天津耀华中学2025-2026学年高一数学第一学期期末联考试题含解析.doc

天津耀华中学2025-2026学年高一数学第一学期期末联考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．设θ为锐角，，则cosθ=（　　）
A. B.
C. D.
2．平行四边形中，，，，点满足，则　　
A.1 B.
C.4 D.
3．已知集合，，则　　
A. B.
C. D.
4．已知命题，；命题，．若，都是假命题，则实数的取值范围为（）
A. B.
C.或 D.
5．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A. B.
C. D.
6．若角的终边过点，则
A. B.
C. D.
7．已知函数，则的值是
A. B.
C. D.
8．若，则下列不等式一定成立的是（）
A. B.
C. D.
9．已知，分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
10．已知函数的图像过点和，则在定义域上是
A.奇函数 B.偶函数
C.减函数 D.增函数
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若则______
12．已知函数是R上的减函数，则实数a的取值范围为_______
13．已知角的终边过点，则_______
14．角的终边经过点，且，则________.
15．空间直角坐标系中，点A（﹣1，0，1）到原点O的距离为_____
16．已知集合，，则集合中元素的个数为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数，且
（1）求a的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断
18．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
（1）证明：当时，；
（2）设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.
19．在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边过点
（1）求的值；
（2）求的值
20．已知是函数的零点，.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.
21．已知函数.
（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；
（2）记函数，证明：函数在上有唯一零点.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】为锐角，

故选
2、B
【解析】选取，为基向量，将，用基向量表示后，再利用平面向量数量积的运算法则求解数量积.
【详解】
，
，

，故选B
【点睛】本题考查了平面向量的运算法则以及向量数量积的性质及其运算，属中档题．向量的运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.
3、C
【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再根据集合的基本运算进行求解即可
【详解】因为，，
所以，
故选C
【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系.
4、B
【解析】写出命题p，q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案.
【详解】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：为真命题，
解得，
同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即为真命题，
所以，解得或，
综上：，
故选：B
【点睛】本题考查命题的否定，存在量词命题与全程量词命题的否定关系，考查分析理解，推理判断的能力，属基础题.
5、A
【解析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可
【详解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A正确
y＝sin（2x）＝cos2x，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B不正确；
y＝sin2x+cos2xsin（2x），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C不正确；
y＝sinx+cosxsin（x），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D不正确；
故选A
考点：三角函数的性质.
6、D
【解析】角的终边过点，
所以.
由角，得.
故选D.
7、B
【解析】直接利用分段函数，求解函数值即可
【详解】函数，
则f（1）+＝log210++1＝
故选B
【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力
8、B
【解析】对于ACD，举例判断即可，对于B，利用不等式的性质判断
【详解】解：对于A，令，，满足，但，故A错误，
对于B，∵，∴，故B正确，
对于C，当时，，故C错误，
对于D，令，，满足，而，故D错误.
故选：B.
9、B
【解析】由已知可得，，求得关于直线的对称点为，则，计算即可得出结果.
【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径
设关于直线的对称点为，则解得，
则
因为，分别在圆和圆上，所以，，
则
因为，所以
故选：B.
10、D
【解析】∵f（x）的图象过点（4，0）和（7，1），∴∴f（x）=log4（x-3）．∴f（x）是增函数．∵f（x）的定义域是（3，+∞），不关于原点对称．∴f（x）为非奇非偶函数
故选D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】
12、
【解析】由已知结合分段函数的性质及一次函数的性质，列出关于a的不等式，解不等式组即可得解.
【详解】因为函数是R上的减函数
所以需满足，解得，即
所以实数a的取值范围为
故答案为：
13、
【解析】由三角函数定义可直接得到结果.
【详解】的终边过点，
故答案为：.
14、
【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义直接计算
【详解】角的终边经过点，且，
解得.
故答案为：
15、
【解析】由空间两点的距离公式 计算可得所求值.
【详解】点到原点的距离为,
故答案为：.
【点睛】本题考查空间两点的距离公式的运用，考查运算能力，是一道基础题.
16、2
【解析】依题意，故，即元素个数为个.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）4（2）在区间上单调递减，证明见解析
【解析】（1）直接根据即可得出答案；
（2）对任意，且，利用作差法比较的大小关系，即可得出结论.
【小问1详解】
解：由得，解得；
【小问2详解】
解：在区间内单调递减，
证明：由（1）得，
对任意，且，
有，
由，，得，，又由，得，
于是，即，
所以在区间上单调递减
18、（1）证明见解析
（2）（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”
【解析】（1）利用来证得结论成立.
（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.
（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.
【小问1详解】
由已知当时，，
得，
所以当时，.
【小问2详解】
（i）时，假设存在，则由知，注意到，
故，所以在单调递增，
于是，即是方程的两个不等实根，
易知不是方程的根，
由已知，当时，，令，则有时，，即，
故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.
（ii）时，假设存在，则由知
若，则由，知，与值域是矛盾，
故不存在“和谐区间”，
同理，时，也不存在，
下面讨论，
若，则，故最小值为，于是，
所以，
所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.
若，当时，同理可得，舍去，
当时，在上单调递减，所以
，于是，
若即，则，故，
与矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知当时，，
因为，所以，从而，，从而，矛盾，
综上所述，有唯一的“和谐区间”.
【点睛】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.
19、（1）
（2）当时，；当时，
【解析】（1）根据三角函数的定义及诱导公式、同角三角函数基本关系化简求解；
（2）分，分别由定义求出三角函数值求解即可.
【小问1详解】
由角的终边过点，得，
所以
【小问2详解】
当时，，
所以
当时，，
所以
综上，当时，；
当时，
20、 (Ⅰ)1；(Ⅱ)；(Ⅲ)
【解析】Ⅰ利用是函数的零点，代入解析式即可求实数的值；Ⅱ由不等式在上恒成立，利用参数分类法，转化为二次函数求最值问题，即可求实数的取值范围；Ⅲ原方程等价于，利用换元法，转化为一元二次方程根的个数进行求解即可
【详解】Ⅰ是函数的零点，
，得；
Ⅱ，，
则不等式在上恒成立，
等价为，
，
同时除以，得，
令，则，
，，
故的最小值为0，
则，即实数k的取值范围；
Ⅲ原方程等价为，
，
两边同乘以得，
此方程有三个不同的实数解，
令，则，
则，
得或，
当时，，得，
当，要使方程有三个不同的实数解，
则必须有有两个解，
则，得
【点睛】本题主要考查函数与方程根的问题，利用换元法结合一元二次方程根的个数，以及不等式恒成立问题，属于难题.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
21、（1）在上单调递增，证明见解析；
（2）证明见解析.
【解析】（1）根据题意，结合作差法，即可求证；
（2）根据题意，结合单调性与零点存在性定理，即可求证.
【小问1详解】
函数在上单调递增.
证明：任取，则，
因为，所以，所以，
即，因此，故函数在上单调递增.
【小问2详解】
证明：因为，，
所以由函数零点存在定理可知，函数在上有零点，
因为和都在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
故函数在上有唯一零点.