2025年安徽合肥寿春中学高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年安徽合肥寿春中学高一数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）
A.1.5 B.1.2
C.0.8 D.0.6
2．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（）

A. B.
C. D.
3．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A. B.
C. D.
4．函数y=xcosx+sinx在区间[–π，π]的图象大致为（）
A. B.
C. D.
5．直线与直线平行，则的值为（ ）
A. B.2
C. D.0
6．已知幂函数的图象过（4，2）点，则
A. B.
C. D.
7．已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（）
A.充分必要条件 B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件 D.必要不充分条件
8．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸单位：，可得这个几何体得体积是　　

A. B.
C.2 D.4
9．若，则　　
A. B.
C. D.
10．已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式恒成立，则不等式的解集为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．圆的圆心到直线的距离为______.
12．函数是定义在R上的奇函数，当时，2，则在R上的解析式为________.
13．点是一次函数图象上一动点，则的最小值是______
14．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
15．过点且在轴，轴上截距相等的直线的方程为___________.
16．已知幂函数的图象过点，则_____________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，函数.
（1）若有两个零点，且的最小值为，当时，判断函数在上的单调性，并说明理由；
（2）设，记为集合中元素的最大者与最小者之差.若对，恒成立，求实数a的取值范围.
18．（1）计算：
（2）若，，求的值.
19．函数的一段图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）将函数图象向右平移个单位，得函数的图象，求在的单调增区间
20．已知函数的图象关于直线对称，若实数满足时，的最小值为1
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，求的单调递减区间
21．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且

（1）证明：平面平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
2、A
【解析】根据的图象求得，求得，再根据，求得，求得的值，即可求解.
【详解】根据函数的图象，可得，可得，
所以，
又由，可得，即，
解得，
因为，所以.
故选：A.
3、A
【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可
【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A
考点：三角函数的性质.
4、A
【解析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
【详解】因为，则，
即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，
据此可知选项CD错误；
且时，，据此可知选项B错误.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
5、B
【解析】根据两直线平行的条件列式可得结果.
【详解】当时，直线与直线垂直，不合题意；
当时，因直线与直线平行，
所以，解得.
故选：B
【点睛】易错点点睛：容易忽视纵截距不等这个条件导致错误.
6、A
【解析】
详解】由题意可设 ,又函数图象过定点（4，2）, , ,从而可知，则 .故选A
7、C
【解析】根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断.
【详解】为奇函数,则，
但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数，
所以是的充分不必要条件，
故选：C.
8、B
【解析】先根据三视图得到几何体的形状，然后再根据条件中的数据求得几何体的体积
【详解】由三视图可知该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，如下图中的四棱锥

由题意得其底面面积，高，
故几何体的体积
故选B
【点睛】由三视图还原几何体的方法
（1）还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体
（2）注意图中实、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线
（3）想象原形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，通过调整准确画出原几何体
9、D
【解析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为，把已知条件代入运算，求得结果．
【详解】，，
故选D．
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．
10、C
【解析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解.
【详解】∵函数是定义在R上的偶函数，
∴，
∴不等式可化为
∵对于任意不等实数，，不等式恒成立，
∴函数在上为减函数，又，
∴，
∴，
∴不等式的解集为
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】利用点到直线的距离公式可得所求的距离.
【详解】圆心坐标为，它到直线的距离为，
故答案为：1
【点睛】本题考查圆的标准方程、点到直线的距离，此类问题，根据公式计算即可，本题属于基础题.
12、
【解析】由是定义域在上的奇函数，根据奇函数的性质，可推得的解析式.
【详解】当时，2，即，
设，则，
，
又为奇函数， ，
所以在R上的解析式为 .
故答案为：.
13、
【解析】把点代入函数的解析式得到，然后利用基本不等式求最小值.
【详解】由题意可知，
又因为，
所以，当且仅当即时等号成立
所以的最小值是.
故答案为：.
14、##
【解析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为
故答案为：.
15、或
【解析】当直线不过原点时设截距式方程；当直线过原点时设,分别将点代入即可
【详解】由题,当直线不过原点时设,则,所以,则直线方程为,即；
当直线过原点时设,则,所以,则直线方程为,即,
故答案为: 或
【点睛】本题考查求直线方程,考查截距式方程的应用,截距相同的直线问题,需注意过原点的情况
16、##
【解析】设出幂函数解析式，代入已知点坐标求解
【详解】设，由已知得，所以，
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）函数在区间上是单调递减，理由见解析
（2）
【解析】（1）运用单调性的定义去判断或者根据函数本身的性质去判断即可；
（2）区间与二次函数的对称轴比较，从而的情况中分类讨论，而后得到的解析式，通过函数解析式求出最小值，再解不等式即可.
【小问1详解】
方法1：因为，
由题意得，即，
所以时，
即，
所以，，
对于任意设，所以，
因为，又，
所以
而，所以，所以，
所以函数在区间上是单调递减的.
方法2：因为，
由题意得，即，
所以时，
即，
所以，，
因为，所以函数图像的对称轴方程为，
因为，所以，即，
所以函数在上是单调递减的.
【小问2详解】
设，，
因为函数对称轴为，
①当即时，在上单调递减，
，
②当即时，
，
③当即时，
，
④当即时，在上单调递增，
，
综上可得：
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，
对，恒成立，只需即可，解得，
所以a的取值范围是.
18、（1）；（2）.
【解析】（1）利用分数指数幂运算法则分别对每一项进行化简，然后合并求解;
（2）先利用已知条件，把m、n表示出来，代入要求解的式子中，利用对数的运算法则化简即可.
【详解】（1）原式
（2）因为，，所以，，
所以
19、（1）；（2）
【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式；
（2）根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得函数y＝f2（x）的解析式，由，得到函数的单调增区间.
【详解】（1）如图，由题意得，的最大值为2，
又,∴,即 ∴.
因为的图像过最高点，则
即
（2）.依题意得：
∴由
解得：
，则的单调增区间为.
【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题
20、（1）；
（2），
【解析】（1）利用已知条件和，可以求出函数的周期，利用是对称轴和，可以求解出的值，从而完成解析式的求解；
（2）先写出函数经过平移以后得到的函数解析式，然后再求解的递减区间即可完成求解.
【小问1详解】
由时，，知，∴，
∵的图象关于直线对称，∴，，
∵，∴，∴
【小问2详解】
由题意知：
由，，
∴，，
∴的单调递减区间是，
21、 (1)见解析(2)
【解析】连接，交于点，设中点为，连接，，先证出，再证出平面，，结合面面垂直的判定定理即可证平面平面；
先证明，设的中点为，连接，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即，运用解三角形知识求其正弦值
解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接，

∵，分别为，的中点，
∴，且，
∵，且，
∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵是菱形，∴
∵，∴平面，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面
（2）因为直线与平面所成角为，
所以，所以，
所以，故为等边三角形，
设的中点为，连接，则，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则由，得（*）
因为面，面，所以，
又，，∴面；
因为，平面，面，所以面，
所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即，
因为，，所以，
又，代入（*）得，所以，
设与平面所成角的正弦值为.