北京市西城区回民学校2025年数学高一第一学期期末复习检测试题含解析.doc

北京市西城区回民学校2025年数学高一第一学期期末复习检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.在数学学习中和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
2．函数的图象是（ ）
A. B.
C. D.
3．对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件是（）
A.①③ B.③⑤
C.①⑥ D.②④
4．已知函数f（x）=，若f（f（-1））=6，则实数a的值为（　　）
A.1 B.
C.2 D.4
5．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
6．为了得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A.向右平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向左平移个单位
7．若，则a，b，c的大小关系是（）
A. B.
C. D.
8．已知集合，，，则实数a的取值集合为（）
A. B.
C. D.
9．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
10．设全集U=N*，集合A={1，2，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）

A. B.4，
C. D.3，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则__________
12．已知函数，，其中表示不超过x的最大整数．例如：，，．①______；②若对任意都成立，则实数m的取值范围是______
13．已知，且.
（1）求的值；
（2）求的值.
14．若幂函数图像过点，则此函数的解析式是________.
15．已知是锐角，且sin＝，sin＝_________.
16．函数满足，则值为_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知角终边与单位圆交于点
（1）求的值；
（2）若，求的值.
18．已知函数为奇函数，且
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数在的单调性并证明；
（3）解关于的x不等式：
19．国际上常用恩格尔系数r来衡量一个国家或地区的人民生活水平．根据恩格尔系数的大小，可将各个国家或地区的生活水平依次划分为：贫困，温饱，小康，富裕，最富裕等五个级别，其划分标准如下表：
级别
贫困
温饱
小康
富裕
最富裕
标准
r＞60%
50%＜r≤60%
40%＜r＝50%
30%＜r≤40%
r≤30%
某地区每年底计算一次恩格尔系数，已知该地区2000年底的恩格尔系数为60%．统计资料表明：该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长．根据上述材料，回答以下问题.
（1）该地区在2010年底是否已经达到小康水平，说明理由；
（2）最快到哪一年底，该地区达到富裕水平？
参考数据：，，，
20．已知二次函数满足：，且该函数的最小值为1.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若函数的定义域为（其中），问是否存在这样的两个实数m，n，使得函数的值域也为A？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数，其中，且.
（1）求的值及的最小正周期；
（2）当时，求函数的值域.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值选出正确答案.
【详解】对于，
∵，
∴为偶函数，图像关于y轴对称，排除D；
由，排除B；
由，排除C.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
2、C
【解析】由已知可得，从而可得函数图象
【详解】对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.
即，故其图象应为C.
故选：C
3、C
【解析】利用三角函数值在各个象限的符号判断.
【详解】为第二象限角的充要条件是：①，④，⑥，
故选：C.
4、A
【解析】利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解函数值得到方程求解即可
【详解】函数f（x）=，若f（f（-1））=6，
可得f（-1）=4，f（f（-1））=f（4）=4a+log24=6，
解得a=1
故选A
【点睛】本题考查分段函数应用，函数值的求法，考查计算能力
5、A
【解析】当时,在上是增函数，且恒大于零，即
当时,在上是减函数，且恒大于零，即 ，因此选A
点睛:1．复合函数单调性的规则
若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”
函数单调性的性质
(1)若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；
(2)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反
6、A
【解析】根据函数平移变换的方法，由即，只需向右平移个单位即可.
【详解】根据函数平移变换,由变换为,
只需将的图象向右平移个单位，即可得到的图像，故选A.
【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.
7、A
【解析】根据题意，以及指数和对数的函数的单调性，来确定a，b，c的大小关系.
【详解】解：是增函数
，
是增函数.
，
又
，

【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数和对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.根据题意，构造合适的对数函数和指数函数，利用指数对数函数的单调性判定的范围是关键.
8、C
【解析】先解出集合A，再根据确定集合B的元素，可得答案.
【详解】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为,
故选:C.
9、A
【解析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.
【详解】解：方程
所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点
记，
画出函数简图如下
画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，
向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，
所以，即
故选A.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题
10、C
【解析】由集合，，结合图形即可写出阴影部分表示的集合
【详解】解：根据条件及图形，即可得出阴影部分表示的集合为 ，
故选．
【点睛】考查列举法的定义，以及图表示集合的方法,属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】设BC中点为M,则,所以P到BC的距离为点A到BC距离的，故
12、 ①. ②.
【解析】①代入，由函数的定义计算可得答案；
②分别计算时，时，时，时，时，时，时，的值，建立不等式，求解即可
【详解】解：①∵，
∴
②当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，
又对任意都成立，即恒成立，
∴，∴，∴实数m的取值范围是
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题考查函数的新定义，关键在于理解函数的定义，分段求值，建立不等式求解.
13、（1）
（2）
【解析】(1)根据，之间的关系，平方后求值即可；
（2）利用诱导公式化简后，再根据同角三角函数间关系求解.
【小问1详解】
∵
∴，

.
【小问2详解】
由,
可得或（舍），
原式,
∴原式.
14、
【解析】先用待定系数法设出函数的解析式，再代入点的坐标，计算出参数的值即可得出正确选项.
【详解】设幂函数的解析式为，
由于函数图象过点，故有，解得，
所以该函数的解析式是，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关应用待定系数法求幂函数的解析式的问题，属于基础题目.
15、
【解析】由诱导公式可求解.
【详解】由，
而.
故答案为：
16、
【解析】求得后，由可得结果.
【详解】，，.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或.
【解析】（1）首先根据三角函数的定义，求得三角函数值，再结合二倍角公式化简，求值；
（2）利用角的变换，利用两角和的余弦公式，化简求值.
【详解】解：由三角函数定义得，
（1）

（2）∵
∴
∴

当时

当时

18、（1）；
（2）在上单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】（1）由奇函数的定义有，可求得的值，又由，可得的值，从而即可得函数的解析式；
（2）任取，，且，由函数单调性的定义即可证明函数在上单调递增；
（3）由（2）知在上单调递增，因为为奇函数，所以在上也单调递增，又，从而利用单调性即可求解.
【小问1详解】
解：因为函数为奇函数，定义域为，
所以，即，
所以，又，所以，
所以；
【小问2详解】
解：在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则，
又，，且，
所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增；
【小问3详解】
解：由（2）知在上单调递增，
因为为奇函数，所以在上也单调递增，
令，解得或
因为，且，
所以，
所以，解得，又，
所以原不等式的解集为.
19、（1）已经达到，理由见解析
（2）2022年
【解析】（1）根据该地区食物支出金额年平均增长4%，总支出金额年平均增长的比例列式求解，判断十年后是否达到即可.
（2）假设经过n年，该地区达到富裕水平，列式，利用指对数互化解不等式即可.
【小问1详解】
该地区2000年底的恩格尔系数为%，
则2010年底的思格尔系数为

因为
所以1，
则
所以
所以该地区在2010年底已经达到小康水平
【小问2详解】
从2000年底算起，设经过n年，该地区达到富裕水平
则，
故，即
化为
因为，则In，所以
因为

所以
所以，最快到2022年底，该地区达到富裕水平
20、（1）；（2）存在，，.
【解析】（1）设，由，求出值，可得二次函数的解析式；
（2）分①当时，②当时，③当时，三种情况讨论，可得存在满足条件的，，其中，
【详解】解：（1）依题意，可设，
因，代入得，
所以.
（2）假设存在这样m，n，分类讨论如下：
当时，依题意，即两式相减，整理得
，代入进一步得，产生矛盾，故舍去；
当时，依题意，
若，，解得或（舍去）；
若，，产生矛盾，故舍去；
当时，依题意，即
解得，产生矛盾，故舍去
综上：存在满足条件的m，n，其中，
21、（1），
（2）
【解析】(1)利用两角和正弦公式和辅助角公式化简，结合条件可求函数解析式，由周期公式求周期；(2)利用不等式的性质和正弦函数的性质求函数的值域.
【小问1详解】

因为，故，解得
因为，故.
则的最小正周期为.
【小问2详解】
因为，所以，
则，
所以，
故函数的值域为.