河北省衡水市安平县安平中学2025-2026学年数学高一上期末质量跟踪监视试题含解析.doc

河北省衡水市安平县安平中学2025-2026学年数学高一上期末质量跟踪监视试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．给出下列四个命题：
①若，则对任意的非零向量，都有
②若，，则
③若，，则
④对任意向量都有
其中正确的命题个数是（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
2．函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）＞f(﹣m+9），则实数m的取值范围是（　　）
A.(﹣∞，﹣3) B.(0，+∞)
C.(3，+∞) D.(﹣∞，﹣3)∪(3，+∞)
3．已知函数，，的零点分别为则的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
4．若曲线与直线始终有交点，则的取值范围是
A. B.
C. D.
5．已知函数的零点，（），则（）
A. B.
C. D.
6．当时，若，则的值为
A. B.
C. D.
7．已知角是的内角，则“”是“”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
8．已知空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点的坐标为
A. B.
C. D.
9．当时，函数（，），取得最小值，则关于函数，下列说法错误的是（ ）
A.是奇函数且图象关于点对称
B.偶函数且图象关于点（π，0）对称
C.是奇函数且图象关于直线对称
D.是偶函数且图象关于直线对称
10．若偶函数在区间上是减函数，是锐角三角形的两个内角，且，则下列不等式中正确的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数集合，若集合中有3个元素，则实数的取值范围为________
12．边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________
13．已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则__________
14． =_______.
15．如图，单位圆上有一点，点P以点P0为起点按逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后点P的纵坐标y是_____________.

16．已知函数，若时，恒成立，则实数k的取值范围是_____.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，其中.
（1）当时，求的值域和单调区间；
（2）若存在单调递增区间，求a的取值范围.
18．已知函数
（1）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
（2）求在区间上的值域
19．已知不等式的解集为或.
（1）求b和c的值；
（2）求不等式的解集.
20．设全集为，集合，
（1）分别求，；
（2）已知，若，求实数的取值范围构成的集合
21．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示

（1）求函数的解析式；
（2）若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】对于①，当两向量垂直时，才有；对于②，当两向量垂直时，有，但不一定成立；对于③，当，时，可以是任意向量；对于④，当向量都为零向量时，
【详解】解：对于①，因为，，所以当两向量垂直时，才有，所以 ①错误；
对于②，因为，，所以或，所以②错误；
对于③，因为，所以，所以可以是任意向量，不一定是相等向量，所以③错误；
对于④，当时，，所以④错误，
故选：D
2、C
【解析】根据增函数的定义求解
【详解】解：∵函数y＝f（x）在R上为增函数，且f（2m）f（﹣m+9），
∴2m﹣m+9，解得m3，
故选：C
3、C
【解析】利用数形结合，画出函数的图象，判断函数的零点的大小即可
【详解】函数，，的零点转化为，，与的图象的交点的横坐标，因为零点分别为
在坐标系中画出，，与的图象如图：
可知，，，
满足
故选：

4、A
【解析】本道题目先理解的意义，实则为一个半圆，然后利用图像，绘制出该直线与该圆有交点的大致位置，计算出b的范围，即可.
【详解】
要使得这两条曲线有交点，则使得直线介于1与2之间，已知1与圆相切，2过点（1，0），则b分别为，故，故选A.
【点睛】本道题目考查了圆与直线的位置关系，做此类题可以结合图像，得出b的范围．
5、D
【解析】将函数化为，根据二次函数的性质函数的单调性，利用零点的存在性定理求出两个零点的分布，进而得出零点的取值范围，依次判断选项即可.
【详解】由题意知，
，
则函数图象的对称轴为，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，
，，
所以，
因为，，
所以，
所以，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D
6、A
【解析】分析：首先根据题中所给的角的范围，求得相应的角的范围，结合题中所给的角的三角函数值，结合角的范围，利用同角三角函数的平方关系式，求得相应的三角函数值，之后应用诱导公式和同角三角函数商关系，求得结果.
详解：因为，所以，
所以，因为，
所以，
所以，所以
，所以答案是，故选A.
点睛：该题考查的是有关三角恒等变换问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式中的平方关系和商关系，以及诱导公式求得结果.
7、C
【解析】在中，由求出角A，再利用充分条件、必要条件的定义直接判断作答.
【详解】因角是的内角，则，
当时，或，即不一定能推出，
若，则，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
8、C
【解析】∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z），
∴点关于z轴的对称点的坐标为：
故选：C
9、C
【解析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.
【详解】因为当时，函数取得最小值，
所以，因为，
所以令，即，所以，
设，
因为，
所以函数是奇函数，因此选项B、D不正确；
因为，，
所以，因此函数关于直线对称，因此选项A不正确，
故选：C
10、C
【解析】根据，可得，根据的单调性，即可求得结果.
【详解】因为是锐角三角形的两个内角，故可得，
即，又因为，故可得；
是偶函数，且在单调递减，
故可得在单调递增，
故.
故选：C.
【点睛】本题考查由函数奇偶性判断函数的单调性，涉及余弦函数的单调性，属综合中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、或
【解析】令，记的两根为，由题知的图象与直线共有三个交点，从而转化为一元二次方程根的分布问题，然后可解.
【详解】令，记的零点为，
因为集合中有3个元素，所以的图象与直线共有三个交点，
则，或或
当时，得，，满足题意；
当时，得，，满足题意；
当时，，解得.
综上，t的取值范围为或.
故答案为：或

12、2
【解析】

取的中点，连接，，
则，
则为二面角的平面角

点睛：取的中点，连接，，根据正方形可知，，则为二面角的平面角，在三角形中求出的长．本题主要是在折叠问题中考查了两点间的距离．折叠问题要注意分清在折叠前后哪些量发生了变化，哪里量没变
13、
【解析】设BC中点为M,则,所以P到BC的距离为点A到BC距离的，故
14、##
【解析】利用对数的运算法则进行求解.
【详解】
.
故答案为：.
15、##
【解析】根据单位圆上点的坐标求出，从而求出，从而求出点P的纵坐标.
【详解】因为位于第一象限，且，故，所以，故，所以点P的纵坐标
故答案为：
16、
【解析】当时，，
当时，，
又，
如图所示：

当时，在处取得最大值，且，
令，则数列是以1为首项，以为公比的等比数列，
∴，∴，
若时，恒成立，只需，当上，均有恒成立，
结合图形知：，∴，∴，
令，，
当时，，∴，∴，
当时，，，∴，
∴最大，∴，∴.
考点：1.函数图像；2.恒成立问题；3.数列的最值.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析（2）
【解析】（1）利用换元法设，求出的范围，再由对数函数的性质得出值域，再结合复合函数的单调性得出的单调区间；
（2）分别讨论，两种情况，结合复合函数的单调性以及二次函数的性质得出a的取值范围.
【详解】（1）当时，
设，由，解得
即函数的定义域为，此时
则，即的值域为
要求单调增（减）区间，等价于求的增（减）区间
在区间上单调递增，在区间上单调递减
在区间上单调递增，在区间上单调递减
（2）当时，存在单调递增区间，则函数存在单调递增区间
则判别式，解得或（舍）
当时，存在单调递增区间，则函数存在单调递减区间
则判别式，解得或，此时不成立
综上，a的取值范围为
【点睛】关键点睛：本题主要考查了对数型复合函数的单调性问题，解题的关键在于利用复合函数单调性的性质进行求解.
18、（1）在区间上单调递增，证明见解析
（2）
【解析】（1）利用定义法，设出，通过做差比较的大小，即可证明；
（2）根据第（1）问得到在区间上的单调性，在区间直接赋值即可求解值域.
【小问1详解】
在区间上单调递增，证明如下：
，且，有

因为，且，所以，
于是，即
故在区间上单调递增
【小问2详解】
由第（1）问结论可知，因为在区间上单调递增,

，
所以在区间上的值域为
19、（1）；；（2）
【解析】（1）利用二次不等式的解集与相应的二次方程的根的关系，判断出1，2是相应方程的两个根，利用韦达定理求出，的值
（2）将，的值代入不等式，将不等式因式分解，求出二次不等式的解集
【详解】解：（1）不等式的解集为或
，2是方程的两个根
由根与系数的关系得到：；；
（2）因为，所以
所以，所以
所以的解集为
20、（1），或或；（2）
【解析】（1）解一元二次不等式求得集合，由交集、并集和补集的概念计算可得结果；
（2）根据集合的包含关系可构造不等式组求得结果.
【详解】（1），则或，
，或或；
（2），，，解得：，
则实数的取值范围构成的集合为.
21、（1）
（2）
【解析】（1）利用可求时的解析式，当时，利用奇偶性可求得时的的解析式，由此可得结果；
（2）作出图象，将问题转化为与有个交点，数形结合可得结果.
【小问1详解】
由图象知：，即，解得：，当时，；
当时，，，
为上的偶函数，当时，；
综上所述：；
【小问2详解】
为偶函数，图象关于轴对称，可得图象如下图所示，

有个不相等的实数根，等价于与有个不同的交点，
由图象可知：，即实数的取值范围为.