2026届曲靖第一中学高一数学第一学期期末质量检测模拟试题含解析.doc

2026届曲靖第一中学高一数学第一学期期末质量检测模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，则集合中元素的个数是（）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2．若角，则（　　）
A. B.
C. D.
3．已知是空间两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是
A.，，
B，，
C.，，
D.，，
4．设全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
5．若，，则的值为　　
A. B.
C. D.
6．如果，，那么直线不通过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．函数其中（，）的图象如图所示，为了得到图象，则只需将的图象（ ）

A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
8．在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（）
A. B.
C. D.
9．已知，则“”是“”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
10．函数的图象大致形状为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．命题“”的否定是__________
12．若（）与（）互为相反数，则的最小值为______.
13．已知函数的图象如图所示，则函数的解析式为__________.

14．为偶函数，则___________.
15．已知甲、乙、丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，则他们三人中恰有两人被录取的概率为___________.
16．计算____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数在区间上有最大值，最小值，设.
（1）求值；
（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.
18．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为

（1）求小球相对平衡位置高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；
（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围
19．已知圆O：，点，点，直线l过点P
（1）若直线l与圆O相切，求l的方程；
（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，且M的纵坐标为－，求△NAB的面积
20．已知函数在上最大值为3，最小值为
（1）求的解析式；
（2）若，使得，求实数m的取值范围
21．已知非空数集，设为集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集组成的集合
（1）若集合，写出和集合；
（2）若集合中的元素都是正整数，且对任意的正整数、、、、，都存在集合，使得，则称集合具有性质
①若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由；
②若集合具有性质，且，求的最小值及此时中元素的最大值的所有可能取值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据，所以可取，即可得解.
【详解】由集合，，
根据，
所以，
所以中元素的个数是3.
故选：C
2、C
【解析】分母有理化再利用平方关系和商数关系化简得解.
【详解】解：

.
故选：C
3、D
【解析】A不正确，也有可能；
B不正确，也有可能；
C不正确，可能或或；
D正确， ， ， ，
考点：1线面位置关系；2线面垂直
4、A
【解析】根据补集定义计算
【详解】因为集合，又因为全集，所以，.
故选：A.
【点睛】本题考查补集运算，属于简单题
5、A
【解析】由两角差的正切公式展开计算可得
【详解】解：，，则，
故选A
【点睛】本题考查两角差的正切公式：，对应还应该掌握两角和的正切公式，及正弦余弦公式．本题是基础
6、A
【解析】 截距 ,因此直线不通过第一象限,选A
7、D
【解析】根据图像计算周期和最值得到，，再代入点计算得到，根据平移法则得到答案.
【详解】根据图象：，，故，，故，
，即，，，
当时，满足条件，则，
故只需将的图象向左平移个单位即可.
故选：D.
8、A
【解析】根据任意角三角函数的概念可得出，然后利用诱导公式求解.
【详解】因为角以为始边，且终边与单位圆交于点，
所以，则.
故选：A.
【点睛】当以为始边，已知角终边上一点的坐标为时，则，.
9、A
【解析】“a＞1”⇒“”，“”⇒“a＞1或a＜0”，由此能求出结果
【详解】a∈R，则“a＞1”⇒“”，
“”⇒“a＞1或a＜0”，
∴“a＞1”是“”的充分非必要条件
故选A
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法
定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件
等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法
集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件
10、A
【解析】首先判断函数的奇偶性，再利用上的函数值的正负即可判断；
【详解】解：因为，定义域为，且
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除、；
又当时，，，所以，则，所以，所以，即可排除C；
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】特称命题的否定.
【详解】命题“”的否定是
【点睛】本题考查特称命题的否定,属于基础题; 对于含有量词的命题的否定要注意两点:一是要改换量词,即把全称(特称)量词改为特称(全称)量词,二是注意要把命题进行否定.
12、2
【解析】有题设得到，利用基本不等式求得最小值.
【详解】由题知，，则，，
则，当且仅当时等号成立，
故答案为：2
13、
【解析】根据最大值得，再由图像得周期，从而得，根据时，取得最大值，利用整体法代入列式求解，再结合的取值范围可得.
【详解】根据图像的最大值可知，，由，可得，所以，再由得，，所以，因为，所以，故函数的解析式为.
故答案为：.
14、
【解析】根据偶函数判断参数值，进而可得函数值.
【详解】由为偶函数，
得，
，
不恒为，
，
，
，
故答案为：.
15、##0.15
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲和乙被录取的概率、甲和丙被录取的概率、乙和丙被录取的概率，然后即可求出他们三人中恰有两人被录取的概率.
【详解】因为甲、乙、丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，甲和乙被录取的概率为，
甲和丙被录取的概率为，
乙和丙被录取的概率为
则他们三人中恰有两人被录取的概率为，
故答案为：.
16、5
【解析】由分数指数幂的运算及对数的运算即可得解.
【详解】解：原式，
故答案为：5.
【点睛】本题考查了分数指数幂的运算及对数的运算，属基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用二次函数单调性进行求解即可；
（2）利用换元法、构造函数法，结合二次函数的性质进行求解即可.
【小问1详解】
当时，函数的对称轴为：，
因此函数当时，单调递增，
故
所以；
【小问2详解】
由（1）知，
不等式，可化为：
即，令，
，令，
.
18、（1），；（2）
【解析】（1）首先根据题意得到，，从而得到，
（2）根据题意，当时，小球第一次到达最高点，从而得到，再根据周期为，即可得到.
【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以
因为在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为，所以周期为2，
即，所以
所以，
（2）由题意，当时，小球第一次到达最高点，
以后每隔一个周期都出现一次最高点，
因为小球在内经过最高点的次数恰为50次，
所以
因为，所以，
所以的取值范围为
（注：的取值范围不考虑开闭）
19、（1）或
（2）
【解析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论求解，当直线斜率存在时，根据点到直线的距离公式求参数即可；
（2）设直线l方程为，，进而与圆的方程联立得中点的坐标，，解方程得直线方程，再求三角形面积即可.
【小问1详解】
解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为，
此时直线l与圆O相切，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
因为直线l与圆O相切，所以圆心（0，0）到l的距离为2，
即，解得，
所以直线l的方程为，即
故直线l的方程为或
【小问2详解】
解：设直线l的方程为，
因为直线l与圆O相交，所以结合（1）得
联立方程组消去y得，
设，则，
设中点，，①
代入直线l的方程得，②
解得或（舍去）
所以直线l的方程为
因为圆心到直线l的距离，
所以
因为N到直线l的距离
所以
20、（1）
（2）
【解析】（1）根据的最值列方程组，解方程组求得，进而求得.
（2）利用分离常数法，结合基本不等式求得的取值范围.
【小问1详解】
的开口向上，对称轴为，
所以在区间上有：，
即，
所以.
【小问2详解】
依题意，使得，
即，
由于，，
当且仅当时等号成立.
所以.
21、（1），；
（2）①有，理由见解析；②的最小值为，所有可能取值是、、、、.
【解析】（1）根据题中定义可写出与；
（2）（i）求得，取、、、、，找出对应的集合，使得，即可得出结论；
（ii）设，不妨设，根据题中定义分析出、，，，，，然后验证当、、、、时，集合符合题意，即可得解.
【小问1详解】
解：由题中定义可得，.
【小问2详解】
解：（ⅰ）集合具有性质，理由如下：
因为，所以
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
当时，取集合，则；
综上可得，集合具有性质；
（ⅱ）设集合，不妨设
因为为正整数，所以，
因为存在使得，所以此时中不能包含元素、、、且，
所以．所以
因为存在使得，所以此时中不能包含元素及、、、且，
所以，所以
若，则、、，而，
所以不存在，使得，所以
若，则、、，而，
所以不存在，使得，所以
同理可知，，
若，则，所以
当时，若，
则取，可知不存在，使得，
所以，解得
又因为，所以
经检验，当、、、、时，集合符合题意
所以最小值为，且集合中元素的最大值的所有可能取值是、、、、.
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义问题，解题时充分抓住题中的新定义，结合反证法结合不等式的基本性质逐项推导，求出每一项的取值范围，进而求解.