2025年山东省济南三中高一上数学期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年山东省济南三中高一上数学期末学业质量监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某校高一年级有180名男生，150名女生，学校想了解高一学生对文史类课程的看法，用分层抽样的方式，从高一年级学生中抽取若干人进行访谈.已知在女生中抽取了30人，则在男生中抽取了（ ）
A.18人 B.36人
C.45人 D.60人
2．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）

A. B.
C. D.
3．已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数m的值是（）
A或2 B.2
C. D.1
4．已知实数，满足，，则的最大值为（）
A. B.1
C. D.2
5．若，则下列不等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6．设集合，，，则（）
A. B.
C. D.
7．直线和直线的距离是
A. B.
C. D.
8．下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9．设，，那么等于
A. B.
C. D.
10．下列说法不正确的是（）
A.奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点 B.偶函数的图象关于y轴对称，但不一定和y轴相交
C.若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则 D.若奇函数的图象与y轴相交，交点不一定是原点
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用 表示)
12．已知是定义在正整数集上的严格减函数，它的值域是整数集的一个子集，并且，，则的值为___________.
13．函数是奇函数，则实数__________.
14．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.
①为幂函数；②为偶函数；③在上单调递减.
15．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算方法.如图所示，弧田是由圆弧和其对弦围成的图形，若弧田所在圆的半径为6，弦的长是，则弧田的弧长为________；弧田的面积是________.

16．已知圆：,为圆上一点,、、,则的最大值为______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．求值：（1）；
（2）．
18．已知函数
（）求函数的最小正周期
（）求函数的单调递减区间
19．在①；②“”是“”的充分条件：③“”是“”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题
问题：已知集合，
（1）当时，求；
（2）若________，求实数的取值范围
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
20．已知函数
（1）求函数最小正周期与单调增区间；
（2）求函数在上的最大值与最小值
21．如图，在直三棱柱中，已知，，设的中点为，

求证：（1）；
（2）.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先计算出抽样比，即可计算出男生中抽取了多少人.
【详解】解：女生一共有150名女生抽取了30人，
故抽样比为：，
抽取的男生人数为：.
故选：B.
2、A
【解析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.
【详解】根据函数的图象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因为，所以.
故选：A.
3、C
【解析】由函数是幂函数可得，解得或2，再讨论单调性即可得出.
【详解】是幂函数，，解得或2，
当时，在上是减函数，符合题意，
当时，在上是增函数，不符合题意，
.
故选：C.
4、C
【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值进行求解
【详解】由，得，
令，则
，
因为，
所以，即，
所以的最大值为，
故选：C
5、C
【解析】利用不等式的基本性质判断.
【详解】由，得，即，故A错误；
则，则，即，故B错误；
则，，所以，故C正确；
则，所以，故D错误；
故选：C
6、D
【解析】根据交集、补集的定义计算可得；
【详解】解：集合，，
，
则
故选：D
7、A
【解析】因为直线即 ，故两条平行直线和的距离
故选A
8、A
【解析】根据指数函数的性质一一判断可得；
【详解】解：对于A：在定义域上单调递减，所以，故A正确；
对于B：在定义域上单调递增，所以，故B错误；
对于C：因为，，所以，故C错误；
对于D：因为，，即，所以，故D错误；
故选：A
9、B
【解析】由题意得
．选B
10、D
【解析】对于AB，举例判断，对于CD根据函数奇偶性和对称性的关系分析判断即可
【详解】对于A，是奇函数，其图象关于原点对称，但不过原点，所以A正确，
对于B，是偶函数，其图象关于轴对称，但与轴不相交，所以B正确，
对于C，若偶函数的图象与x轴有且仅有两交点，且横坐标分别为，则两个交点关于轴对称，所以，所以C正确，
对于D，若奇函数与y轴有交点，则，故，所以函数必过原点，所以D错误，
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据＝，利用向量的线性运算转化即可.
【详解】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，
所以＝,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.
12、
【解析】利用严格单调减函数定义求得值，然后在由区间上整数个数，可确定的值
【详解】，根据题意，，又，，
所以，即，，
在上只有13个整数，因此可得，
故答案为：
13、
【解析】根据给定条件利用奇函数的定义计算作答.
【详解】因函数是奇函数，其定义域为R，
则对，，即，整理得：，
而不恒为0，于得，
所以实数.
故答案为：
14、（或，，答案不唯一）
【解析】结合幂函数的图象与性质可得
【详解】由幂函数，当函数图象在一二象限时就满足题意，因此，或，等等
故答案为：（或，，答案不唯一）
15、 ①. ②.
【解析】在等腰三角形中求得，由扇形弧长公式可得弧长，求出扇形面积减去三角形面积可得弧田面积
【详解】∵弧田所在圆的半径为6，弦的长是，∴弧田所在圆的圆心角，
∴弧田的弧长为；
扇形的面积为，三角形的面积为，∴弧田的面积为.
故答案为：；
16、53
【解析】
设,则,从而求出,再根据的取值范围,求出式子的最大值.
【详解】设,
因为为圆上一点,则,且,
则

(当且仅当时取得最大值),
故答案为:53.
【点睛】本题属于圆与距离的应用问题,主要考查代数式的最值求法.解决此类问题一是要将题设条件转化为相应代数式;二是要确定代数式中变量的取值范围.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）5．
【解析】
（1）利用指数幂的运算法则计算即得解；
（2）利用对数的运算法则化简计算即得解.
【详解】（1）原式＝；
（2）原式＝.
【点睛】本题主要考查指数对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18、（）．（），
【解析】利用两角和差余弦公式、二倍角公式和辅助角公式整理出；（1）根据求得结果；（2）令，解出的范围即可得到结果.
详解】由题意得：

（）最小正周期：
（）令
解得：
的单调递减区间为：
【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期、单调区间的求解问题，涉及到两角和差余弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用.
19、（1）
（2）
【解析】（1）首先解一元二次不等式得到集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得；
（2）根据所选条件均可得到，即可得到不等式，解得即可；
【小问1详解】
解：由，解得，所以，当时，，所以
【小问2详解】
解：若选①，则，所以，解得，即；
若选②“”是“”的充分条件，所以，所以，解得，即；
若选③“”是“”的必要条件，所以，所以，解得，即；
20、（1），单调增区间
（2），
【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式，可得函数的最小正周期与的单调区间；
（2）利用整体法求函数的最值.
【小问1详解】
解：
，
函数的最小正周期，
令，
解得，
所以单调递增区间为
【小问2详解】
，
，
，
即，
所以，.
21、⑴见解析；⑵见解析.
【解析】（1）要证明线面平行，转证线线平行，在△AB1C中，DE为中位线，易得；（2）要证线线垂直，转证线面垂直平面,易证，从而问题得以解决.
试题解析：
⑴在直三棱柱中，

平面，且
矩形是正方形，
为的中点，
又为的中点，，
又平面，平面，
平面
⑵在直三棱柱中，
平面,平面,
又，平面，平面，，
平面，
平面，
矩形是正方形，，
平面，，平面
又平面，.
点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.