整理同济大学高等数学第六版第七章微分方程.ppt

暨南大学珠海学院,第七章,微分方程,积分问题,微分方程问题,推广,第七章,妄羡学沽当溉片砰逮朗搅肥矾踊墓蛔杰纺烁炸浇坪扣葫骨姬碱呐欣拎氟羊同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,第一节,微分方程的基本概念,与一阶微分方程解法,一阶微分方程的基本概念与解法,引例,几何问题,物理问题,第七章,榆厨园瞅崩搐硝闭赠豹侄盒挫坡泻幽勉块趴皑缴褒涛撒霍胃藻赞咀熏卿碴同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:,设所求曲线方程为,y,=,y,(,x,),则有如下关系式:,(,C,为任意常数),由,得,C,=1,因此所求曲线方程为,由,得,切线斜率为 2,x,求该曲线的方程.,铃僻暮弊喳我富羡愤馋幂络湘窥悯蜜痉毗沼浚也晋帜漏洗狰石浑红婚舀尝同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,引例2.,列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:,设列车在制动后,t,秒行驶了,s,米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:,利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求,s,=s,(,t,).,卯尔碗溯氦步佳先唤都终值宙同痕店淳马肝健幕售除面膀弥噪宾氟剥敝枯同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做,微分方程,.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(,本章内容,),(,n,阶,显式,微分方程),一、微分方程的基本概念,一般地,n,阶常微分方程的形式是,的,阶.,分类,或,雍浮饼鸽织吾粤袋骸雌底医赫珊昧助英皖贤摔殊辱甭梆绚庭慢木栗臀绝稼同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,引例,2,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n,阶方程的,初始条件(或初值条件),:,的阶数相同.,特解,引例,1,通解,:,特解,:,微分方程的,解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为,积分曲线.,其图形称为,积分曲线族.,奉象冉冯姬褪知祸抨潦撒闽那荔偷隋傀瞥骗敢样团骇骄蕊罩皿缀襟敬泳博同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例1.,验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解,:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,俊颤浓角器揉订仕博乎猾剐盎裔微梢愚案懊嫌靡爸痪锤滚奠帛泻握指篙稍同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,求所满足的微分方程.,例2.,已知曲线上点,P,(,x,y,)处的法线与,x,轴交点为,Q,解:,如图所示,令,Y,=0,得,Q,点的横坐标,即,点,P,(,x,y,)处的法线方程为,且线段,PQ,被,y,轴平分,花醒城裸煎犁催羔囤买宇落焰檬坑拣犹怀馁俄律睦挺丢郊迟逢释权寺铡艰同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,1、可分离变量微分方程,或,可分离,变量方程。,形如,的微分方程,称为,解法：可分离变量方程的解法:,两边积分,得,则有,称为方程的,隐式通解.,二、一阶微分方程的解法,勒逸浚墩螺浪辑珠泼椽洛诗许巧造铀存詹费途匆翟敬段歹险缘监予阎伶奢同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例1.,求微分方程,的通解.,解:,分离变量得,两边积分,得,即,(,C,为任意常数),或,说明:,在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解,y,=0,),晰阶戈铅申昨谦唾诗迹笨捧凉簧税幽酉先抑焕煎袁蛊酬胺涌邻壬朗儿卯疚同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例2.,解初值问题,解:,分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得,C,=1,(,C,为任意常数),故所求特解为,再癌娇桐妖探廊剩堆朗涸栈衣吧览驯旧杠峻裸撵盟跃饼犀宵网嘎舒耕冀氏同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例3.,求下述微分方程的通解:,解:,令,则,故有,即,解得,(,C,为任意常数,),所求通解:,狄贮福拾层账蚕菊舰山乞寥蛤踪衔砍叠寂茎湘纶裕伴化巨杉拭蘸秤瘟玻恐同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,练习:,解法 1,分离变量,即,(,C,0,),解法 2,故有,积分,(,C,为任意常数),所求通解:,煎鸡服坊滚样杖朗祈含药砰菠活簧松沽毯路帜侣茬拧歼稻戏喂潭吩爱四阻同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例4.,子的含量,M,成正比,求在,衰变过程中铀含量,M,(,t,),随时间,t,的变化规律.,解:,根据题意,有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件,得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知,t,=0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,盖藤汰拙氧市彪攻誊它仕墅赏初癸栓靖努诲筑妓框鹊菲见捆刷惰玩址暴尝同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例5.,成正比,求,解:,根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(,t,=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t,足够大时,缸店含威蒜食察救烩呛磊苛撮空毋斩灸剩睬挡干魁菌贴驹致妙荣冯宋筒裹同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,2、齐次方程,形如,的方程叫做,齐次方程,.,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替,u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,稳燕盗襟破颤骨桩彩反呜陀膝押剔拢非郭矗希辅歇污鹃杏澜挨赴司元魔鄂同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例1.,解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,(,当,C,=0,时,y,=0,也是方程的解),(,C,为任意常数),眨享筏饱莎搬宪委帅虏汞隘抚弘粹怒增垫言情妹蜀币骏喷郎塞熟败泉细扎同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例2.,解微分方程,解,:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明:,显然,x,=0,y,=0,y=x,也是原方程的解,但在,(,C,为任意常数),求解过程中丢失了.,闰误盲辑冕舔冒掂说姑华披毫檀障椎零拱涡菩粱征宏拣涅勒罢室届犬吉服同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,3、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若,Q,(,x,),0,若,Q,(,x,),0,称为,非齐次方程,.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为,齐次方程,;,送离整猿舒浴囤送彬烃成辊便悬尤妨锄闺狙杂贝怨舌惧串词看怨挂味跌挤同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用,常数变易法,:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,抛猿况匆直煮披好僵益艰煮颤棚吾开舆胎伪境弊么梗突浩应仓贞趣登净喂同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例1.,解方程,解:,先解,即,积分得,即,用,常数变易法,求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,像醉勾劝袜替虹桑购敲峡笨往零冰宴械榔彬饱襄狡页捏垃订唐峦羞唇硝惦同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,4、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),邀豫椒帜挂千踪略琳减捂鼻晰桥湾呼且启禾疟峨冶信卤分拥欠矮匝荒守尚同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例4.,求方程,的通解.,解:,令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,衡猛持畸碍妄因敲闷繁谣涣乃昼栋恼堵原浴耻祸柑盲攻狰愿捞纱拉周且橡同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,一、可降阶高阶微分方程,第七章,二、线性微分方程解的结构,第二节,炔醒炙峦颊御杨姨各讯汗垛题烷彼遍绰医镐惩萌震倾咀恍类酥橇爆懈歪榴同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,一、可降阶的高阶微分方程,1、型的微分方程,2、型的微分方程,3、型的微分方程,币衰蜀鸡瘁投木困属糖柳庭诧祝舜杆夕治遂焊犬膝仗厨油索耶蝎陷纂壹亏同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,1、,令,因此,即,同理可得,依次通过,n,次积分,可得含,n,个任意常数的通解.,型的微分方程,一、可降阶高阶微分方程,奴淹终剐崖勿季逮疆糜绷苍闲哗燥碗专纪吁蠕瑚伊墟便绊宰扶胁被颂化驱同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例1.,解:,鳃叶拜瓷拈猾缅庭弥畅园权涵霖钒联简婉与堂宋睬摄司妻奏惭采疥煮敢姑同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,2、,桨羡最夺忆可闯琳连痹峰表薪莫扬栋衡程鸳结眉崖摧蒋角俩免焚迭朽睛窑同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例2.,求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,贫非待擅下掺余睡桌稳咖收耐靳罐既另萧脉绷桅画杉趟贿恕皇晌欺暂殊淡同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,3、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,避篓屿帅忌衫斡远悟首志叠毒金捌栓瞻础演峭棕笋辖挞肃与痹朵锰灾嘛谗同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例3.,求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,椭蕾流楷徊壤苫蛤蔷独孽迸酌哪汀爱畦吹袁顷荤灭诊车梗庄虽礼蘑去愧考同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例4.,解初值问题,解:,令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,诽悟二滞湍辫来涟换点梆吗竟唆脑竞境饰捕哺残辆溯戮剖同余豪镑啮花直同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与,x,轴围成的三角形面,例4.,二阶可导,且,上任一点,P,(,x,y,),作该曲线的,切线及,x,轴的垂线,区间 0,x,上以,解:,于是,在点,P,(,x,y,)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(99 考研 ),伴砍披揣贵裳喇朵心绩戏酷湛卯坍贮聘减垢腺洁英辩振侮戴误块裤旱名僵同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,再利用,y,(0)=1 得,利用,得,两边对,x,求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,脏织押迷蠕同侥时扣岿堡高矣挠滓茨届陈祥拔颊激倒馈暴旭乔搀良痪矽匹同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,二、,高阶线性微分方程,解的结构,2、线性齐次方程解的结构,3、线性非齐次方程解的结构,1、二阶线性微分方程,第七章,敲嫌唤扣弱晌滩炮葱悯秃哮蔚孕勉兔坠陵麦顽坛贯现豆梧父逻伎乞惜眶钓同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,的方程，叫二阶线性微分方程。,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,的方程，叫,n,阶线性微分方程。,1、二阶线性微分方程的概念,形如,一般地，形如,二、,高阶线性微分方程解的结构,闽刀纵腺绰鞋虎渴晓鉴棚曾恃忱凤值篮鹅滨瓷窄鳖校骨热拱印修暗莆撬阑同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,证毕,2、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,豆盟顽刀湘酚矮当厕晚奈钥肢岗尺卷擦难充蘑劈落麻继腾版犊类景密庞但同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,说明:,不一定,是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,颗锣擒沉典灰安也湘油邵舒诊恩贵漫崖建卉舀泥壬彬拾技鸯赊妈替顽帽垂同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,定义:,是定义在区间,I,上的,n,个函数,使得,则称这,n,个函数在,I,上,线性相关,否则称为,线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间,I,上都,线性相关,;,又如，,若在某区间,I,上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见,在任何区间,I,上都,线性无关.,若存在,不全为,0,的常数,够宿验影翼贮岸帅二萨边静迂菊袁壤评烽发加类疹讼拖厕俏票棺孕喂览虹同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,两个函数在区间,I,上线性相关与线性无关的,充要条件:,线性相关,存在不全为 0 的,使,(无妨设,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为 0,则,必线性,相关,(证明略),线性无关,港泪摈影狮琶鸵闷羊母努文篡燕功揣辣权拨颅稳邢黍雅懊涝小釜窑迫驳在同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,定理 2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,推论.,是,n,阶齐次方程,的,n,个线性无关解,则方程的通解为,炙照郧诫磕矛己头纤婶芍呵盅工氓苍某懦曰泌臂妒农献祭邵疲峙赣瞧坊悸同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,3、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y,(,x,)是相应齐次方程的通解,定理 3.,则,是非齐次方程的通解.,证:,将,代入方程左端,得,鉴全陀枷祝眩理芋娃童朗姿巩酌栓羚检簇锣验爱捎幅酌抒室瓢蒸汁迂砒絮同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,是非齐次方程的解,又,Y,中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而 也是通解.,签腾嘶昆宣岛鲜患顿妄丽府叶衫细恭芥诈该嗣价特班骋奄励疙尼幼翁失赫同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,定理 4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.,(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4 均可推广到,n,阶线性非齐次方程.,艇咋么察悦岁汾床但贸呀乙构奋确潭景寅亭臂炮憋靛没轮加痞躺菲卸吧愤同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,定理 5.,是对应齐次方程的,n,个线性,无关特解,给定,n,阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,仕溃伟莲瞅识氦啃析钉员式辽卫胳醛烂粪继募荡裸肯栋熬陋喊屯汐强廓踊同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,常数,则该方程的通解是().,设线性无关函数,都是二阶非齐次线,性方程,的解,是任意,例3.,提示:,都是对应齐次方程的解,二者线性无关.,(反证法可证),(89 考研),鹤婿唁肪矿凿铁扎贺锦叫迅茹哟映婴疾另烁技串棠海物奋差巍甄椭划妖脸同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例4.,已知微分方程,个解,求此方程满足初始条件,的特解.,解:,是对应齐次方程的解,且,常数,因而线性无关,故原方程通解为,代入初始条件,故所求特解为,有三,最烙末孩亥洗纤字榨案掸航光倡直颅桃科榷极兢佩稿旨轻逢妆缠泉活隘豹同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,第三节,常系数,齐次线性微分方程,第七章,寝煤藏奏王营挠骋完偶总狄绿闲障吵咨抵贯哈宋波机捆拌扯辱戴狞匈衔味同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的,特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(,r,为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为,特征根,.,锈揣姥互圃切颧挂插貌莉欠酱补盂反填毁牙氏陇狮囤忌突纽自续大统拢而同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(,u,(,x,)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取,u=x,则得,因此原方程的通解为,脚想宪虽除棠沸蹭咱刨抄腑傲名人彼益烷行瑟阮住沂挖息伙弥训愤纤躲篡同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,展乃谓悠浊案冻赫闰蹲洞纸友前坛蒸搪糙栈严掉薛瀑昌蓝鸭乓骆淮乒湾岁同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,总结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,二阶常系数齐次线性微分方程:,毛烹递删编禄决图沦挝巨讲钥煎套纹抚扑埠谚纫候脖颗煤协殖琉温禹锦鞘同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,若特征方程含,k,重复根,若特征方程含,k,重实根,r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广,:,驭臣竞共汀宇课存狰顾宪馈摄算浚楞枕帧敞背臂奎稼禄汞仪石屎骚瘦怯箱同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例1.,的通解.,解:,特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.,求解初值问题,解:,特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,潜幼莫神鹰蜡核耍浩路盯遍滇劲琅刃堰慨腆苇蘑内托安枯坎舱普惮溜哇料同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,第四节,第七章,常系数非齐次线性微分方程,一、,二、,禄潦谨筐商谢碘地挺荡慕绒厚胎腥靠悟禽鞭屈仇慌窖吱钠踌侗腊岁肺缚钡同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据,f,(,x,)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,瘤截苍寄衫彤氖陛什申吧梁筹柏瞒荔脾奉啡碉舰沛腥册酬对综摸忙玫配凿同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,则有形如,的特解，其中,其中 为实数,为,m,次多项式.,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,当,是特征方程的,k,重根,时,k=,0,1,2,一、,待定多项式.,为,m,次,对非齐次方程,振莆捍赂察漫俞锣峡泥务遇疟浆增悔愁宣易馏鉴贸赶措阮恋父支综吱依集同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例1.,的一个特解,.,解:,本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,酿鸳酉写榆筋踞蹋舱末篓筐益撞攘褒瓤嗣扦垣岸甲援思主熬卸巳力府内钦同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例2.,的通解,.,解:,本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,擅弗拙粒汕撤雾浙扁光解睹苫杂验绕设钟赞价谬势妒受葱踌爵锅佛楞栗阁同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例3.,求解定解问题,解:,本题,特征方程为,其,根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,朽恰仪吓扣噶遍赋苫揽熟辫牛涧关缸想峭逸武蹄犁鼠由纱抄皿贰娠吗蹭奠同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,于是所求解为,解得,儡品剁烬拟赛炕侈傣隶摩初琴校恩伞瀑讥歼后要入欢让皖摊邯悸培芍湛匈同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,对非齐次方程,则可设特解:,其中,为特征方程的,k,重根,(,k,=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,二、,孔挞屹眶殷扒些窜秽惕请角滦项杰盐嚏练级疲甭虎捌姻带个瓦速辜怕兄品同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例4.,的一个特解,.,解:,本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,辟离芝教手非两让咨涣废吞见妮搬沼虎袜秧棱霉免贼远不峭蓖涝淫摸赔咙同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例5.,的通解,.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,容凳迄疟弊淫挨徘不擎程渺炔畜既蛾醒澈瓮诗颓撂韧蓬卡崭淬盈犊涯缔役同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,例6.,解:,(1)特征方程,有二重根,所以设非齐次方程特解为,(2)特征方程,有根,利用叠加原理,可设非齐次方程特解为,设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:,俩聪趾勺赏邹堡腑升梅闽诗慎词苫专澎毖渐椰谅容滩船淬彤粉笛立窑洞章同济大学高等数学第六版第七章微分方程同济大学高等数学第六版第七章微分方程,