江苏省扬州市仪征中学2025年数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

江苏省扬州市仪征中学2025年数学高一第一学期期末综合测试试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（）

A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.c＞a＞b D.a＞c＞b
2．对于①，②，③，④，⑤，⑥，则为第二象限角的充要条件是（）
A.①③ B.③⑤
C.①⑥ D.②④
3．设，则“”是“”的（）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
4．函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
5．在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
6．函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于轴对称，则的最小值为（）

A. B.
C. D.
7．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为
A. B.
C. D.
8．已知点是角α的终边与单位圆的交点，则（）
A. B.
C. D.
9．函数的单调递增区间是
A. B.
C. D.
10．已知点，，，则的面积为（）
A.5 B.6
C.7 D.8
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式________
12．如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是________
13．设集合，,则_________
14．函数的定义域为__________.
15．在平面内将点绕原点按逆时针方向旋转，得到点，则点的坐标为__________
16．有一批材料可以建成360m长的图墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的小矩形如图所示，则围成场地的最大面积为______围墙厚度不计

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知是定义在上的偶函数，当时，.
（1）求在时的解析式；
（2）若，在上恒成立，求实数的取值范围.
18．已知二次函数满足条件和，
（1）求；
（2）求在区间（）上的最小值
19．求解下列问题
（1）化简（其中各字母均为正数）：；
（2）化简并求值：
20．已知函数，.
（1）用函数单调性的定义证明：是增函数；
（2）若，则当为何值时，取得最小值？并求出其最小值.
21．（附加题，本小题满分10分，该题计入总分）
已知函数，若在区间内有且仅有一个，使得成立，则称函数具有性质
（1）若，判断是否具有性质，说明理由；
（2）若函数具有性质，试求实数的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据对数函数的图象与单调性确定大小
【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.
故选：D
2、C
【解析】利用三角函数值在各个象限的符号判断.
【详解】为第二象限角的充要条件是：①，④，⑥，
故选：C.
3、C
【解析】根据一元二次不等式的解法，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.
【详解】由，
由不一定能推出，但是由一定能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：C
4、B
【解析】观察在上的图象，从而得到的取值范围.
【详解】解：观察在上的图象，
当时，或，
当时，，
∴的最小值为：，
的最大值为：，

∴的取值范围是
故选：B
【点睛】本题考查余弦函数的定义域和值域，余弦函数的图象，考查数形结合思想，属基础题
5、A
【解析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.
【详解】由中，，且边上一点满足，如图所示，
根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.

6、C
【解析】观察图象可得函数的最大值，最小值，周期，由此可求函数的解析式，根据三角函数变换结论，求出平移后的函数解析式，根据平移后函数图象关于轴对称，列方程求的值，由此确定其最小值.
【详解】根据函数的部分图象，
可得，，∴
因，可得，又，
求得，故
将的图象向右平移个单位长度后得到的函数的图象，
因为的图象关于直线轴对称，
故，即，
故的最小值为，
故选：C
7、D
【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积
【详解】根据题意，画出示意图如下图所示

因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题
8、B
【解析】根据余弦函数的定义直接进行求解即可.
【详解】因为点是角α的终边与单位圆的交点，
所以，
故选：B
9、D
【解析】
，选D.
10、A
【解析】设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，根据两点的距离公式求得|AB|，而AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，由点到直线的距离公式可求得选项
【详解】设AB边上的高为h，则S△ABC＝|AB|·h，而|AB|＝，AB边上的高h就是点C到直线AB的距离
AB边所在的直线方程为，即x＋y－4＝0.点C到直线x＋y－4＝0的距离为，
因此，S△ABC＝×2 ×＝5.
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】将点的坐标代入函数解析式，求出的值，由此可得出所求函数的解析式.
【详解】由已知条件可得，可得，因为且，所以，.
因此，所求函数解析式为.
故答案为：.
12、 (0,1)
【解析】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可.
【详解】结合二次函数的性质得得到，在-1和1处的函数值均小于0即可，实数m满足不等式组解得0<m<1.
故答案为(0,1)
【点睛】这个题目考查了二次函数根的分布的问题，结合二次函数的图像的性质即可得到结果,题型较为基础.
13、
【解析】根据集合的交集的概念得到.
故答案为
14、
【解析】解不等式即可得出函数的定义域.
【详解】对于函数，有，解得.
因此，函数的定义域为.
故答案为：.
15、
【解析】由条件可得与x轴正向的夹角为，故与x轴正向的夹角为
设点B的坐标为，
则，，
∴点的坐标为
答案：
16、8100
【解析】设小矩形的高为，把面积用表示出来，再根据二次函数的性质求得最大值
【详解】解：设每个小矩形的高为am，则长为，记面积为
则
当时，
所围矩形面积最大值为
故答案8100
【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是寻找一个变量，把面积表示为此变量的函数，再根据函数的知识求得最值．本题属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用函数的奇偶性结合条件即得；
（2）由题可知在上恒成立，利用函数的单调性可求，即得.
【小问1详解】
∵当时，，
∴当时，，
∴，又是定义在上的偶函数，
∴，
故当时，；
【小问2详解】
由在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴
又∵与在上单调递增，
∴，
∴，解得或，
∴实数的取值范围为.
18、（1）；（2）.
【解析】(1)由二次函数可设,再利用进行化简分析即可.
(2)由(1)可知,对称轴为，通过讨论的范围，根据函数的单调性，求出函数的最小值.
【详解】(1)由二次函数可设，
因为,故，
即,即，
故,即，
故；
（2）函数的对称轴为，
则当，即时，在单调递减，；
当，即时，；
当时，在单调递增，，
.
【点睛】本题主要考查二次函数的解析式求解以及二次函数最值的问题等,属于中等题型.
19、（1）
（2）
【解析】（1）结合指数运算求得正确答案.
（2）结合对数运算求得正确答案.
【小问1详解】
原式

【小问2详解】
原式

20、证明详见解析；（2）时，的最小值是.
【解析】（1）根据函数单调性定义法证明，定义域内任取，且，在作差，变形后判断符号，证明函数的单调性；（2）首先根据函数的定义域求的范围，再根据基本不等式求最小值.
【详解】（1）证明：在区间任取，设，

，
，，
，
即，
所以函数在是增函数；
（2），
的定义域是，
，
设，时，，
当时，，
当，即时，等号成立，
即时，函数取得最小值4.
【点睛】易错点睛：本题的易错点是第二问容易忽略函数的定义域，换元时，也要注意中间变量的取值范围.
21、（Ⅰ）具有性质; （Ⅱ）或或
【解析】（Ⅰ）具有性质．若存在，使得，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数具有性质，即方程在上有且只有一个实根．设，即在上有且只有一个零点．讨论的取值范围，结合零点存在定理，即可得到的范围
试题解析：（Ⅰ）具有性质
依题意，若存在，使，则时有，即，，．由于，所以．又因为区间内有且仅有一个，使成立，所以具有性质 5分
（Ⅱ）依题意，若函数具有性质，即方程在上有且只有一个实根
设，即在上有且只有一个零点
解法一：
（1）当时，即时，可得在上为增函数，
只需解得交集得
（2）当时，即时，若使函数在上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：
（ⅰ）时，在上有且只有一个零点，符合题意
（ⅱ）当即时，需解得交集得
（ⅲ）当时，即时，需解得交集得
（3）当时，即时，可得在上为减函数
只需解得交集得
综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或或 14分
解法二：
依题意，
（1）由得，，解得或
同时需要考虑以下三种情况：
（2）由解得
（3）由解得不等式组无解
（4）由解得解得
综上所述，若函数具有性质，实数的取值范围是或
或 14分
考点：1．零点存在定理；2．分类讨论的思想