﹣t2﹣2t+3＝3（﹣1﹣t），解得：t1＝﹣2，t2＝3（与t＜0矛盾，舍去）．
当t＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3，∴P（﹣2，3）．
综上所述：当△CEF与△COD相似时，P点坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3）．
【点睛】
本题是二次函数综合题．解（1）关键是运用旋转性质得出OC，OD长，又运用了待定系数法；解（2）关键是运用相似三角形性质得出MP＝3ME．

6．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c图象通过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴另一种交点为抛物线顶点为D，求出点C，D坐标，并判断△BCD形状；
（3）点P是直线BC上一种动点（点P不与点B和点C重叠），过点P作x轴垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P横坐标为t，△PMQ面积为S，求出S与t之间函数关系式．

【答案】（1）；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种状况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．
试题解析：解（1）∵，∴，，∵m，n是一元二次方程两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线图象通过点A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴抛物线解析式为；
（2）令y=0，则，∴，，∴C（3，0），∵=，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．
①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PM×QF==，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PM×QF=（）=．
综上所述，S=．

考点：二次函数综合题；分类讨论．

7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．
（1）求点B坐标；
（2）将抛物线在直线y＝a上方部分沿直线y＝a翻折，图象其他部分保持不变，得到一种新图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，求a取值范围．
【答案】（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；（2）﹣3＜a≤0；
【解析】
【分析】
（1）由题意直接可求A，根据平移点特点求B；
（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段上方，当函数通过点A时，AB与函数两个交点临界点；
【详解】
解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；
（2）当函数通过点A时，a＝0，
∵图形M与线段AB恰有两个公共点，
∴y＝a要在AB线段上方，
∴a＞﹣3
∴﹣3＜a≤0；
【点睛】
本题二次函数图象及性质；纯熟掌握二次函数图象特点，函数与线段相交交点状况是解题关键．

8．假如一条抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点，那么以抛物线顶点和这两个交点为顶点三角形称为这条抛物线“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线系数”．
(1)任意抛物线均有“抛物线三角形”是　 　(填“真”或“假”)命题；
(2)若一条抛物线系数为[1，0，﹣2]，则其“抛物线三角形”面积为　 　；
(3)若一条抛物线系数为[﹣1，2b，0]，其“抛物线三角形”是个直角三角形，求该抛物线解析式；
(4)在(3)前提下，该抛物线顶点为A，与x轴交于O，B两点，在抛物线上与否存在一点P，过P作PQ⊥x轴于点Q，使得△BPQ∽△OAB？假如存在，求出P点坐标；假如不存在，请阐明理由．
【答案】（1）假；（2）；（3）y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x；（4）P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3）或（－1，1）．
【解析】
分析：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，由此可得出结论；
（2）根据“抛物线三角形”定义得到，由此可得出结论；
（3）根据“抛物线三角形”定义得到y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形，
由抛物线顶点为（b，b2），以及直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一得到，解方程即可得到结论；
（4）分两种状况讨论：①当抛物线为y＝－x2＋2x 时，②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
详解：（1）当△＞0时，抛物线与x轴有两个交点，此时抛物线才有“抛物线三角形”，故此命题为假命题；
（2）由题意得：，令y=0，得：x=，∴ S==；
（3）依题意：y＝－x2＋2bx，它与x轴交于点（0，0）和（2b，0）；
当抛物线三角形是直角三角形时，根据对称性可知它一定是等腰直角三角形．
∵y＝－x2＋2bx=，∴顶点为（b，b2），由直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一得到：，∴，解得：b＝0（舍去）或b＝±1，
∴y＝－x2＋2x 或y＝－x2－2x．
（4）①当抛物线为y＝－x2＋2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2＋2a），∴Q（（a，0），
则｜－a2＋2a｜＝｜2－a｜，即．
∵a－2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，1）或（－1， －3）．
②当抛物线为y＝－x2－2x 时．
∵△AOB为等腰直角三角形，且△BPQ∽△OAB，
∴△BPQ为等腰直角三角形，设P（a，－a2－2a），∴Q（（a，0），
则｜－a2－2a｜＝｜2+a｜，即．
∵a+2≠0，∴，∴a=±1，∴P（1，－3，）或（－1，1）．
综上所述：P（1，1）或P（－1，－3）或P（1，－3，）或（－1，1）．
点睛：本题是二次函数综合题．考察了二次函数性质以及“抛物线三角形”定义．解题关键是弄懂“抛物线三角形”定义以及分类讨论．

9．某商场购进一批单价为4元日用品．若按每件5元价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．
（1）试求y与x之间函数关系式；
（2）当销售价格定为多少时，才能使每月利润最大？每月最大利润是多少？
【答案】（1）（2）当销售价格定为6元时，每月利润最大，每月最大利润为40000元
【解析】解：（1）由题意，可设y=kx+b，
把（5，30000），（6，0）代入得：，解得：。
∴y与x之间关系式为：。
（2）设利润为W，则
，
∴当x=6时，W获得最大值，最大值为40000元。
答：当销售价格定为6元时，每月利润最大，每月最大利润为40000元。
（1）运用待定系数法求得y与x之间一次函数关系式。
（2）根据“利润=（售价﹣成本）×售出件数”，可得利润W与销售价格x之间二次函数关系式，然后求出其最大值。

10．如图，已知抛物线通过A（－3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．

（1）求该抛物线解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上一种动点，求△PBC周长最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上一种动点（ E与A、D不重叠），过E点作平行于y轴直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E横坐标为m，△ADF面积为S．
①求S与m函数关系式；
②S与否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E坐标； 若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）.
（2）.
（3）①.
②当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E坐标为（﹣2，2）.
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象通过三点，用待定系数法确定二次函数解析式即可.
（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC周长最小，根据点坐标求得对应线段长即可.
（3）设点E横坐标为m，表达出E（m，2m+6），F（m，），最终表达出EF长，从而表达出S于m函数关系，然后求二次函数最值即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线通过A（－3，0），B（1，0），
∴可设抛物线交点式为.
又∵抛物线通过C（0，3），∴.
∴抛物线解析式为：，即.
（2）∵△PBC周长为：PB+PC+BC，且BC是定值.
∴当PB+PC最小时，△PBC周长最小.
∵点A、点B有关对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求点.

∵AP=BP，∴△PBC周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.
∵A（－3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=.
∴△PBC周长最小是：.
（3）①∵抛物线顶点D坐标为（﹣1，4），A（﹣3，0），
∴直线AD解析式为y=2x+6
∵点E横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，）
∴.
∴.
∴S与m函数关系式为.
②，
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1，此时点E坐标为（﹣2，2）.

11．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c图象通过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线解析式；
（2）设（1）中抛物线与x轴另一种交点为抛物线顶点为D，求出点C，D坐标，并判断△BCD形状；
（3）点P是直线BC上一种动点（点P不与点B和点C重叠），过点P作x轴垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为个单位长度，设点P横坐标为t，△PMQ面积为S，求出S与t之间函数关系式．

【答案】（1）；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种状况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．
试题解析：解（1）∵，∴，，∵m，n是一元二次方程两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线图象通过点A（m，0），B（0，n），∴，∴，∴抛物线解析式为；
（2）令y=0，则，∴，，∴C（3，0），∵=，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=，∴QF=1．
①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（）=，∴S=PM×QF==，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=﹣（t﹣3）=，∴S=PM×QF=（）=．
综上所述，S=．

考点：二次函数综合题；分类讨论．

12．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴左右两侧）两点，与y轴正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C坐标；
（2）判断△CDB形状并阐明理由；
（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t函数关系式，并写出自变量t取值范围．
【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)为直角三角形；(Ⅲ).
【解析】
【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线解析式，然后深入确定点B，C坐标．
（2）分别求出△CDB三边长度，运用勾股定理逆定理判定△CDB为直角三角形．
（3）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：
①当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一种四边形；
②当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一种三角形．
【详解】
解：(Ⅰ)∵点在抛物线上，
∴，得
∴抛物线解析式为：，
令，得，∴；
令，得或，∴.
(Ⅱ)为直角三角形.理由如下：
由抛物线解析式，得顶点坐标为.
如答图1所示，过点作轴于点M，
则，，.
过点作于点，则，.
在中，由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得：；
在中，由勾股定理得：.
∵，
∴为直角三角形.

(Ⅲ)设直线解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴，
直线是直线向右平移个单位得到，
∴直线解析式为：；
设直线解析式为，
∵，
∴，解得：，
∴.
持续并延长，射线交交于，则.
在向右平移过程中：
(1)当时，如答图2所示：

设与交于点，可得，.
设与交点为，则：.
解得，
∴.

.
(2)当时，如答图3所示：

设分别与交于点、点.
∵，
∴，.
直线解析式为，令，得，
∴.

.
综上所述，与函数关系式为：.

13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接.

（1）求二次函数体现式；
（2）若点为抛物线在轴负半轴上方一种动点，求面积最大值；
（3）抛物线对称轴上与否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点坐标，若不存在请阐明理由.
【答案】（1）二次函数解析式为；（2）当时，面积获得最大值；（3）点坐标为，，.
【解析】
分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG⊥x轴，交AE于点F，表达△ADE面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种状况讨论分析即可．
详解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c通过点A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），
∴，
解得：，
因此二次函数解析式为：y=；
（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直线解析式为y=，
过点D作DN⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如图，

设D（m，），则点F（m，），
∴DF=﹣（）=，
∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH
=×DF×AG+×DF×EH
=×4×DF
=2×（）
=，
∴当m=时，△ADE面积获得最大值为．
（3）y=对称轴为x=﹣1，设P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种状况讨论：
当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（﹣1，1）；
当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（﹣1，）；
当PE=AE时，=，解得：n=﹣2，此时点P坐标为：（﹣1，﹣2）．
综上所述：P点坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．
点睛：本题重要考察二次函数综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积最大值，会分类讨论处理等腰三角形顶点存在问题时处理此题关键．

14．如图，顶点M在y轴上抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B横坐标为2，连结AM、BM．
（1）求抛物线函数关系式；
（2）判断△ABM形状，并阐明理由；
（3）把抛物线与直线y=x交点称为抛物线不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后抛物线总有不动点．

【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后抛物线总有不动点．
【解析】
试题分析：（1）分别写出A、B坐标，运用待定系数法求出抛物线解析式即可；
根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；
（3）根据抛物线平后来顶点设其解析式为，
∵抛物线不动点是抛物线与直线交点，∴，
方程总有实数根，则≥0，得到m取值范围即可
试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴交点，∴A点为（-1，0）
∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）
∵过点A、B抛物线顶点M在轴上，故设其解析式为：
∴，解得：
∴抛物线解析式为．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，
∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线顶点平移至点（，），则其解析式为．
∵抛物线不动点是抛物线与直线交点，∴
化简得：
∴＝＝
当时，方程总有实数根，即平移后抛物线总有不动点
∴．
考点：二次函数综合应用（待定系数法；直角三角形判定；一元二次方程根鉴别式）

15．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴交点为A，与x轴交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴直线l与抛物线、直线AD交点分别为P、Q．

（1）求抛物线解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积最大值；
（3）当t＞2时，与否存在点P，使以A、P、Q为顶点三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t值；若不存在，请阐明理由．
【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．
【解析】
试题分析：（1）首先运用根与系数关系得出：，结合条件求出值，然后把点B，C坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种状况进行讨论，据此即可求出三角形最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种状况进行讨论，再根据三角形相似条件，即可得解．
试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0两根，
∴x1+x2=8，
由．
解得：．
∴B（2，0）、C（6，0）
则4m﹣16m+4m+2=0，
解得：m=，
∴该抛物线解析式为：y=；．
（2）可求得A（0，3）
设直线AC解析式为：y=kx+b，
∵
∴
∴直线AC解析式为：y=﹣x+3，
要构成△APC，显然t≠6，分两种状况讨论：
当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，
∴S△APC=S△APF+S△CPF
=
=
=，
此时最大值为：，
②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），
∵P（t，），∴PM=，
∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=
=
=，
当t=8时，取最大值，最大值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积最大值为12；
（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，
Q（t，3），P（t，），
①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，
若：△AOB∽△AQP，则：，
即：，
∴t=0（舍），或t=，
若△AOB∽△PQA，则：，
即：，
∴t=0（舍）或t=14，
∴t=或t=或t=14．

考点：二次函数综合题．