重庆市第三十中学2026届数学高一上期末达标测试试题含解析.doc

重庆市第三十中学2026届数学高一上期末达标测试试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给定四个函数：①；②（）；③；④．其中是奇函数的有（）
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2．下列结论中正确的是（）
A.当时，无最大值 B.当时，的最小值为3
C.当且时， D.当时，
3．若点在函数的图像上，则
A.8 B.6
C.4 D.2
4．设为全集，是集合，则“存在集合使得是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．设集合，则（）
A.（1，2] B.[3，＋∞）
C.（﹣∞，1]∪（2，＋∞） D.（﹣∞，1]∪[3，＋∞）
6．已知函数，下列关于该函数结论错误的是（）
A.的图象关于直线对称 B.的一个周期是
C.的最大值为 D.是区间上的增函数
7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）
A.1.5 B.1.2
C.0.8 D.0.6
8．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A.函数图像关于对称
B.函数在上单调递增
C.若，则
D.函数的最小值为
9．如下图所示，在正方体中，下列结论正确的是

A.直线与直线所成的角是 B.直线与平面所成的角是
C.二面角的大小是 D.直线与平面所成的角是
10．函数的零点所在区间是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．计算：=___________
12．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____
13．某次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图.

则参加测试的总人数为______，分数在之间的人数为______.
14．已知，，则函数的值域为______
15．若f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=，若方程f（x）=kx恰有3个不同的根，则实数k的取值范围是______
16．若直线与垂直，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，，.若，求实数a的取值范围.
18．（1）已知是角终边上一点，求，，的值；
（2）已知，求下列各式的值：
①；
②
19．如图，边长为的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，分别为的中点.

(1)求四棱锥的体积；
(2)求证：平面；
(3)试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
20．已知函数，且满足.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）设函数，求在区间上的最大值；
（3）若存在实数m，使得关于x的方程恰有4个不同的正根，求实数m的取值范围.
21．素有“天府之国”美称的四川省成都市，属于亚热带季风性湿润气候.据成都市气象局多年的统计资料显示，成都市从1月份到12月份的平均温(℃)与月份数(月)近似满足函数，从1月份到7月份的月平均气温的散点图如下图所示，且1月份和7月份的平均气温分别为成都全年的最低和最高的月平均气温.

（1）求月平均气温(℃)与月份数(月)的函数解析式；
（2）推算出成都全年月平均气温低于但又不低于的是哪些月份.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】首先求出函数的定义域，再由函数的奇偶性定义即可求解.
【详解】①函数的定义域为，且，
，则函数是奇函数；
②函数的定义域关于原点不对称，则函数（）为非奇非偶函数；
③函数的定义域为，，则函数不是奇函数；
④函数的定义域为，，
则函数是奇函数.
故选：B
2、D
【解析】利用在单调递增，可判断A；利用均值不等式可判断B，D；取可判断C
【详解】选项A，由都在单调递增，故在单调递增，因此在上当时取得最大值，选项A错误；
选项B，当时，，故，当且仅当，即时等号成立，由于，故最小值3取不到，选项B错误；
选项C，令，此时，不成立，故C错误；
选项D，当时，，故，当且仅当，即时，等号成立，故成立，选项D正确
故选：D
3、B
【解析】由已知利用对数的运算可得tanθ，再利用倍角公式及同角三角函数基本关系的运用化简即可求值
【详解】解：∵点（8，tanθ）在函数y＝的图象上，tanθ，
∴解得：tanθ＝3，
∴2tanθ＝6，
故选B
【点睛】本题主要考查了对数的运算性质，倍角公式及同角三角函数基本关系的运用，属于基础题
4、C
【解析】①当，，且，则，反之当，必有.
②当，，且，则，反之，若，则，
，所以.
③当，则；反之，，.
综上所述，“存在集合使得是“”的充要条件.
考点：集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题.
5、C
【解析】由题意分别计算出集合的补集和集合，然后计算出结果.
【详解】解：∵A＝（1，3），∴＝（﹣∞，1]∪[3，＋∞），
∵，∴x﹣2＞0，∴x＞2，∴B＝（2，＋∞），
∴（﹣∞，1]∪（2，＋∞），
故选：C
6、C
【解析】利用诱导公式证明可判断A；利用可判断B；利用三角函数的性质可判断C；利用复合函数的单调性可判断D.
【详解】对于A，
，
所以的图象关于直线对称，故A正确；
对于B，
，
所以的一个周期是，故B正确；
对于C，，所以的最大值为，
当时，，取得最大值，
所以的最大值为，故C不正确；
对于D，在上单调递增，，
在上单调递增，
在上单调递减，，
根据复合函数的单调性易知，在上单调递增，
所以是区间上的增函数，故D正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是熟练掌握函数对称性及周期性的判定及三角函数的图象与性质.
7、C
【解析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.
8、A
【解析】本题首先可以去绝对值，将函数变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图像即可得出答案.
【详解】由题意可得：

，
即可绘出函数图像，如下所示：

故对称轴为，A正确；
由图像易知，函数在上单调递增，上单调递减，B错误；
要使，则，
由图象可得或、或，
故或或，C错误；
当时，函数取最小值，最小值，D错误，
故选：A
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考查分段函数，考查数形结合思想，是难题.
9、D
【解析】选项，连接，，因为，所以直线与直线所成的角为，故错；选项，因为平面,故为直线与平面所成的角，根据题意；选项，因为平面,所以，故二面角的平面角为，故错；用排除法，选

故选：D
10、B
【解析】通过计算，判断出零点所在的区间.
【详解】由于，，，故零点在区间，故选B.
【点睛】本小题主要考查零点的存在性定理的应用，考查函数的零点问题，属于基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】.
故答案为1
12、
【解析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，
又由方程有4个不同的实数根，
即函数的图象与有四个不同的交点，
可得，且，
则=，
因为，则，所以.
故答案为.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
13、 ①.25 ②.4
【解析】根据条件所给的茎叶图看出分数在[50，60)之间的频数，由频率分布直方图看出分数在[50，60)之间的频率和[90，100)之间的频率一样，继而得到参加测试的总人数及分数在[80，90)之间的人数.
【详解】成绩在[50，60) 内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同样有2人，
由，解得n=25，成绩在[80，90)之间的人数为25- (2+7+10+2) =4人，
所以参加测试人数n=25，分数在[80，90) 的人数为4人.
故答案为：25；4
【点睛】本题主要考查茎叶图、频率分布直方图，样本的频率分布估计总体的分布，属于容易题.
14、
【解析】，
又，∴，∴
故答案为
15、 [-，-）∪（，]
【解析】利用周期与对称性得出f（x）的函数图象，根据交点个数列出不等式得出k的范围
【详解】∵当x＞2时，f（x）=f（x-1），∴f（x）在（1，+∞）上是周期为1的函数，作出y=f（x）的函数图象如下：

∵方程f（x）=kx恰有3个不同的根，∴y=f（x）与y=kx有三个交点，若k＞0，则若k＜0，由对称性可知.
故答案为[-，-）∪（，].
【点睛】本题考查了函数零点与函数图象的关系，函数周期与奇偶性的应用，方程根的问题常转化为函数图象的交点问题，属于中档题
16、
【解析】根据两直线垂直的等价条件列方程，解方程即可求解.
【详解】因为直线与垂直，
所以，解得：，
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】求函数定义域得，解不等式得，进而得，再结合题意，分和两种情况求解即可.
【详解】解：由，解得，所以，
因为，解得，所以
所以
因为，
所以，当时，，解得
时，可得，解得：
综上可得：实数a的取值范围是
18、（1）；；；（2）①；②
【解析】（1）利用三角函数的定义即可求解.
（2）求出，再利用齐次式即可求解.
【详解】（1）是角终边上一点，
则，
，
.
（2）由，则，
①.
②

19、（1）；（2）证明见解析；（3）存在，为中点，证明见解析.
【解析】（1）由等腰三角形三线合一性质和面面垂直性质定理可证得平面，由棱锥体积公式可求得结果；
（2）连结交于点，由三角形中位线性质可证得，由线面平行判定定理可得到结论；
（3）当为中点时，由正方形的性质、线面垂直的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）为中点，为正三角形，.
平面平面，平面平面，平面，
平面.
,,.
（2）证明：连结交于点，连结.
由四边形为正方形知点为的中点，又为的中点，，
平面，平面，平面.
（3）存在点，当为中点时，平面平面.
证明如下：因为四边形是正方形，为的中点，
，
由(1)知：平面，平面，，
又，平面.
平面，平面平面.

【点睛】关键点点睛：本题第三问考查了与面面垂直有关的存在性问题的处理，解题关键是能够根据平面确定只要在上，必有，由此只需找到与面中的另一条与相交的直线垂直即可，进而锁定的位置.
20、 (1)见解析(2) 时，.(3)
【解析】（1）根据确定a.再任取两数，作差，通分并根据分子分母符号确定差的符号，最后根据定义确定函数单调性（2）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，都可化为二次函数，再根据对称轴与定义区间位置关系确定最值，最后取两个最大值中较大值（3）先对方程变形得，设,转化为方程方程在有两个不等的根，根据二次函数图像，得实根分布条件，解得实数m的取值范围.
试题解析：(1) 由，得或0.
因为，所以，所以.
当时，，任取，且，
则，
因为，则，，
所以在上为增函数；
（2），
当时，，
因为，所以当时，；
当时，，
因为时，所以，所以当时，；
综上，当即时，.
（3）由（1）可知，在上为增函数,当时，.
同理可得在上为减函数，当时，.
方程可化为，
即.
设,方程可化为.
要使原方程有4个不同的正根，
则方程在有两个不等的根，
则有，解得，
所以实数m的取值范围为.
21、（1）．（2）3月、4月、9月、10月
【解析】（1）利用五点法求出函数解析式；
（2）解不等式可得结论
【详解】（1）由题意，，，，又，而，∴
∴
（2）由，解得或
或，又，∴3，4，9，10
∴全年月平均气温低于但又不低于的是3月、4月、9月、10月
【点睛】方法点睛：本题三角函数应用，解题关键是根据已知函数模型求出函数解析式，掌握五点法是解题基础，然后根据函数解析式列式（方程或不等式）计算求解