甘肃省甘谷第一中学2026届高一数学第一学期期末预测试题含解析.doc

甘肃省甘谷第一中学2026届高一数学第一学期期末预测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线在轴上的截距是
A. B.
C. D.
2．若sinα=，α是第二象限角，则sin（2α+）=（　　）
A. B.
C. D.
3．函数的单调递增区间是（　　）
A. B.
C. D.
4．已知的三个顶点、、及平面内一点满足，则点与的关系是（）
A.在的内部 B.在的外部
C.是边上的一个三等分点 D.是边上的一个三等分点
5．已知幂函数的图象过点(4，2)，则（ ）
A.2 B.4
C.2或-2 D.4或-4
6．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
7．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A.或 B.
C. D.或3
8．已知集合，，则（）
A B.
C. D.{1，2，3}
9．设为上的奇函数，且在上单调递增，，则不等式的解集是（）
A B.
C. D.
10．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数经过点，则______
12．已知，，则的值为
13．函数（其中，，）的图象如图所示，则函数的解析式为__________

14．已知角α∈(－，0)，cosα＝，则tanα＝________.
15．在平面四边形中，，若，则__________.
16．如图，扇形的面积是，它的周长是，则弦的长为___________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（，），若函数在区间上的最大值为3，最小值为2.
（1）求函数的解析式；
（2）求在上的单调递增区间；
（3）是否存在正整数，满足不等式，若存在，找出所有这样的，的值，若不存在，说明理由.
18．已知，是夹角为的两个单位向量，且向量，求：
，，；
向量与夹角的余弦值
19．已知函数（其中），函数（其中）.
（1）若且函数存在零点，求的取值范围；
（2）若是偶函数且函数的图象与函数的图象只有一个公共点，求实数的取值范围.
20．已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值范围.
21．已知是定义在上的奇函数，且，若，时，有成立.
（1）判断在上的单调性，并证明；
（2）解不等式；
（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由题意，令，则，即，所以直线在轴上的截距为，故选B.
2、D
【解析】根据，求出的值，再将所求式子展开，转化成关于和的式子，然后代值得出结果
【详解】因为且为第二象限角，
根据得，
，
再根据二倍角公式得原式=，
将，代入上式得，
原式=
故选D
【点睛】本题考查三角函数给值求值，在已知角的取值范围时可直接用同角公式求出正余弦值，再利用和差公式以及倍角公式将目标式转化成关于和的式子，然后代值求解就能得出结果
3、B
【解析】先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log3（x2-2x）的单调递增区间
【详解】函数y=log5（x2-2x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞），
令t=x2-2x，则y=log5t，
∵y=log5t为增函数，
t=x2-2x在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数，
∴函数y=log5（x2-2x）的单调递增区间为（2，+∞），
故选B
【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键
4、D
【解析】利用向量的运算法则将等式变形，得到，据三点共线的充要条件得出结论
【详解】解：，
，
∴是边上的一个三等分点
故选：D
【点睛】本题考查向量的运算法则及三点共线的充要条件，属于基础题
5、B
【解析】设幂函数代入已知点可得选项.
【详解】设幂函数又函数过点(4，2)，，
故选：B.
6、A
【解析】由得
画出函数的图象如图所示，且当时，函数的图象以为渐近线

结合图象可得当的图象与直线有三个不同的交点，故若方程有三个不同的实数根，实数的取值范围是．选A
点睛：
已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决，如在本题中，方程根的个数，即为直线与图象的公共点的个数；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解.
7、A
【解析】先求的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.
【详解】由向量，，知.
若，则，解得或-3.
故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.
8、A
【解析】利用并集概念进行计算.
【详解】.
故选：A
9、D
【解析】根据函数单调性结合零点即可得解.
【详解】为上的奇函数，
且在上单调递增，，
得：或
解得.
故选：D
10、D
【解析】取，利用不等式性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项.
【详解】若，则，所以，，，ABC均错；
因为，则，因为，则，即.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、##0.5
【解析】将点代入函数解得，再计算得到答案.
【详解】，故，.
故答案为：
12、3
【解析】，故答案为3.
13、
【解析】如图可知函数的最大值
，
当时，代入，，

当时，代入，，
解得
则函数的解析式为
14、
【解析】利用同角三角函数的平方关系和商数关系，即得解
【详解】∵α∈(－，0)，cosα＝，
∴sinα＝－＝－，
∴tanα＝＝－.
故答案为：
15、##1.5
【解析】设，在中，可知，在中，可得，由正弦定理，可得答案.
【详解】
设，在中，，，
，
在中，，，，
，
由正弦定理得：，
得，
.
故答案为：.
16、
【解析】由扇形弧长、面积公式列方程可得，再由平面几何的知识即可得解.
【详解】设扇形的圆心角为，半径为，
则由题意，解得，
则由垂径定理可得.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
（3）存在，，或，或，
【解析】（1）根据函数在区间上的最大值为3，最小值为2，利用正弦函数的最值求解；
（2）利用正弦函数的单调性求解；
（3）先化简不等式，再根据，为正整数求解.
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
又∵m>0，最大值为3，最小值为2，
∴，解得m=2，n=1.
∴.
【小问2详解】
令，k∈Z，
得到，k∈Z，
当k=0时，，
∴在[0，2]上的单调递增区间是.
【小问3详解】
由，得，
∵a∈N*，b∈N*，
∴a=1时，b=1或2；a=2时，b=1；a>2时，b不存在，
∴所有满足题意a，b的值为：a=1，b=1或a=1，b=2或a=2，b=1.
18、（1）；（2）
【解析】根据，是夹角为的两个单位向量即可求出，然后利用向量的模的公式和数量积公式即可求得结果;根据即可求出向量夹角的余弦值
【详解】是夹角为的两个单位向量；
；
，，；
；

【点睛】本题考查向量模的公式，考查向量数量积计算公式以及向量夹角的余弦公式，属于基础题
19、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据题意，分离参数且利用对数型复合函数的单调性求得的值域，即可求得参数的取值范围；
（2）根据是偶函数求得参数，再根据题意，求解指数方程即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由题意知函数存零点，即有解.
又，
易知在上是减函数，又，，即，
所以，所以的取值范围是.
【小问2详解】
的定义域为，若是偶函数，则，
即解得.
此时，，
所以即为偶函数.
又因为函数与的图象有且只有一个公共点，故方程只有一解，
即方程有且只有一个实根
令，则方程有且只有一个正根
①当时，，不合题意，
②当时，方程有两相等正根，则，
且，解得，满足题意；
③若一个正根和一个负根，则，即时，满足题意，
综上所述：实数的取值范围为或.
【点睛】本题考察利用函数奇偶性求参数值，以及对数方程的求解，对数型复合函数值域的求解，解决问题的关键是熟练的掌握对数函数的性质，属综合困难题.
20、（1）
（2）
【解析】（1）求出集合A，进而求出A的补集，根据集合的交集运算求得答案；
（2）根据，可得，由此列出相应的不等式组，解得答案.
【小问1详解】
，则或 ，
当时，，
；
【小问2详解】
若，则，
，
实数a的取值范围为，即 .
21、（1）见解析（2）（3）或或
【解析】（1）根据条件赋值得，根据奇函数性质得，再根据单调性定义得减函数，（2）利用单调性化简得，结合定义区间得，解方程组得结果，（3）即,再根据单调性得，化简得关于a恒成立的不等式，根据一次函数图像得，解得实数的取值范围.
试题解析：证明：（1）在上是减函数
任取且，则，
为奇函数

由题知，
，即
在上单调递减
在上单调递减

解得不等式的解集为
（3），在上单调递减
在上，
问题转化为，即，对任意的恒成立
令，即，对任意恒成立
则由题知，解得或或
点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.