吉林大学高职高专《高等数学》第05章.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第五章 不定积分,第一节,不定积分,的概念与性质,第二,节 换元积分法,第三,节 分部积分法,第四,节 有理分式,函数,的不定积分,1,第一节 不定积分的概念与性质,一、原函数与,不定积分,二,、不定积分的几何意义,三、不定积分的基本公式,四、不定积分的性质,2,定义,1,设函数,f,与,F,在区间,I,上有定义，若,则称,F,为,f,在区间,I,上的一个原函数,一、原函数与不定积分的概念,问题：,（,1,）什么条件下，一个函数的原函数存在？,（,2,）任意两个原函数之间有什么关系？,3,教材,P98,4,教材,P98,5,教材,P99,任意常数,积分号,被积函数,被积表达式,积分变量,6,不定积分举例,7,教材,P99,8,教材,P99,例,2.,设曲线通过点,(1,2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标,的,2,倍,求此曲线的方程,.,解,:,所求曲线过点,(1,2),故有,因此所求曲线为,教材,P99,9,二、不定积分,的几何意义,:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族,.,的,积分曲线,.,过某个,x,0,点做切线都平行,y=F(x),的图形,教材,P100,10,三、,不定积分的基本积分公式,11,教材,P100,12,四、,不定积分的性质,13,教材,P101,14,15,教材,P101,16,教材,P102,习题,5-1,3,、,第二节 换元积分法,一、第一换元积分法（凑微分法）,二、第二换元积分法,17,教材,P103,第二类换元法,第一类换元法,基本思路,设,可导,则有,18,一、第一换元积分法（凑微分法）,19,说明,使用此公式的关键在于将,化为,观察重点不同，所得结论不同,.,20,教材,P103,下面是常用的凑微分等式，请熟记，对以后解题大有帮助,21,教材,P104,22,23,教材,P104,例,1,的一般情况：,解,:,令,则,故,原式,=,注,:,当,时,24,教材,P104,25,教材,P104,【,例,4】,求,解,:,原式,=,【,例,6】,求,想到,解,:,(,直接配元,),26,【,例,7】,求,解,:,原式,=,27,【,例,8】,求,解,:,令,则,想到公式,28,【,例,9】,求,解,:,类似,29,例,10.,求,解法,1,同样可证,或,30,解法,2,31,32,教材,P106,二、第二换元积分法,33,教材,P107,34,35,教材,P107,36,解,被积函数中所含的两个根式的根指数分别为,2和3，最小公倍数为6，,故应设,=,t(t0)，才能把被积函数中所含的两个根式都去掉，则有,【,例,15】,【,例,16】,求,解,:,令,则,原式,37,【,例,17】,求,解,令,38,【,例,18】,求,解,令,39,说明,以上几例所使用的均为,三角代换,.,三角代换的,目的,是化掉根式,.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,40,41,教材,P109,【,典型例题选讲,】,利用教材,P105,例,6,例,1,42,43,44,解,:,原式,例,2,想到公式,【,典型例题选讲,】,45,求,解,:,原式,=,求,解,:,原式,例,3,例,4,【,典型例题选讲,】,46,求,解,:,令,得,原式,例,5,【,典型例题选讲,】,47,思考与练习,1,、下列,积分应如何换元才使积分简便,?,令,令,令,48,49,教材,P111,习题,5-2,1,、,2,、,3,、,4,、,5,第三节 分部积分法,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则,.,分部积分公式,50,例,1.,求,解,:,令,则,原式,思考,:,如何求,提示,:,令,则,原式,教材,P112,51,52,例,2.,求,教材,P113,53,教材,P113,例,4.,求,解,:,令,则,原式,=,教材,P113,54,例,5.,求,解,:,令,则,原式,教材,P113,55,解题技巧,:,把被积函数视为两个函数之积,按,“反对幂指三,”,的,顺序,前者为 后者为,例,6.,求,解,:,令,则,原式,=,反,:,反三角函数,对,:,对数函数,幂,:,幂函数,指,:,指数函数,三,:,三角函数,教材,P114,56,例,7,求积分,解,注意循环形式,57,教材,P114,例,8.,求,解,:,令,则,原式,令,教材,P114,58,59,教材,P115,60,61,教材,P115,习题,5-3,2,、,62,第四节 有理函数的不定积分,一、一般有理函数的不定积分,二、三角函数有理式的不定积分,两个多项式的商表示的函数称为有理函数,.,其中 都是非负整数；及 都是实数，并且,.,假定分子与分母之间没有公因式,这有理函数是真分式；,这有理函数是假分式；,利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和,.,63,一、一般有理函数的不定积分,1),简单分式的积分法,64,65,66,2),化有理真分式为简单分式,67,3),有理函数的积分法,68,69,教材,P116,70,教材,P117,71,教材,P117,二,、,三角函数有理式,的不定积分,设,表示三角函数有理式,令,万能代换,t,的有理函数的积分,则,教材,P118,72,例,3.,求,解,:,令,则,教材,P118,73,74,75,教材,P118,76,教材,P119,习题,5-4,1,、,2,、,教材,P120,复习题五,1,、,2,、,