2026届天津部分区高一数学第一学期期末检测试题含解析.doc

2026届天津部分区高一数学第一学期期末检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．下列函数中与函数相等的是
A. B.
C. D.
3．函数的部分图像是
A. B.
C. D.
4．直线和直线的距离是
A. B.
C. D.
5．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6．集合中所含元素为
A.0，1 B.，1
C.，0 D.1
7．下列指数式与对数式的互化不正确的一组是（）
A.100=1与lg1=0 B.与
C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5
8．已知向量，其中，则的最小值为（）
A.1 B.2
C. D.3
9．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A.或 B.
C. D.或3
10．函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知单位向量与的夹角为,向量的夹角为 ,则cos=_______
12．A是锐二面角α-l-β的α内一点，AB⊥β于点B，AB=，A到l的距离为2，则二面角α-l-β的平面角大小为________.
13．已知函数，则的值是________
14．定义为中的最大值，函数的最小值为，如果函数在上单调递减，则实数的范围为__________
15．若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝______.
16．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．在平面直角坐标系中，已知圆心在直线上的圆经过点，但不经过坐标原点，并且直线与圆相交所得的弦长为4.
（1）求圆的一般方程；
（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好通过圆的圆心，求反射光线所在的直线方程（用一般式表达）.
18．已知函数.
（1）证明为奇函数；
（2）若在上为单调函数，当时，关于的方程：在区间上有唯一实数解，求的取值范围.
19．设全集，集合
（1）求；
（2）若集合满足，求实数的取值范围.
20．如图，在三棱锥中，.

（1）画出二面角的平面角，并求它的度数；
（2）求三棱锥的体积.
21．已知
（1）求；
（2）若，求.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据扇形的弧长公式和扇形的面积公式，列出方程组，即可求解，得到答案.
【详解】设扇形所在圆的半径为，由扇形的弧长为6，面积为6，
可得，解得，即扇形的圆心角为.
故选C.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式，以及扇形的面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和扇形的面积公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2、C
【解析】对于选项A,D对应的函数与函数的对应法则不同，
对于选项B对应的函数与函数的定义域不同，
对于选项C对应的函数与函数的定义域、对应法则相同，得解.
【详解】解：对于选项A，等价于，即A不符合题意，
对于选项B，等价于，即B不符合题意，
对于选项C，等价于，即C符合题意，
对于选项D，，显然不符合题意，即D不符合题意，
故选C.
【点睛】本题考查了同一函数的判断、函数的对应法则及定义域，属基础题.
3、D
【解析】根据函数的奇偶性和函数值在某个区间上的符号，对选项进行排除，由此得出正确选项.
【详解】∵是奇函数，其图像关于原点对称，∴排除A,C项；当时，，∴排除B项.
故选D.
【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查函数的单调性，属于基础题.
4、A
【解析】因为直线即 ，故两条平行直线和的距离
故选A
5、D
【解析】本题首先可以求出函数关于轴对称的函数的解析式，然后根据题意得出函数与函数的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果
【详解】若，则，
因为时，，
所以，
所以若关于轴对称，
则有，即，
设，画出函数的图像，

结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点处相交为临界情况，
即要使与的图像至少有3个交点，
需要且满足，即，解得，故选D
【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题
6、A
【解析】，解，得，

故选
7、B
【解析】根据指数式与对数式的互化逐一判断即可.
【详解】A.1对数等于0，即，可得到：100=1与lg1=0；故正确;
B.对应的对数式应为,故不正确；
C.；故正确，
D.很明显log55=1与51=5是正确的；
故选:B.
【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查基本分析判断能力，属基础题.
8、A
【解析】利用向量坐标求模得方法，用表示，然后利用三角函数分析最小值
【详解】因为，
所以，
因为，所以，故的最小值为.
故选A
【点睛】本题将三角函数与向量综合考察，利用三角函数得有界性，求模长得最值
9、A
【解析】先求的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.
【详解】由向量，，知.
若，则，解得或-3.
故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.
10、C
【解析】由已知可得，从而可得函数图象
【详解】对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.
即，故其图象应为C.
故选：C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据题意，由向量的数量积计算公式可得•、||、||的值，结合向量夹角计算公式计算可
得答案
【详解】根据题意，单位向量，的夹角为，则•1×1×cos，
32，3，
则•（32）•（3）＝92+22﹣9•，
||2＝（32）2＝92+42﹣12•7，则||，
||2＝（3）2＝922﹣6•7，则||，
故cosβ.
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
12、
【解析】如图，过点B作与，连，则有平面，从而得，所以即为二面角的平面角

在中，，
所以,
所以锐角
即二面角的平面角的大小为
答案：
点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角，然后通过解三角形的方法求得角，解题时要注意所求角的范围
13、-1
【解析】利用分段函数的解析式，代入即可求解.
【详解】解：因为，
则.
故答案为：-1
14、
【解析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，分析可得其最小值，即可得的值，进而可得，由减函数的定义可得，解得的范围，即可得答案
【详解】根据题意，，
则，
根据单调性可得先减后增，所以当时，取得最小值2，则有 ，
则，因为为减函数，
必有，
解可得：，即m的取值范围为；
故答案为．
【点睛】本题考查函数单调性、函数最值的计算，关键是求出c的值．
15、
【解析】　当时，有，此时，此时为减函数，
不合题意.若，则，故，检验知符合题意
16、
【解析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.
【详解】设扇形的半径为r，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）反射光线所在的直线方程的一般式为：.
【解析】（1）设圆，根据圆心在直线上，圆经过点，并且直线与圆相交所得的弦长为，列出关于的方程组，解出的值，可得圆的标准方程，再化为一般方程即可；（2）点关于轴的对称点，反射光线所在的直线即为，又因为，
利用两点式可得反射光线所在的直线方程，再化为一般式即可.
试题解析：（1）设圆，
因为圆心在直线上，所以有： ，
又因为圆经过点，所以有： ，
而圆心到直线的距离为 ，
由弦长为4，我们有弦心距.
所以有
联立成方程组解得：或 ，
又因为通过了坐标原点，所以舍去.
所以所求圆的方程为： ，
化为一般方程为： .
（2）点关于轴的对称点，
反射光线所在的直线即为，又因为，
所以反射光线所在的直线方程为： ，
所以反射光线所在的直线方程的一般式为： .
18、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先求函数的定义域，再根据的关系可证明奇偶性；
（2）根据单调性及奇函数性质，有，再通过换元，转化为二次函数，通过区间分类讨论可求解.
【小问1详解】
对任意的，，则对任意的恒成立，所以，函数的定义域为，
∴，
∴，故函数为奇函数；
【小问2详解】
∵函数为奇函数且在上的单调函数，
∴
由
可得，其中，
设，则，
则.∵则，
若关于的方程在上只有一个实根，
则或.
所以，
令，其中.
所以，函数在时单调递增.
①若函数在内有且只有一个零点，在内无零点.
则，解得；
②若为函数的唯一零点，则，解得，
∵，则.
且当时，设函数的另一个零点为，则，
可得，符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
19、（1）或
（2）
【解析】（1）化简集合，利用交集的定义求解，再利用补集的定义求解；（2）化简集合，由，得，列不等式求解.
【小问1详解】
化简，
，所以或.
【小问2详解】
，因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为
20、⑴⑵.
【解析】(1) 取中点，连接、,是二面角的平面角,进而求出此角度数即可；(2)利用等积法或割补法求体积.
试题解析：
⑴取中点，连接、，
，， ，
且平面，平面，
是二面角平面角.
在直角三角形中，

在直角三角形中，

是等边三角形，

⑵解法1：
，
又平面，
平面平面，且平面平面
在平面内作于，则平面，
即是三棱锥的高.
在等边中，， 三棱锥的体积
.
解法2： 平面
在等边中，的面积，
三棱锥的体积
.
21、（1）
（2）
【解析】（1） 利用诱导公式可得答案；
（2）利用诱导公式得到，再根据的范围和平方关系可得答案.
小问1详解】
.
【小问2详解】
，
若，则，
所以.