2025-2026学年内蒙古师范大学锦山实验中学高一上数学期末教学质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年内蒙古师范大学锦山实验中学高一上数学期末教学质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知矩形，，，沿矩形的对角线将平面折起，若四点都在同一球面上，则该球面的面积为（ ）
A. B.
C. D.
2．已知为平面，为直线，下列命题正确的是
A.，若，则
B.，则
C.，则
D.，则
3．对于实数a，b，c下列命题中的真命题是(　　)
A.若a＞b，则ac2＞bc2 B.若a＞b＞0，则
C.若a＜b＜0，则 D.若a＞b，，则a＞0，b＜0
4．若，则的最小值是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
5．已知六边形是边长为1的正六边形，则的值为
A. B.
C. D.
6．如图，在平面四边形ABCD，，，，．若点E为边上的动点，则的取值范围为（）

A. B.
C. D.
7．下列命题中，其中不正确个数是
①已知幂函数的图象经过点，则
②函数在区间上有零点，则实数的取值范围是
③已知平面平面，平面平面，，则平面
④过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若有，则点是的内心
A.1 B.2
C.3 D.4
8．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．若函数在定义域上的值域为，则（ ）
A. B.
C. D.
10．下列函数中，以为最小正周期的偶函数是（）
A.y=sin2x+cos2x
B.y=sin2xcos2x
C.y=cos（4x+）
D.y=sin22x﹣cos22x
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________
12．若，则___________.
13．已知函数的零点为，不等式的最小整数解为，则__________
14．设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________.
15．函数在上存在零点，则实数a的取值范围是______
16．对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：
①在区间上是单调递增的；②当时，函数的值域也是，则称是函数的一个“递增黄金区间”.下列函数中存在“递增黄金区间”的是：___________.（填写正确函数的序号）
①；②；③；④.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且
求函数的定义域；
求满足实数x的取值范围
18．已知函数的图象的对称中心到对称轴的最小距离为.
（1）求函数的解析式，并写出的单调区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值以及相对应的x值.
19．已知角的终边经过点
（1）求的值；
（2）求的值
20．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.
（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
（2）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
21．已知函数（0＜ω＜6）的图象的一个对称中心为
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】矩形ABCD,AB=6，BC=8，矩形的对角线AC=10为该球的直径，所以该球面的面积为.
故选C.
2、D
【解析】选项直线有可能在平面内；选项需要直线在平面内才成立；选项两条直线可能异面、平行或相交.选项符合面面平行的判定定理，故正确.
3、D
【解析】逐一分析选项，得到正确答案.
【详解】A.当时，，所以不正确；
B.当时，，所以不正确；
C.，当时，
，
，即，所以不正确；
D.，

，即，
所以正确.
故选D.
【点睛】本题考查不等式性质的应用，比较两个数的大小，1.做差法比较；2.不等式性质比较；3.函数单调性比较.
4、C
【解析】采用拼凑法，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3.
故选：C
5、D
【解析】如图，，选D.

6、A
【解析】由已知条件可得，设，则，由，展开后，利用二次函数性质求解即可.
【详解】∵
,
因为，，，
所以，
连接，因为，

所以≌，
所以，
所以，则，
设，则，
∴，，，，
所以，
因为，
所以.
故选：A
7、B
【解析】①

②因为函数在区间上有零点，所以 或,即
③平面平面，平面平面，，在平面内取一点P作PA垂直于平面与平面的交线, 作PB垂直于平面,则所以平面
④因为,且,所以,即是的外心
所以正确命题为①③,选B
8、C
【解析】由已知可得．再由由点在圆内部或圆上可得．由此可解得点在以和为端点的线段上运动．由表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项
【详解】函数恒过定点．将点代入直线可得，即
由点在圆内部或圆上可得，
即．或．所以点在以和为端点的线段上运动
表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以
故选：C

【点睛】关键点点睛：解决本题类型的问题，关键在于由已知条件得出所满足的可行域，以及明确所表示的几何意义.
9、A
【解析】的对称轴为，且，然后可得答案.
【详解】因为的对称轴为，且
所以若函数在定义域上的值域为，则
故选：A
10、D
【解析】A中，周期为,不是偶函数；
B中，周期为，函数为奇函数；
C中，周期为，函数为奇函数；
D中，周期为，函数为偶函数

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.
【详解】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.
故答案为：.
12、1
【解析】由已知结合两角和的正切求解
【详解】由，可知tan（α+β）＝1，得，
即tanα+tanβ＝，
∴
故答案为1
【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，是基础的计算题
13、8
【解析】利用单调性和零点存在定理可知，由此确定的范围，进而得到.
【详解】函数为上的增函数，，，
函数的零点满足，，
的最小整数解
故答案为：.
14、
【解析】根据题意依次按“势”从小到大顺序排列，得到答案.
【详解】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：
，，，，，，，.
故排在第6的子集为.
故答案为：
15、
【解析】由可得，求出在上的值域，则实数a的取值范围可求
【详解】由，得，即
由，得，
又∵函数在上存在零点，

即实数a的取值范围是
故答案为
【点睛】本题考查函数零点的判定，考查函数值域的求法，是基础题
16、②③
【解析】由条件可得方程有两个实数解，然后逐一判断即可.
【详解】∵在上单调递增，由条件②可知，即方程有两个实数解；
∵x+1=x无实数解，∴①不存在“递增黄金区间”；
∵的两根为：1和2，不难验证区间[1，2]是函数的一个“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

由图可得方程有两个根，∴③也存在“递增黄金区间”；
在同一坐标系中画出与的图象如下：

所以没有实根，∴④不存在.
故答案为：②③.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）见解析.
【解析】由题意可得，，解不等式可求；由已知可得，结合a的范围，进行分类讨论求解x的范围
【详解】（1）由题意可得，，
解可得，，
函数的定义域为，
由，
可得，
时，，
解可得，，
时，，
解可得，
【点睛】本题主要考查了对数函数的定义域及利用对数函数单调性求解对数不等式，体现了分类讨论思想的应用，属于基础试题
18、（1），增区间为，，减区间为，；
（2）最小值为，此时；最大值为，此时.
【解析】（1）根据题意求得的最小正周期，即可求得与解析式，再求函数单调区间即可；
（2）根据（1）中所求，可得在区间的单调性，结合单调性，即可求得函数的最值以及对应的值.
【小问1详解】
设的周期为T，则，所以，即，
所以函数的解折式是.
令，解得，
故的增区间为，，
令，解得，
的减区间为，.
【小问2详解】
由（1）可知，的减区间为，，
单调增区间为，，
又因为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
又因为，
所以，，
故函数在区间上的最小值为，此时，最大值为.此时.
19、（1），， ；
（2）.
【解析】（1）直接利用三角函数的坐标定义求解；
（2）化简，即得解.
【小问1详解】
解：，
有，，；
【小问2详解】
解：，
将代入，可得
20、（1）函数模型①，函数模型②
（2）函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500
【解析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；
（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.
【小问1详解】
对于函数模型①：把及相应y值代入得
解得，所以.
对于函数模型②：把及相应y值代入得
解得，所以.
【小问2详解】
对于模型①，当时，，当时，，故模型①不符合观测数据；
对于模型②，当时，，当时，，符合观测数据，
所以函数模型②更合适
要使，则，
即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.
21、（1）；（2）[]，k∈Z；（3）最大值为10，最小值为
【解析】（1）先降幂化简原式，再利用对称中心求得ω，进而得周期；
（2）利用正弦函数的单调区间列出不等式即可得解；
（3）利用（2）的结论，确定所给区间的单调性，再得最值
【详解】解：（1）
=4sin（sincos-cossin）-1
=2sin2-1-2sincos
=-cosωx-sinωx
=-2sin（ωx），
∵是对称中心，
∴-，
得ω=2-12k，k∈Z，
∵0＜ω＜6，
∴k=0，ω=2，
∴，
其最小正周期为π；
（2）由，
得，
∴f（x）的单调递增区间为：[]，k∈Z，
（3）由（2）可知，
f（x）在[]递减，在[]递增，
可知当x=时得最大值为0；
当x=时得最小值
故f（x）在区间[]上的最大值为0，最小值为
【点睛】此题考查了三角函数式的恒等变换，周期性，单调性，最值等，属于中档题