2026届黑龙江七台河市高二数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2026届黑龙江七台河市高二数学第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知两直线与，则与间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
2．若函数恰好有个不同的零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．已知定义在R上的函数满足，且当时，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4．①直线在轴上的截距为；②直线的倾斜角为；③直线必过定点；④两条平行直线与间的距离为.以上四个命题中正确的命题个数为（）
A. B.
C. D.
5．如图已知正方体，点是对角线上的一点且，，则（ ）

A.当时，平面 B.当时，平面
C.当为直角三角形时， D.当的面积最小时，
6．的展开式中，常数项为（）
A. B.
C. D.
7．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
8．已知椭圆的左焦点是，右焦点是，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么（ ）
A.3：5 B.3：4
C.5：3 D.4：3
9．两条平行直线与之间的距离为（ 　）
A. B.
C. D.
10． “ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
11．某地区高中分三类，A类学校共有学生2000人，B类学校共有学生3000人，C类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则A类学校中的学生甲被抽到的概率（ ）
A. B.
C. D.
12．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若直线与函数的图象有三个交点，则实数a的取值范围是_________
14．已知是椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为坐标原点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为__________
15．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________
16．直线的倾斜角为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足
（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由
19．（12分）圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，求：
（1）周长最小的圆的方程；
（2）圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程
20．（12分）设数列的前项和为，已知，且.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，是否存在正整数，使得对任意恒成立?若存在、求的值；若不存在，说明理由.
21．（12分）已知正三棱柱底面边长为，是上一点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，

（1）证明：是的中点；
（2）求二面角的大小
22．（10分）已知某中学高二物化生组合学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：

若抽取了名学生，成绩分为A（优秀），B（良好），C（及格）三个等级，设，分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A等级的共有（人），数学成绩为B等级且物理成绩为C等级的共有8人，已知与均为A等级的概率是0.07
（1）设在该样本中，数学成绩的优秀率是30％，求，的值；
（2）已知，，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.
【详解】直线的方程化为：，显然，，
所以与间的距离为.
故选：B
2、D
【解析】分析可知，直线与函数的图象有个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围.
【详解】令，可得，构造函数，其中，
由题意可知，直线与函数的图象有个交点，
，由，可得或，列表如下：

增
极大值
减
极小值
增
所以，，，
作出直线与函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，即当时，
直线与函数的图象有个交点，即函数有个零点.
故选：D.
3、B
【解析】由可得，利用导数判断函数在上的单调性，由此比较函数值的大小确定正确选项.
【详解】∵
∴ ，
当时，，
∴ ，故
∴ 在内单调递增，
又，
∴，
所以
故选：B
4、B
【解析】由直线方程的性质依次判断各命题即可得出结果.
【详解】对于①，直线，令，则，直线在轴上的截距为-，则①错误；
对于②，直线的斜率为，倾斜角为，则②正确；
对于③直线，由点斜式方程可知直线必过定点，则③正确；
对于④，两条平行直线与间的距离为，则④错误.
故选：B.
5、D
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得；
【详解】解：由题可知，如图令正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，所以，因为，所以，所以，，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以
对于A：若平面，则，则，解得，故A错误；
对于B：若平面，则，即，解得，故B错误；
当为直角三角形时，有，即，解得或（舍去），故C错误；
设到的距离为，则，
当的面积最小时，，故正确
故选：

6、A
【解析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项计算即可得解.
【详解】的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中常数项为.
故选：A.
7、B
【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出
【详解】如图所示：不妨设棱长为1，
，，
所以＝＝，
，，
即，故异面直线与所成角的余弦值为

故选：B
注意事项：1.将答案写在答题卡上 2.本卷共10小题，共80分.
8、A
【解析】求出椭圆的焦点坐标，再根据点在椭圆上，线段的中点在轴上,求得点坐标，进而计算，从而求解.
【详解】由椭圆方程可得：,
设点坐标为，线段的中点为，
因为线段中点在轴上，所以，即，代入椭圆方程得或，
不妨取,则，
所以 ，
故选：A.
9、D
【解析】由已知有，所以直线可化为，利用两平行直线距离公式有 ，选D.
点睛：本题主要考查两平行直线间的距离公式，属于易错题．在用两平行直线距离公式时，两直线中的系数要相同，不然不能用此公式计算
10、A
【解析】根据直线垂直求出的范围即可得出.
【详解】由直线垂直可得，解得或1，
所以“ ” 是 “直线 与直线 互相垂直” 的充分不必要条件.
故选：A.
11、D
【解析】利用抽样的性质求解
【详解】所有学生数为，
所以所求概率为.
故选：D
12、C
【解析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程
【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，
故选：C.
【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由此可求得答案.
【详解】解：因为函数，则，
所以当或时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
因为直线与函数的图象有三个交点，所以实数a的取值范围是，
故答案为：.
14、##
【解析】根据题中几何关系，求得点坐标，代入椭圆方程求得齐次式，整理化简即可求得离心率.
【详解】根据题意，取点为第一象限的点，过点作的垂线，垂足为，如下所示：

因为△为等边三角形，又，
故可得
则点的坐标为，代入椭圆方程可得：，
又，整理得：，
即，解得（舍）或.
故答案为：.
15、或.
【解析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.
【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，
是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；
（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.
故答案为：或.

【点睛】方法点睛：处理直线与圆位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限制，需要数形结合进行分析.
16、
【解析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出
【详解】设直线的倾斜角为
由直线化为，故，
又，故，故答案为
【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析，
（2）
【解析】（1）根据等比数列的定义证明数列是以为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；
（2）根据错位相减法求和即可.
【小问1详解】
解：数列满足
，
∴数列是以为首项，2为公比的等比数列，
，即；
∴
【小问2详解】
解：，
，
，
，

18、（1）
（2）存在，
【解析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点的横坐标，进而求得p,可得答案;
（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线与的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论.
【小问1详解】
（1）
则，
，，
，
故C的方程为：；
【小问2详解】
假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，
，，
，，所以，
即 或 ，

，
，
则，，
使得直线与的斜率互为倒数.
19、（1）x2＋(y－1)2＝10；（2）(x－3)2＋(y－2)2＝20.
【解析】（1）根据当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小进行求解即可；
（2）根据垂径定理，通过解方程组求出圆心坐标，进而可以求出圆的方程.
【详解】解：（1）当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即AB中点(0，1)为圆心，半径r＝|AB|＝.故圆的方程为x2＋(y－1)2＝10；
（2）由于AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的斜率为，
AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心坐标是C(3，2)
又r＝|AC|＝＝2.
所以圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）由已知条件有，根据等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出及，进而可得，利用二次函数的性质即可求解的最小值，从而可得答案.
【小问1详解】
证明：因为，所以，又因为，所以，
所以数列是首项为2公比为2的等比数列；
【小问2详解】
解：由（1）知，，所以，所以，检验时也满足上式，所以,
所以，令，所以，
故当即时，取得最小值， 所以.
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、直角三角形的性质、正三角形的性质进行证明即可；
（2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义进行求解即可.
【小问1详解】
证明：在正三棱柱中，平面，平面，则,
又是以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，且，平面，
故平面，而平面，所以，
又为正三角形，所以为的中点；
【小问2详解】
在正中，取的中点为，则，
又平面，则，且，平面，
故平面，
取的中点为，且的中点为，则，
故平面，而平面，所以，
在等腰直角中，取的中点为，则，，
平面，
所以平面，而平面，所以，
故为二面角平面角，
又，
则，，
所以在中，，即：，
故二面角的大小为.

：
22、（1），
（2）
【解析】（1）根据与均为A等级的概率是0.07，求得值，再根据数学成绩的优秀率是30％求得值，最后利用抽取的总人数求出值即可；
（2）根据，，，写出满足条件得基本事件，找出其中的基本事件，利用古典概型的公式求出概率即可.
【小问1详解】
由题意知，解得，
，解得，
由已知得，解得.
【小问2详解】
由，，，可知，
则试验的样本空间，共9个样本点
其中包含的样本点有共4个，
故所求概率