陕西省旬阳中学2025-2026学年高一上数学期末调研模拟试题含解析.doc

陕西省旬阳中学2025-2026学年高一上数学期末调研模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互变化、对称统一的形式美、和谐美．给出定义：能够将圆(为坐标原点)的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”．给出下列命题：
①对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个；
②函数可以是某个圆的“优美函数”；
③正弦函数可以同时是无数个圆的“优美函数”；
④函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形

A.①④ B.①③④
C.②③ D.①③
2．定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．下列关于集合的关系式正确的是
A. B.
C. D.
4．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
A. B.
C. D.
5．如果关于x的不等式x2＜ax＋b的解集是{x|-1＜x＜3}，那么ba等于（ ）
A.－9 B.9
C.－ D.－8
6．古希腊数学家阿基米德最为满意的一个数学发现是“圆柱容球”，即在球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的.已知体积为的圆柱的轴截面为正方形.则该圆柱内切球的表面积为（）
A B.
C. D.
7．命题：，命题：（其中），那么是的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8．已知函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，当时，，则
A. B.
C.1 D.
9．已知函数是定义在在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数为（ ）个
A.2 B.3
C.6 D.7
10．已知函数部分图象如图所示，则

A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数的定义域是______________
12．已知，且，写出一个满足条件的的值___________
13．某时钟的秒针端点到中心点的距离为6cm，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，将，两点的距离表示成的函数，则_______，其中
14．已知函数，其所有的零点依次记为，则_________.
15．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t(单位：h)间的关系为，其中，是正的常数.如果在前5h消除了10%的污染物，那么10h后还剩百分之几的污染物________.
16．由直线上的任意一个点向圆引切线，则切线长的最小值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．—条光线从点发出，经轴反射后，经过点，求入射光线和反射光线所在的直线方程.
18．已知函数（且）的图象过点
（1）求的值.
（2）若.
（i）求的定义域并判断其奇偶性；
（ii）求的单调递增区间.
19．人口问题是世界普遍关注的问题，通过对若干个大城市的统计分析，针对人口密度分布进行模拟研究，发现人口密度与到城市中心的距离之间呈现负指数关系．指数模型是经典的城市人口密度空间分布的模型之一，该模型的计算是基于圈层距离法获取距城市中心距离和人口密度数据的，具体而言就是以某市中心位置为圆心，以不同的距离为半径划分圈层，测量和分析不同圈层中的人口状况．其中x是圈层序号，将圈层序号是x的区域称为“x环”（时，1环表示距离城市中心0～3公里的圈层；时，2环表示距离城市中心3～6公里的圈层；以此类推）；是城市中心的人口密度（单位：万人/平方公里），为x环的人口密度（单位：万人/平方公里）；b为常数；．下表为某市2006年和2016年人口分布的相关数据：
年份

b
2006
2.2
0.13
2016
2.3
0.10
（1）求该市2006年2环处的人口密度（参考数据：，结果保留一位小数）；
（2）2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，求该环是这个城市的多少环．（参考数据：）
20．已知函数（，为常数，且）的图象经过点，
（1）求函数的解析式；
（2）若关于不等式对都成立，求实数的取值范围
21．已知集合，
（1）当时，求集合；
（2）若，“”是“”的充分条件，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据定义分析，优美函数具备的特征是，函数关于圆心（即坐标原点）呈中心对称.
【详解】对①，中心对称图形有无数个，①正确
对②，函数是偶函数，不关于原点成中心对称.②错误
对③，正弦函数关于原点成中心对称图形，③正确.
对④，充要条件应该是关于原点成中心对称图形，④错误
故选D
【点睛】仔细阅读新定义问题，理解定义中优美函数的含义，找到中心对称图形，即可判断各项正误.
2、B
【解析】由题意可得，，在递增，分别讨论，，，，，结合的单调性，可得的范围
【详解】函数是定义在上的奇函数，在区间上单调递增，且（1），
可得，，在递增，
若时，成立；若，则成立；
若，即，可得（1），即有，可得；
若，则，，可得，解得；
若，则，，可得，解得
综上可得，的取值范围是，，
故选：B
3、A
【解析】因为{0}是含有一个元素的集合，所以{0}≠，故B不正确；
元素与集合间不能划等号，故C不正确；
显然相等，故D不正确.
故选：A
4、C
【解析】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选C
5、B
【解析】根据一元二次不等式的解集，利用根与系致的关系求出的值 ,再计的值.
【详解】由不等式的解集是，
所以是方程的两个实数根.
则，所以
所以
故选：B
6、A
【解析】由题目给出的条件可知，圆柱内切球的表面积圆柱表面积的，通过圆柱的体积求出圆柱底面圆半径和高，进而得出表面积，再计算内切球的表面积.
【详解】设圆柱底面圆半径为，则圆柱高为，圆柱体积，解得，又圆柱内切球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高相等，
所以内切球的表面积是圆柱表面积的，圆柱表面积为，所以内切球的表面积为.
故选：A.
7、A
【解析】根据充分性、必要性的定义，结合特例法进行判断即可.
【详解】当时，，所以由能推出，
当时，显然当时，满足，但是不成立，
因此是的充分不必要条件，
故选：A
8、C
【解析】由题意，故选C
9、D
【解析】作出函数，和图象，可知当时，的零点个数为3个；再根据奇函数的对称性，可知当时，也有3个零点，再根据，由此可计算出函数的零点个数.
【详解】在同一坐标系中作出函数，和图象，如下图所示：

由图象可知，当时，的零点个数为3个；
又因为函数和均是定义在在上的奇函数，
所以是定义在在上的奇函数，
根据奇函数的对称性，可知当时，的零点个数也为3个，
又，所以也是零点；
综上，函数的零点个数一共有7个.
故选:D.
10、C
【解析】由图可以得到周期，然后利用周期公式求，再将特殊点代入即可求得的表达式，结合的范围即可确定的值.
【详解】由图可知，，则，所以，
则.将点代入得，
即 ，解得，
因为，所以.答案为C.
【点睛】已知图像求函数解析式的问题：
（1）：一般由图像求出周期，然后利用公式求解.
（2）：一般根据图像的最大值或者最小值即可求得.
（3）：一般将已知点代入即可求得.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意可得，从而可得答案.
【详解】函数的定义域满足
即，所以函数的定义域为
故答案为：
12、π（答案不唯一）
【解析】利用，可得，又，确定可得结果.
【详解】因为，所以，，则，或，，又 ，故满足要求
故答案为：π（答案不唯一）
13、
【解析】设函数解析式为，由题意将、代入求出参数值，即可得解析式.
【详解】设，由题意知：，
当时，，则，，令得；
当时，，则，，令得，
所以.
故答案为：.
14、16
【解析】由零点定义,可得关于的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积.
【详解】函数的零点
即
所以
去绝对值可得或
即或
去绝对值可得或,或
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
综上可得所有零点的乘积为
故答案为:
【点睛】本题考查了函数零点定义,含绝对值方程的解法,分类讨论思想的应用,由韦达定理研究方程根的关系,属于难题.
15、81%
【解析】根据题意，利用函数解析式，直接求解.
【详解】由题意可知,，所以.
所以10小时后污染物含量，
即10小时后还剩81%的污染物.
故答案为:81%
16、
【解析】利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.
【详解】圆心坐标，半径

要使切线长最小，则只需要点到圆心的距离最小，
此时最小值为圆心到直线的距离，
此时，
故答案为：
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，同时考查了点到直线的距离公式，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，
反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0
【解析】如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，显然，A′坐标为(3，－2)，连接A′B，则A′B所在直线即为反射光线

由两点式可得直线A′B的方程为，即2x＋y－4＝0.
同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，
由两点式可得直线AB′的方程为，即2x－y－4＝0，
∴入射光线所在直线方程为2x－y－4＝0，
反射光线所在直线方程为2x＋y－4＝0.
考点：两点式直线方程，对称问题.
18、（1）；（2）（i）定义域为，是偶函数；（ii）.
【解析】（1）由可求得实数的值；
（2）（i）根据对数的真数大于零可得出关于实数的不等式，由此可解得函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义可证明函数为偶函数；
（ii）利用复合函数法可求得函数的增区间.
【详解】（1）由条件知，即，又且，所以；
（2）.
（i）由得，故的定义域为.
因为，故是偶函数；
（ii），
因为函数单调递增，函数在上单调递增，
故的单调递增区间为.
19、（1）1.7（2）4
【解析】（2）根据表中数据，由求解；
（2）根据2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，由求解.
【小问1详解】
解：由表中数据得：；
【小问2详解】
因为2016年该市某环处的人口密度为市中心人口密度的，
所以，即，
所以，解得，
所以该环是这个城市的4环.
20、（1）
（2）
【解析】（1）将，，代入函数，利用待定系数法即可得出答案；
（2）对都成立，即，，令，，令，求出函数的最小值即可得解.
【小问1详解】
解：∵函数的图象经过点，，
∴，即，
又∵，∴，，
∴，即；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∴对都成立，即对都成立，
∴，，
令，，则，
令，即，，
∴的图象是开口向下且关于直线对称的抛物线，
∴，
∴，
∴的取值区间为
21、（1）
（2）
【解析】（1）先化简集合A，由解得集合，然后利用并集运算求解.
（2）根据“”是“”的充分条件，转化为求解.
【小问1详解】
由得：，即，
当时，，
所以.
【小问2详解】
因为，所以，
由“”是“”的充分条件，则，
则，
实数的取值范围是.