2025年福建省福州市数学高一上期末统考模拟试题含解析.doc

2025年福建省福州市数学高一上期末统考模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若，，则等于（）
A. B.
C. D.
2．函数的图象大致（ ）
A. B.
C. D.
3．某人用如图所示的纸片，沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处应依次写上

A.快、新、乐 B.乐、新、快
C.新、乐、快 D.乐、快、新
4．下列各个关系式中，正确的是（ ）
A.={0}
B.
C.{3，5}≠{5，3}
D.{1}{x|x2=x}
5．已知直线ax+by+c=0的图象如图，则　(　　)

A.若c>0，则a>0，b>0
B.若c>0，则a<0，b>0
C.若c<0，则a>0，b<0
D.若c<0，则a>0，b>0
6．下列等式中，正确的是（）
A. B.
C. D.
7．函数满足：，已知函数与的图象共有4个交点，交点坐标分别为,,,，则：
A. B.
C. D.
8．已知函数，则 的值等于
A. B.
C. D.
9．已知，若函数在上为减函数，且函数在上有最大值，则a的取值范围为（）
A. B.
C. D.
10．已知角的终边经过点P，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知向量,其中，若，则的值为_________.
12．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样
其中，正确信息的序号是________
13．已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为_________
14．计算_____________.
15．已知，是相互独立事件，且，，则______
16．已知是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知关于一元二次不等式的解集为.
（1）求函数的最小值；
（2）求关于的一元二次不等式的解集.
18．已知函数且.
（1）若，求的值；
（2）若在上的最大值为，求的值.
19．（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值；
20．已知函数，其图像过点，相邻两条对称轴之间的距离为
（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标保持不变，得到函数的图像，若方程在上有两个不相等的实数解，求实数m的取值范围
21．已知 是方程的两根，且.求：及的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据三角函数的诱导公式即可化简求值.
【详解】∵，，
，，，
.
故选：D.
2、A
【解析】根据对数函数的图象直接得出.
【详解】因为，根据对数函数的图象可得A正确.
故选：A.
3、A
【解析】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，即可得出结论
【详解】根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样，可知顺序为②年①③，
故选A
【点睛】本题考查四棱锥的结构特征，考查学生对图形的认识，属于基础题.
4、D
【解析】由空集的定义知={0}不正确，A不正确；
集合表示有理数集，而不是有理数，所以B不正确；
由集合元素的无序性知{3，5}={5，3}，所以C不正确；
{x|x2=x}={0，1}，所以{1}{0，1},所以D正确.
故选D.
5、D
【解析】由ax+by+c=0，得斜率k=-，直线在x，y轴上的截距分别为-，-.如图，k<0，即-<0，所以ab>0，因为->0，->0，所以ac<0，bc<0.若c<0，则a>0，b>0；若c>0，则a<0，b<0;故选D.
6、D
【解析】按照指数对数的运算性质依次判断4个选项即可.
【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，错误；
对于B，，错误；
对于C，，错误；
对于D，，正确.
故选：D.
7、C
【解析】函数的图象和的图象都关于（0，2）对称，从而可知4个交点两两关于点（0，2）对称，即可求出的值
【详解】因为函数满足：，所以的图象关于（0，2）对称，
函数，由于函数的图象关于（0，0）对称，故的图象也关于（0，2）对称，
故.
故答案为C.
【点睛】若函数满足，则函数的图象关于点对称
8、C
【解析】因为，所以，故选C.
9、A
【解析】由复合函数在上的单调性可构造不等式求得，结合已知可知；当时，，若，可知无最大值；若，可得到，解不等式，与的范围结合可求得结果.
【详解】在上为减函数，解得：

当时，，此时
当，时，在上单调递增
无最大值，不合题意
当，时，在上单调递减
若在上有最大值，解得：
，又
故选
【点睛】本题考查根据复合函数单调性求解参数范围、根据分段函数有最值求解参数范围的问题；关键是能够通过分类讨论的方式得到处于不同范围时在区间内的单调性，进而根据函数有最值构造不等式；易错点是忽略对数真数大于零的要求，造成范围求解错误.
10、B
【解析】根据三角函数的定义计算，即可求得答案.
【详解】角终边过点
，，
，
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、4
【解析】利用向量共线定理即可得出
【详解】∵∥，
∴＝8，
解得，其中，
故答案为
【点睛】本题考查了向量共线定理，考查了向量的坐标运算，属于基础题
12、①②③
【解析】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误
故答案为①②③.
点睛：研究函数问题离不开函数图象，函数图象反映了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函数的图象，学会从函数图象上去分析问题、寻找解决问题的方法
13、4
【解析】设扇形半径为，弧长为，则，解得
考点：角的概念，弧度的概念
14、
【解析】将所给式子通分后进行三角变换可得结果
【详解】由题意得

故答案为：
【点睛】易错点睛：本题考查三角恒等化简，本题的关键是通分后用正弦的差角公式，在由化成时注意角的顺序，这是容易出错的地方，考查运算能力，属于中档题.
15、
【解析】由相互独立事件的性质和定义求解即可
【详解】因为，是相互独立事件，所以，也是相互独立事件，
因为，，
所以，
故答案为：
16、
【解析】根据题意求出函数的单调区间及所过的定点，进而解出不等式.
【详解】因为是定义在R上的偶函数，且在上为增函数，，所以函数在上为减函数，.
所以且在上为增函数，，在上为减函数，.
所以的解集为：.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由题意可得，解不等式求出的取值范围，再利用基本不等式求的最小值；
（2）不等式化为，比较和的大小，即可得出不等式的解集.
【小问1详解】
因为关于一元二次不等式的解集为，
所以，化简可得：，解得：，
所以，
所以，
当且仅当即，的最小值为.
【小问2详解】
不等式，可化为，
因为，所以，
所以该不等式的解集为.
18、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据函数奇偶性的定义判断是奇函数，再由即可求解；
（2）讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得的值.
【小问1详解】
因为的定义域为关于原点对称，
，
所以为奇函数，故.
【小问2详解】
，
若，则单调递减，单调递增，
可得为减函数，
当时，，
解得：，符合题意；
若，则单调递增，单调递减，
可得为增函数，
当时，
解得：，符合题意，
综上所述：的值为或.
19、（1）；（2）3.
【解析】（1）根据指数的运算性质可得，再由与的关系求值即可.
（2）由对数的运算性质可得，再由正余弦的齐次计算求目标式的值.
【详解】（1）由，可得：，
∴，解得.
（2）由，可得：，即，
∴.
20、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件依次计算出，即可作答.
(2)由(1)求出函数的解析式，再探讨在上的性质，结合图象即可作答.
【小问1详解】
因图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则周期，解得，
又，即，而，即，则，即，
所以函数的解析式.
【小问2详解】
依题意，，
当时，，而函数在上递增，在上递减，
由得，由得，
因此，函数在上单调递增，函数值从增到2，在上单调递减，函数值从2减到1，
又是图象的一条对称轴，直线与函数在上的图象有两个公共点，当且仅当，如图，

于是得方程在上有两个不相等的实数解时，当且仅当，
所以实数m的取值范围.
21、1，.
【解析】由韦达定理结合两角和差的正切公式可得.结合所给的角的范围可知则.
试题解析：
为方程的两根，
，
.
.
点睛：三角函数式的化简、求值问题的常用技巧：
①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；
②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；
③一些常规技巧：“1”的代换、和积互化等
常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化