云南省腾冲市第一中学2025年高一上数学期末学业水平测试试题含解析.doc

云南省腾冲市第一中学2025年高一上数学期末学业水平测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．袋中装有5个小球，颜色分别是红色、黄色、白色、黑色和紫色．现从袋中随机抽取3个小球，设每个小球被抽到的机会均相等，则抽到白球或黑球的概率为
A. B.
C. D.
2．将函数的图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标保持不变，得到函数的图象，若，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
3．已知α是第三象限的角，且，则（ ）
A. B.
C. D.
4．已知两条绳子提起一个物体处于平衡状态.若这两条绳子互相垂直，其中一条绳子的拉力为50，且与两绳拉力的合力的夹角为30°，则另一条绳子的拉力为（）
A.100 B.
C.50 D.
5．已知，若，则
A.1 B.2
C.3 D.4
6．设则的大小关系是
A. B.
C. D.
7．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度是，则扇形的周长为（）
A. B.
C. D.
8．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（）

A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积超过
D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
9．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（）
A. B.
C. D.
10． “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线与圆C：相交于A，B两点，则|AB|＝____________
12．已知函数，若，则实数的取值范围为______.
13．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若使得，且的最小值为，则_________.
14．在平面直角坐标系中，动点P到两条直线与的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为_________.
15．已知，，则______.
16．袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．函数的定义域且，对定义域D内任意两个实数，，都有成立
（1）求的值并证明为偶函数；
18．已知集合，
（1），求实数的取值范围；
（2）设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围
19．已知函数是偶函数（其中a，b是常数），且它的值域为
（1）求的解析式；
（2）若函数是定义在R上的奇函数，且时，，而函数满足对任意的，有恒成立，求m的取值范围
20．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
21．已知函数.
（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】分析：先求对立事件的概率：黑白都没有的概率，再用1减得结果.
详解：从袋中球随机摸个，
有，黑白都没有只有种，
则抽到白或黑概率为
选
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
2、D
【解析】求出g(x)解析式，作出g(x)图像，根据图像即可求解﹒
【详解】由题得，，，
∵，∴＝1且＝－1或且＝1，
作的图象，

∴的最小值为＝，
故选：D
3、B
【解析】由已知求得，则由诱导公式可求.
【详解】α是第三象限的角，且，
，.
故选：B.
4、D
【解析】利用向量的平行四边形法则求解即可
【详解】
如图，两条绳子提起一个物体处于平衡状态，不妨设，
根据向量的平行四边形法则，

故选：D
5、A
【解析】构造函数，则为奇函数，根据可求得，进而可得到
【详解】令，则为奇函数，且，
由题意得，
∴，
∴，
∴.
故选A
【点睛】本题考查运用奇函数的性质求函数值，解题的关键是根据题意构造函数，体现了转化思想在解题中的应用，同时也考查观察、构造的能力，属于基础题
6、C
【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.
考点：1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.
7、A
【解析】根据扇形的面积公式和弧长的计算公式，求得弧长和半径，即可求得结果.
【详解】设扇形的半径为，弧长为.
由题意：，解得，
所以扇形的周长为，
故选：A.
【点睛】本题考查扇形的弧长和面积公式，属基础题.
8、B
【解析】先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出正误
【详解】解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，故选项A正确，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当时，，故选项C正确，
对于D选项，，，，，
又，，故选项D正确，
故选：B
9、D
【解析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.
【详解】对于A，的定义域为，
而，但，
故在定义域上不是增函数，故A错误.
对于B，的定义域为，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数，
故B错误.
对于C，因为时，，故在定义域上不是增函数，故C错误.
对于D，因为为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R，且为增函数，
而，故为奇函数，符合.
故选：D.
10、A
【解析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；
【详解】，
当，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、6
【解析】先求圆心到直线的距离，再根据弦心距、半径、弦长的几何关系求|AB|.
【详解】因为圆心C(3,1)到直线的距离，
所以
故答案为：6
12、或
【解析】令，分析出函数为上的减函数且为奇函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】令，对任意的，，
故函数的定义域为，
因为，
则，所以，函数为奇函数，
当时，令，由于函数和在上均为减函数，
故函数在上也为减函数，
因为函数在上为增函数，故函数在上为减函数，
所以，函数在上也为减函数，
因为函数在上连续，则在上为减函数，
由可得，即，
所以，，即，解得或.
故答案为：或.
13、
【解析】根据三角函数的图形变换，求得，根据，不妨设，求得，，得到
则，根据题意得到，即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，
可得，
又由，不妨设，
由，解得，即，
又由，解得，
即
则，
因为的最小值为，可得，解得或，
因为，所以.
故答案为：
14、
【解析】∵3x﹣y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，
∴设点P到两条直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，

则a+b=2，即b=2﹣a≥0，
得0≤a≤2，
由勾股定理可知===，
∵0≤a≤2，
∴当a=1时，的距离，
故答案为
15、
【解析】把已知的两个等式两边平方作和即可求得cos（α﹣β）的值
【详解】解：由已知sinα+sinβ＝1①，
cosα+cosβ＝0②，
①2+②2得：2+2cos（α﹣β）＝1，
∴cos（α﹣β），
故答案为
点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的余弦，是基础题
16、
【解析】把4个球编号，用列举法写出所有基本事件，并得出2球颜色相同的事件，计数后可计算概率
【详解】2个红球编号为，2个白球编号为，则依次取2球的基本事件有：共6个，其中2球颜色相同的事件有共2个，　
所求概率为
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）取得到，取得到，取得到，得到答案.
（2）证明函数在上单调递增，在上单调递减，得到，结合定义域得到答案.
（3）根据函数单调性和奇偶性得到，考虑，，三种情况，得到函数的最值，解不等式得到答案.
【小问1详解】
取得到，得到，
取得到，得到，
取得到，即，故函数为偶函数.
【小问2详解】
设，
则，
，故，即，函数单调递减.
函数为偶函数，故函数在上单调递增.
，故，且，解得.
【小问3详解】
，
根据（2）知：，，恒成立，
故，，
当时，，当时，，
当时，，
当，即时等号成立，，故.
综上所述：，解得，，故.
18、（1）
（2）
【解析】（1）化简集合，，由，利用两个集合左右端点的大小分类得出实数的取值范围
（2）根据题意可得，推不出，即是的真子集，进而得出实数的取值范围
【小问1详解】
由题意，

，
且，或，或，

实数的取值范围是
【小问2详解】
命题，命题，是的必要不充分条件，
，推不出，即是的真子集，
，解得：
实数的取值范围为
19、（1）
（2）
【解析】（1）由偶函数的定义结合题意可求出，再由函数的值域为可求出，从而可求出函数解析式，
（2）由题意求出的解析式，判断出当时，，从而将问题转化为满足对任意的恒成立，设，则对恒成立，然后利用二次函数的性质求解
【小问1详解】
由题
∵是偶函数，∴，∴
∴或，
又∵的值域为，∴，
∴，∴或，
∴；
【小问2详解】
若函数是定义在R上的奇函数，且时，，
由（1）知，∴时，；
时，；当时，，
显然时，，若，则
又满足对任意的，有恒成立，
∴对任意的恒成立，
即满足对任意的恒成立，
即，设，
则对恒成立，
设，
∵函数的图像开口向上，
∴只需，
∴，
∴所求m的取值范围是.
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据指数运算法则化简求值；
（2）根据指数、对数的运算法则化简求值.
【小问1详解】

【小问2详解】

21、（1）；（2）存在，当时，；当时，.
【解析】（1）利用三角恒等变换思想得出，令，，由题意可知对任意的，可得出，进而可解得实数的取值范围；
（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.
【详解】（1），
当时，，，则，
要使对任意恒成立，
令，则，对任意恒成立，
只需，解得，
实数的取值范围为；
（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，
函数在上恰有个零点，
即函数与直线在上恰有个交点.
当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：

①当或时，函数与直线在上无交点；
②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，
此时要使函数与直线在上有个交点，则；
③当或时，函数直线在上有两个交点，
此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；
④当时，函数与直线在上有个交点，
此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.
综上所述，存在实数和正整数满足条件：
当时，；当时，.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解.