福建省福州教育学院附属第二中学2025-2026学年高一数学第一学期期末调研试题含解析.doc

福建省福州教育学院附属第二中学2025-2026学年高一数学第一学期期末调研试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．下列函数中，表示同一个函数的是
A.与
B.与
C.与
D.与
2．已知是锐角，那么是
A.第一象限角 B.第一象限角或第二象限角
C.第二象限角 D.小于的正角
3．已知函数的最小正周期为π，且关于中心对称，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C D.
4．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若，则不等式解集为
A. B.
C. D.
5．已知，，，那么a，b，c的大小关系为（）
A. B.
C. D.
6．函数（且）的图像恒过定点（）
A. B.
C. D.
7．在平行四边形中，设，，，，下列式子中不正确的是（）
A. B.
C. D.
8．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（）
A. B.
C. D.
9．如果，且，那么下列命题中正确的是（）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10．设，，则（）
A.且 B.且
C.且 D.且
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．的单调增区间为________.
12．已知函数在区间上恰有个最大值，则的取值范围是_____
13．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是B，点和点的中点是E，则___________.
14．已知（其中且为常数）有两个零点，则实数的取值范围是___________.
15．已知，，则的值为__________
16．设且，函数，若，则的值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．直线l经过两点(2,1)、(6,3).
(1)求直线l的方程；
(2)圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于(2,0)点，求圆C的方程
18．闽东传承着中国博大精深的茶文化，讲究茶叶茶水的口感，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．如果刚泡好的茶水温度是，空气的温度是，那么分钟后茶水的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个物体与空气的接触状况而定的正常数．现有某种刚泡好的红茶水温度是，放在的空气中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是
（1）求k的值；
（2）经验表明，温度为 的该红茶水放在的空气中自然冷却至时饮用，可以产生最佳口感，那么，大约需要多长时间才能达到最佳饮用口感?
（结果精确到，附：参考值）
19．已知函数的定义域为R，其图像关于原点对称，且当时，

（1）请补全函数的图像，并由图像写出函数在R上的单调递减区间；
（2）若，，求的值
20．已知向量，满足，，且，的夹角为.
（1）求；
（2）若，求的值.
21．已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求的解析式；
（2）若恒成立，求实数的取值范围.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】对于A，B，C三个选项中函数定义域不同，只有D中定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，即可得到所求结论
【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；
对于B，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不为同一函数；
对于C，定义域为，的定义域为R，定义域不同，故不为同一函数；
对于D，与定义域和对应法则完全相同，故选D.
【点睛】本题考查同一函数的判断，注意运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，考查判断和运算能力，属于基础题
2、D
【解析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案
【详解】因为是锐角，所以 ，故
故选D.
【点睛】本题考查象限角，属于简单题
3、B
【解析】根据周期性和对称性求得函数解析式，再利用函数单调性即可比较函数值大小.
【详解】根据的最小正周期为，故可得，解得.
又其关于中心对称，故可得，又，
故可得.则.
令，
解得.
故在单调递增.
又，且都在区间中，
且，故可得.
故选：.
【点睛】本题考查由三角函数的性质求解析式，以及利用三角函数的单调性比较函数值大小，属综合基础题.
4、B
【解析】，又函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，所以，解得.
考点：偶函数的性质.
【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键.根据函数奇偶性可得，再根据函数的单调性，可得；然后再解不等式即可求出结果
5、B
【解析】根据指数函数单调性比较大小.
【详解】因为在上是增函数，又，所以，所以，
故选B.
【点睛】本题考查利用指数函数单调性比较指数幂的大小，难度较易.对于指数函数（且）：若，则是上增函数；若，则是上减函数.
6、C
【解析】本题可根据指数函数的性质得出结果.
【详解】当时，，
则函数的图像恒过定点，
故选：C.
7、B
【解析】根据向量加减法计算，再进行判断选择.
【详解】;
;
;

故选：B
【点睛】本题考查向量加减法，考查基本分析求解能力，属基础题.
8、C
【解析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值.
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增.
而，，
所以的取值范围为.
【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题.
9、D
【解析】根据不等式的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于A，若，，满足，但不成立，错误；
对于B，若，则，错误；
对于C，若，，满足，但不成立，错误；
对于D，由指数函数的单调性知，正确.
故选：D.
10、B
【解析】容易得出，，即得出，，从而得出，
【详解】，.
又，即，，
，
故选B.
【点睛】本题考查对数函数单调性的应用，求解时注意总结规律，即对数的底数和真数同时大于1或同时大于0小于1，函数值大于0；若一个大于1，另一个大于0小于1，函数值小于0

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】求出给定函数的定义域，由对数函数、正弦函数单调性结合复合函数单调性求解作答.
【详解】依题意，，则，解得，
函数中，由得，
即函数在上单调递增，
当时，函数在上单调递增，
又函数在上单调递增，
所以函数的单调增区间为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：函数的单调区间是定义域的子区间，求函数的单调区间，正确求出函数的定义域是解决问题的关键.
12、
【解析】将代入函数解析式，求出的取值范围，根据正弦取8次最大值，求出的取值范围
【详解】因为，，所以，又函数在区间上恰有个最大值，所以，得
【点睛】三角函数最值问题要注意整体代换思想的体现，由的取值范围推断的取值范围
13、
【解析】先利用对称性求得点B坐标，再利用中点坐标公式求得点E坐标，然后利用两点间距离公式求解.
【详解】因为点关于平面的对称点是，
点和点的中点是，
所以，
故答案为：
14、
【解析】设，可转化为有两个正解，进而可得参数范围.
【详解】设，
由有两个零点，
即方程有两个正解，
所以，解得，
即，
故答案为：.
15、
【解析】根据两角和的正弦公式即可求解.
【详解】由题意可知，因为，所以，
所以，
则

故答案为：.
16、
【解析】根据函数的解析式以及已知条件可得出关于实数的等式，由此可解得实数的值.
【详解】因为，且，则.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）x－2y＝0；（2）(x－2)2＋(y－1)2＝1
【解析】（1）由直线过的两点坐标求得直线斜率，在借助于点斜式方程可得到直线方程；（2）借助于圆的几何性质可知圆心在直线上，又圆心在直线上，从而可得到圆心坐标，圆心与的距离为半径，进而可得到圆的方程
试题解析：（1）由已知，直线的斜率，所以，直线的方程为.
（2）因为圆的圆心在直线上，可设圆心坐标为，
因圆与轴相切于点，所以圆心在直线上，所以，
所以圆心坐标为，半径为1，所以，圆的方程为
考点：1．直线方程；2．圆的方程
18、（1）
（2）
【解析】（1）由解方程可得解；
（2）令，解方程可得解.
【小问1详解】
由题意可知，
，其中，
所以，
解得
小问2详解】
设刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感，
由题意可知，，
令，所以，
，，
所以，
所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.
19、（1）作图见解析；单调减区间是和
（2）0
【解析】（1）由图象关于原点对称，补出另一部分，结合图可求出函数的单调减区间，
（2）先求出的值，然后根据函数的奇偶性和解析式求解即可
【小问1详解】
因为函数的图像关于原点对称，
所以是R上的奇函数，故
由对称性画出图像
在R上的单调减区间是和
【小问2详解】

，
所以
20、（1）-12；（2）12.
【解析】(1)按照向量的点积公式得到，再由向量运算的分配律得到结果；（2）根据向量垂直得到，按照运算公式展开得到结果即可.
【详解】（1）由题意得，
∴
（2）∵，∴，∴，
∴，∴
【点睛】这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
21、（1）；（2）.
【解析】
（1）由是奇函数可得，从而可求得值，即可求得的解析式；
（2）由复合函数的单调性判断在上单调递减，结合函数的奇偶性将不等式恒成立问题转化为，令，利用二次函数的性质求得的最大值，即可求得的取值范围
【详解】（1）因为函数为奇函数，
所以，即，
所以，
所以，
可得，函数.
（2）由（1）知
所以在上单调递减.
由，得，
因为函数是奇函数，
所以，
所以，整理得，
设，，
则，
当时，有最大值，最大值为.
所以，即.
【点睛】方法点睛：已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.