2026届福建省福州市第一中学高一上数学期末考试模拟试题含解析.doc

2026届福建省福州市第一中学高一上数学期末考试模拟试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
2．函数在上的图象为　　
A. B.
C. D.
3．函数的图像的一个对称中心是
A. B.
C. D.
4．已知集合，为自然数集，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
5．已知集合，，全集，则（）
A. B.
C. D.I
6．已知在正四面体ABCD中，E是AD的中点，P是棱AC上的一动点，BP＋PE的最小值为，则该四面体内切球的体积为（）
A.π B.π
C.4π D.π
7．化简的结果是（）
A. B.1
C. D.2
8．函数的图象的相邻两支截直线所得的线段长为，则的值是 （ ）
A. B.
C. D.
9．已知函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R，则k的取值范围是(　　)
A.0＜k＜1 B.0≤k＜1
C.k≤0或k≥1 D.k＝0或k≥1
10．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；③若，则与的终边相同；④若，是第二或第三象限的角.其中正确的命题个数是（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）.声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的______倍.
12．的值是__________
13．已知是偶函数，则实数a的值为___________.
14．写出一个周期为且值域为的函数解析式：_________
15．若，则____________.
16．已知球有个内接正方体，且球的表面积为，则正方体的边长为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，点，，在函数的图象上

（1）求函数的解析式；
（2）若函数图象上的两点，满足，，求四边形OMQN面积的最大值
18．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量的值
19．设平面向量，，函数
（Ⅰ）求时，函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值
20．某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量
（1）求平衡价格和平衡需求量；
（2）若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积
①当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值；
②当市场销售额取得最大值时，为了使得此时市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每件商品征税多少元？
21．已知函数.
（1）若函数在上至少有一个零点，求的取值范围；
（2）若函数在上的最大值为3，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】本道题目先理解的意义，实则为一个半圆，然后利用图像，绘制出该直线与该圆有交点的大致位置，计算出b的范围，即可.
【详解】
要使得这两条曲线有交点，则使得直线介于1与2之间，已知1与圆相切，2过点（1，0），则b分别为，故，故选A.
【点睛】本道题目考查了圆与直线的位置关系，做此类题可以结合图像，得出b的范围．
2、B
【解析】直接利用函数的性质奇偶性求出结果
【详解】函数的解析式满足，则函数为奇函数，排除CD选项，
由可知： ，排除A选项.
故选B.
【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用．属中档题.
3、C
【解析】令，得，
所以函数的图像的对称中心是，然后赋值即可
【详解】因为的图像的对称中心为.
由，得，
所以函数的图像的对称中心是.令，得.
【点睛】本题主要考查正切函数的对称性，属基础题
4、C
【解析】由题设可得，结合集合与集合、元素与集合的关系判断各选项的正误即可.
【详解】由题设，，而为自然数集，则，且，
所以，，故A、B、D错误，C正确.
故选：C
5、B
【解析】根据并集、补集的概念，计算即可得答案.
【详解】由题意得，所以
故选：B
6、D
【解析】首先设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，根据题意得到的最小值为，从而得到，根据等体积转化得到内切球半径，再计算其体积即可.
【详解】设正四面体的棱长为，将侧面和沿边展开成平面图形，如图所示：

则的最小值为，
解得.
如图所示：为正四面体的高，

，正四面体高.
所以正四面体的体积.
设正四面体内切球的球心为，半径为，如图所示：

则到正四面体四个面的距离相等，都等于，
所以正四面体的体积，解得.
所以内切球的体积.
故选：D
7、B
【解析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可.
【详解】原式

.
故选：B
8、D
【解析】由正切函数的性质，可以得到函数的周期，进而可以求出解析式，然后求出即可
【详解】由题意知函数的周期为，则，所以，则.
故选D.
【点睛】本题考查了正切函数的性质，属于基础题
9、C
【解析】根据对数函数值域为R的条件，可知真数可以取大于0的所有值，因而二次函数判别式大于0，即可求得k的取值范围
【详解】因为函数y＝log2(x2－2kx＋k)的值域为R
所以
解不等式得k≤0或k≥1
所以选C
【点睛】本题考查了对数函数的性质，注意定义域为R与值域为R是不同的解题方法，属于中档题
10、A
【解析】根据题意，对题目中的命题进行分析，判断正误即可.
【详解】对于①，根据任意角的概念知，第二象限角不一定大于第一象限角，①错误；
对于②，根据角的定义知，不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关，②正确；
对于③，若，则与的终边相同，或关于轴对称，③错误；
对于④，若，则是第二或第三象限的角，或终边在负半轴上，④错误；
综上，其中正确命题是②，只有个.
故选：
【点睛】本题考查真假命题的判断，考查三角函数概念，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1000
【解析】根据已知公式，应用指对数的关系及运算性质求60dB、30dB对应的声强，即可得结果.
【详解】由题设，，可得，
，可得，
∴声强级为60dB的声强是声强级为30dB的声强的倍.
故答案为：1000.
12、
【解析】分析：利用对数运算的性质和运算法则，即可求解结果.
详解：由
.
点睛：本题主要考查了对数的运算，其中熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
13、
【解析】根据偶函数定义求解
【详解】由题意恒成立，即，恒成立，
所以
故答案为：
14、
【解析】根据函数的周期性和值域，在三角函数中确定一个解析式即可
【详解】解：函数的周期为，值域为,，
则的值域为,，
故答案为：
15、##0.6
【解析】，根据三角函数诱导公式即可求解.
【详解】＝.
故答案为：.
16、
【解析】设正方体的棱长为x，则 =36π，
解得x=
故答案为

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）由图可求出，从而求得，由图可知函数处取得最小值，从而可求出的值，再将点的坐标代入函数中可求出，进而可求出函数的解析式，
（2）由题意求得所以，，而四边形OMQN的面积为S，则，代入化简利用三角函数的性质可求得结果
【小问1详解】
由图可知的周期T满足，得
又因为，所以，解得
又在处取得最小值，
即，得，
所以，，解得，
因为，所以．由，
得，所以
综上，
【小问2详解】
当时，，
所以．由知
此时
记四边形OMQN的面积为S，则
又

因为，所以，所以当，
即时，取得最大值
所以四边形OMQN面积的最大值是
18、（1）;（2）
【解析】【试题分析】
（1）先运用三角变换公式化简，再用周期公式求解；（2）借助所给定义域内的变量的取值范围结合三角函数的图象探求.
.
（1）.
（2）
.
点睛：本题旨在考查二倍角正弦、余弦公式、两角和差的正弦公式以及正弦函数的图象和性质等有关知识的综合运用．第一问时，先借助二倍角的正弦、余弦公式及两角和的正弦公式将其化简，再运用周期公式求解；解答第二问时，则借助题设中提供的定义域进行分析推证，最后借助正弦函数的图象求出其最大值和最小值.
19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，利用正弦函数的单调增区间，求得时函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若锐角α满足，可得cos的值，然后求的值
【详解】解：（Ⅰ）

由得，
其中单调递增区间为，
可得，
∴时f（x）的单调递增区间为
（Ⅱ），
∵α为锐角，∴

【点睛】本题考查向量的数量积以及三角函数的化简求值，考查了二倍角公式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题
20、（1）平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．（2）①市场价格是35元时，市场总销售额取得最大值．②政府应该对每件商品征7.5元
【解析】（1）令，得，可得，此时，从而可得结果；（2）①先求出，从而得，根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值再比较大小即可的结果；②政府应该对每件商品征税元，则供应商的实际价格是每件元，根据可得结果.
试题解析：（1）令，得，
故，此时
答：平衡价格是30元，平衡需求量是40万件
（2）①由，，得，
由题意可知：
故
当时，，即时，；
当时，，即时，，
综述：当时，时，
答：市场价格是35元时，市场总销售额取得最大值
②设政府应该对每件商品征税元，则供应商的实际价格是每件元，
故，
令，得，
由题意可知上述方程的解是，代入上述方程得
答：政府应该对每件商品征7.5元.
【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)
21、 (1) ；（2）或.
【解析】（1）由函数在至少有一个零点，方程至少有一个实数根，，解出即可；（2）通过对区间端点与对称轴顶点的横坐标的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出函数在上的最大值，令其等于可得结果.
试题解析：（1）由.
（2）化简得，当，即时，；当，即时，，
，（舍）；当，即时，，综上，或.