四川省成都市 2025-2026学年高二上数学期末考试试题含解析.doc

四川省成都市 2025-2026学年高二上数学期末考试试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．的展开式中的系数是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知，则下列不等式一定成立的是（）
A B.
C. D.
3．平行直线：与：之间的距离等于（）
A. B.
C. D.
4．已知抛物线，则它的焦点坐标为（）
A. B.
C. D.
5．计算复数：（ ）
A. B.
C. D.
6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（）
A. B.
C. D.
7．现要完成下列两项调查：①从某社区70户高收入家庭、335户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．这两项调查宜采用的抽样方法是（）
A①简单随机抽样，②分层抽样 B.①分层抽样，②简单随机抽样
C.①②都用简单随机抽样 D.①②都用分层抽样
8．如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这
样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是
A. B.
C. D.
9．如图，四面体-，是底面△的重心，，则（）

A B.
C. D.
10．在四面体OABC中，点M在线段OA上，且，N为BC中点，已知，，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
11．双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的焦距等于
A. B.
C. D.
12．已知数列满足，则（）
A. B.1
C.2 D.4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．复数（其中i为虚数单位）的共轭复数______
14．设O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，若，则的面积为____________
15．已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与的左、右支分别交于点、（、均在轴上方）.若直线、的斜率均为，且四边形的面积为，则__________.
16．已知圆锥的母线长为cm，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为____cm.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）若是双曲线的两个焦点.

（1）若双曲线上一点到它的一个焦点的距离等于10，求点到另一个焦点距离；
（2）如图若是双曲线左支上一点，且，求的面积.
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点的纵坐标为4，
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于两点，试问抛物线上是否存在定点使得直线与的斜率互为倒数？若存在求出点的坐标，若不存在说明理由
19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，4），直线l：，设圆C的半径为1，圆心在直线l上，圆心也在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）过点A作圆C的切线，求切线的方程.
20．（12分）等差数列的前n项和为，已知
（1）求的通项公式；
（2）若，求n的最小值
21．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E为AB中点，D为上一点

（1）求证：；
（2）当D为中点时，求平面ADC与平面所成角的正弦值
22．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤5}，集合B＝{x|2-a≤x≤1+2a}，其中a∈R.
（1）若“x∈A”是“x∈B”充分条件，求a的取值范围；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据二项式定理求出答案即可.
【详解】的展开式中的系数是
故选：B
2、B
【解析】运用不等式的性质及举反例的方法可求解.
【详解】对于A，如，满足条件，但不成立，故A不正确；
对于B，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以不成立，故C不正确；
对于D，因为，所以，所以，故D不正确.
故选：B
3、B
【解析】先由两条直线平行解出，再按照平行线之间距离公式求解.
【详解】，则：，即，距离为.
故选：B.
4、D
【解析】将抛物线方程化标准形式后得到焦准距，可得结果.
【详解】由得，所以，所以，
所以抛物线的焦点坐标为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：将抛物线方程化为标准形式是解题关键.
5、D
【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简可得结论.
【详解】
故选：D.
6、B
【解析】由椭圆定义可得各边长，利用三角形相似，可得点坐标，再根据点在椭圆上，可得离心率.
【详解】如图所示：

因为为等腰三角形，且，
又，所以，
所以，
过点作轴，垂足为，
则，
由，，得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
即离心率，
故选：B.
7、B
【解析】通过简单随机抽样和分层抽样的定义辨析得到选项
【详解】在①中，由于购买能力与收入有关，应该采用分层抽样；在②中，由于个体没有明显差别，而且数目较少，应该采用简单随机抽样
故选：B
8、A
【解析】如图：

如图，取小圆上一点，连接并延长交大圆于点，连接，，则在小圆中，，在大圆中，，根据大圆的半径是小圆半径的倍，可知的中点是小圆转动一定角度后的圆心，且这个角度恰好是，综上可知小圆在大圆内壁上滚动，圆心转过角后的位置为点，小圆上的点，恰好滚动到大圆上的也就是此时的小圆与大圆的切点．而在小圆中，圆心角（是小圆与的交点）恰好等于，则，而点与点其实是同一个点在不同时刻的位置，则可知点与点是同一个点在不同时刻的位置．由于的任意性，可知点的轨迹是大圆水平的这条直径．类似的可知点的轨迹是大圆竖直的这条直径.
故选A.
9、B
【解析】根据空间向量的加减运算推出，进而得出结果.
【详解】因为，
所以

，
故选：B
10、B
【解析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解
【详解】因为N为BC中点，所以,
因为M在线段OA上，且，
所以，
所以，
故选：B

11、D
【解析】不妨设双曲线方程为 ，
则 ，即 设焦点为 ，渐近线方程为
则 又
解得 ．则焦距为．选：D
12、B
【解析】根据递推式以及迭代即可.
【详解】由，得，，，，
，，.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】根据共轭复数的概念，即可得答案.
【详解】由题意可知：复数（其中i为虚数单位）的共轭复数，
故答案为：
14、
【解析】根据抛物线定义求出点坐标，即可求出面积.
【详解】由题可得，设，
则由抛物线定义可得，解得，代入抛物线方程可得，
所以.
故答案为：.
15、
【解析】设点关于原点的对称点为点，连接，分析可知四边形为平行四边形，可得出，设，可得出直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出的取值范围，利用三角形的面积公式可求得的值，即可求得的值.
【详解】解：设点关于原点的对称点为点，连接，如下图所示：

在双曲线中，，，则，即点、，
因为原点为、的中点，则四边形为平行四边形，所以，且，
因为，故、、三点共线，
所以，，故，
由题意可知，，设，则直线的方程为，设点、，
联立，可得，
所以，，可得，
由韦达定理可得，，可得，

，
整理可得，即，解得或（舍），
所以，，解得.
故答案为：.
16、
【解析】根据题意可知圆锥侧面展开图的半圆的半径为cm，再根据底面圆的周长等于侧面的弧长，即可求出结果.
【详解】设底面圆的半径为，
由于侧面展开图是一个半圆，又圆锥的母线长为cm，
所以该半圆的半径为cm，
所以，所以（cm）.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用双曲线定义，根据点到一个焦点的距离求点到另一个焦点的距离即可；
（2）先根据定义得到，两边平方求得，即证，，再计算直角三角形面积即可.
【小问1详解】
是双曲线的两个焦点，则，
点M到它的一个焦点的距离等于10，设点到另一个焦点的距离为，
则由双曲线定义可知，，解得或（舍去）
即点到另一个焦点的距离为；
【小问2详解】
P是双曲线左支上的点，则，
则，而，
所以，
即，
所以为直角三角形，，
所以.
18、（1）
（2）存在，
【解析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点的横坐标，进而求得p,可得答案;
（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线与的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论.
【小问1详解】
（1）
则，
，，
，
故C的方程为：；
【小问2详解】
假设存在定点，使得直线与的斜率互为倒数，
由题意可知，直线AB的斜率存在，且不为零，
，，
，，所以，
即 或 ，

，
，
则，，
使得直线与的斜率互为倒数.
19、（1）
（2）或
【解析】（1）直接求出圆心的坐标，写出圆的方程；
（2）分斜率存在和斜率不存在进行分类讨论，利用几何法列方程，即可求解.
【小问1详解】
由圆心C在直线l：上可设：点，又C也在直线上，
∴，∴
又圆C的半径为1，
∴圆C的方程为.
【小问2详解】
当直线垂直于x轴时，与圆C相切，此时直线方程为.
当直线与x轴不垂直时，设过A点的切线方程为，
即，则，解得.
此时切线方程，.
综上所述，所求切线为或
20、（1）
（2）12
【解析】（1）设的公差为d，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）利用等差数的求和公式，得到，结合的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：设的公差为d，
因为，可得，解得，
所以，即数列的通项公式为
【小问2详解】
解：由，可得，
根据二次函数的性质且，可得单调递增，
因为，所以当时，，
故n的最小值为12
21、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理即证；
（2）利用坐标法即求.
【小问1详解】
∵，E为AB中点，
∴，
∵平面ABC，平面ABC，
∴，又，，
∴平面，平面，
∴；
【小问2详解】
以C点为坐标原点，CA，CB，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则

平面的法向量为，
设平面ADC法向量为，
则，∴，即，
令，则
∴平面ADC与平面所成角的余弦值为
，
所以平面ADC与平面所成角的正弦值.
22、（1）
（2）
【解析】（1）由“”是“”的充分条件，可得，从而可得关于的不等式组，解不等式组可得答案；
（2）“”是“”的必要条件，可得，然后分和两种情况求解即可
【小问1详解】
由题意得到A＝[1，5]，
由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B，
则，解得，
故实数a的取值范围是.
【小问2详解】
由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A，
当时，2-a＞1+2a，即a＜时，满足题意，
当时，即a≥时，则，
解得≤a≤1.
综上a≤1，
故实数a的取值范围是.