2025年重庆江津长寿綦江等七校联盟高一上数学期末达标检测模拟试题含解析.doc

2025年重庆江津长寿綦江等七校联盟高一上数学期末达标检测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若定义在上的函数的值域为，则取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2．已知四面体中，，分别是，的中点，若，，，则与所成角的度数为

A. B.
C. D.
3．直线在轴上的截距是
A. B.
C. D.
4．若，，且，则
A. B.
C. D.
5．函数在上的图象为　　
A. B.
C. D.
6．在平面直角坐标系中，设角的终边上任意一点的坐标是，它与原点的距离是，规定：比值叫做的正余混弦，记作.若，则（）
A. B.
C. D.
7．若，则的可能值为（ ）
A.0 B.0，1
C.0，2 D.0，1，2
8．若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）
A. B.
C. D.
9．已知,，则的值约为（精确到）（）
A. B.
C. D.
10．已知向量，满足，，且与夹角为，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________.
12．若点在函数的图象上，则的值为______.
13．已知函数,现有如下几个命题：
①该函数为偶函数； 
②是该函数的一个单调递增区间；
③该函数的最小正周期为；
④该函数的图像关于点对称；
⑤该函数值域为.
其中正确命题的编号为 ______
14．的化简结果为____________
15．已知函数，若，则的取值范围是__________
16．一个底面积为1的正四棱柱的八个顶点都在同一球面上，若这个正四棱柱的高为，则该球的表面积为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是偶函数，是奇函数.
（1）求，的值；
（2）判断的单调性；（不需要证明）
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
18．运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元．（不考虑其他因所素产生的费用）
（1）求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式；
（2）当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值
19．假设你有一笔资金用于投资，年后的投资回报总利润为万元，现有两种投资方案的模型供你选择.
（1）请在下图中画出的图像；

（2）从总利润的角度思考，请你选择投资方案模型.
20．（1）若正数a，b满足，求的最小值，并求出对应的a，b的值；
（2）若正数x，y满足，求的取值范围
21．已知角终边与单位圆交于点
（1）求的值；
（2）若，求的值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】作函数图象，观察图象确定m的范围.
【详解】函数的图象是对称轴为，顶点为的开口向上的抛物线，当时，；当时，.
作其图象，如图所示：

又函数在上值域为，
所以观察图象可得
∴取值范围是，
故选：C.
2、D
【解析】取的中点，连接，，则（或补角）是与所成的角，利用勾股定理可求该角为直角.
【详解】
如图，取的中点，连接，，则，，
（或补角）是与所成的角，
，，
，，而，所以，.
故选：D.
【点睛】本题考查异面直线所成的角，此类问题一般需要通过平移构建平面角，再利用解三角形的方法求解.
3、B
【解析】由题意，令，则，即，所以直线在轴上的截距为，故选B.
4、A
【解析】∵，
∴2既是方程的解，又是方程的解
令a是方程的另一个根，b是方程的另一个根
由韦达定理可得：
2×a=6，即a=3，∴2+a=p，∴p=5
2+b=−6，即b=−8，∴2×b=−16=−q，∴q=16
∴p+q=21
故选：A
5、B
【解析】直接利用函数的性质奇偶性求出结果
【详解】函数的解析式满足，则函数为奇函数，排除CD选项，
由可知： ，排除A选项.
故选B.
【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用．属中档题.
6、D
【解析】由可得出，根据题意得出，结合可得出关于和的方程组，解出这两个量，然后利用商数关系可求出的值.
【详解】，则，由正余混弦的定义可得.
则有，解得，因此，.
故选：D.
【点睛】本题考查三角函数的新定义，涉及同角三角函数基本关系的应用，根据题意建立方程组求解和的值是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
7、C
【解析】根据，分，，讨论求解.
【详解】因为，
当时，集合为，不成立；
当时，集合为，成立；
当时，则（舍去）或，
当时，集合为
故选：C
8、C
【解析】根据函数的单调性得到关于k的不等式组，解出即可
【详解】解：f（x）＝＝1+，
若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
则，故k≤﹣2，
故选：C
9、B
【解析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解.
【详解】.
故选：B
10、D
【解析】根据向量的运算性质展开可得，再代入向量的数量积公式即可得解.
【详解】根据向量运算性质，

，
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意得出方程有唯一实数解或有两个相等的实数解，然后讨论并求解当和时满足题意的参数的值.
【详解】∵集合A有且仅有2个子集，可得A中仅有一个元素，即方程仅有一个实数解或有两个相等的实数解.
当时，方程化为，∴，此时，符合题意；
当时，则由，，令时解方程得，此时，符合题意，令时解方程得，此时符合题意；
综上可得满足题意的参数可能的取值有0，-1，1，∴a的取值构成的集合为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了由集合子集的个数求参数的问题，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.
12、
【解析】将点代入函数解析式可得的值，再求三角函数值即可.
【详解】因为点在函数的图象上，所以，解得，
所以，
故答案为：.
13、②③
【解析】由于为非奇非偶函数, ①错误.,此时,其在上为增函数, ②正确.由于,所以函数最小正周期为,③正确.由于,故④正确.当时,,故⑤错误.综上所述,正确的编号为②③.
14、18
【解析】由指数幂的运算与对数运算法则，即可求出结果.
【详解】因为.
故答案为18
【点睛】本题主要考查指数幂运算以及对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.
15、
【解析】画出函数图象，可得，，再根据基本不等式可求出.
【详解】画出的函数图象如图，不妨设，
因为，则由图可得，
，可得，即，
又，当且仅当取等号，因为，所以等号不成立，
所以解得，即的取值范围是.
故答案为：.

16、
【解析】底面为正方形，对角线长为.故圆半径为，故球的表面积为.
【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题.解决与几何体外接球有关的数学问题时，主要是要找到球心所在的位置，并计算出球的半径.寻找球心的一般方法是先找到一个面的外心，如本题中底面正方形的中心，球心就在这个外心的正上方，根据图形的对称性，易得球心就在正四棱柱中间的位置.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），
（2）单调递增
（3）
【解析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求，的值；
（2）根据指数函数的单调性即可判断的单调性；
（3）根据函数的单调性将不等式在上恒成立，进行转化，即可求实数的取值范围
【小问1详解】
解：因为是偶函数，
所以，即，
则，即，
所以，即，解得
若是奇函数，
又定义域为，则，即，解得；
【小问2详解】
解：因为，所以，
因为函数单调递增，函数单调递减，所以单调递增；
小问3详解】
解：由（2）知单调递增；
则不等式在上恒成立，
等价为在上恒成立，
即在上恒成立，
则，
设，则在上单调递增，
∴，
则，
所以实数的取值范围是．
18、（1）
（2）当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元
【解析】（1）先得到行车所用时间，再根据汽车每小时耗油费用和司机的工资求解；
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：行车所用时间，汽油每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元，
所以行车总费用为：；
【小问2详解】
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.
19、（1）作图见解析（2）答案不唯一，具体见解析
【解析】（1）根据指数函数描出几个特殊点，用平滑的曲线连接即可.
（2）结合（1）中的图像，分析可得对于不同的值进行讨论即可求解.
【详解】（1）

（2）由图可知当时，；
当时，
当时，；
当时，；
当时，；
所以当资金投资2年或4年时两种方案的回报总利润相同；
当资金投资2年以内或4年以上，按照模型回报总利润为最大；
当资金投资2年以上到4年以内，按照模型回报总利润最大.
【点睛】本题考查了指数函数、二次函数模型的应用，属于基础题.
20、（1）当且仅当时，取得最小值为18 ；（2）
【解析】（1）化简得，再利用基本不等式求最值；
（2）由题得，再解一元二次不等式得解.
【详解】（1）原式，
当且仅当时取等号，
所以最小值为18.
（2），
即，即，解得，
所以，当且仅当取等号
所以的取值范围为
21、（1）；（2）或.
【解析】（1）首先根据三角函数的定义，求得三角函数值，再结合二倍角公式化简，求值；
（2）利用角的变换，利用两角和的余弦公式，化简求值.
【详解】解：由三角函数定义得，
（1）

（2）∵
∴
∴

当时

当时