2025-2026学年安徽省铜陵一中、浮山中学等数学高一上期末综合测试试题含解析.doc

2025-2026学年安徽省铜陵一中、浮山中学等数学高一上期末综合测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，，其中，若，，使得成立，则（）
A. B.
C. D.
2．若指数函数，则有（）
A.或 B.
C. D.且
3．始边是x轴正半轴，则其终边位于第（）象限
A.一 B.二
C.三 D.四
4．已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5．福州新港江阴港区地处福建最大海湾兴化湾西北岸，全年全日船泊进出港不受航道及潮水的限制，是迄今为止“我国少有、福建最佳”的天然良港.如图，是港区某个泊位一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）

A.5 B.6
C.8 D.10
6．表示不超过x的最大整数，例如，．若是函数的零点，则（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
7．下列几何体中是棱柱的有（）

A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8．已知函数，则下列说法不正确的是
A.的最小正周期是 B.在上单调递增
C.是奇函数 D.的对称中心是
9．在中，，．若边上一点满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10．在中，下列关系恒成立的是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若，则实数_________
12．在半径为5的圆中，的圆心角所对的扇形的面积为_______.
13．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则＝______.
14．已知是定义在上奇函数，且函数为偶函数，当时，，则______
15．若在幂函数的图象上，则______
16．已知正数a，b满足，则的最小值为______
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
x
10
15
20
25
30

50
55
60
55
50
（1）给出以下四个函数模型：
①；②；③；④
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值
18．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)=80-2t，价格近似满足f(t)=20-|t-10|.
(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；
(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
19．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并用定义证明；
（3）若函数满足，求实数的取值范围.
20．已知甲乙两人的投篮命中率分别为，如果这两人每人投篮一次，求：
（1）两人都命中的概率；
（2）两人中恰有一人命中的概率.
21．已知，、、在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、、
（1）若，求角的值；
（2）当时，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转化为这两个函数的值域之间的包含关系
【详解】∵，，∴，又，∴，
∴由得，，
设，，
则，，，∴的值域是值域的子集
∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但）
∴，
∴ (*)
由上讨论知同号，
时，(*)式可化为，∴，，
当时，(*)式可化为，∴，无解
综上：
故选：B
【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解
2、C
【解析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
【详解】因为是指数函数，
所以，解得.
故选：C
3、B
【解析】将转化为内的角，即可判断.
【详解】，所以的终边和的终边相同，即落在第二象限.
故选：B
4、A
【解析】可判断在单调递增，根据单调性即可判断.
【详解】当时，单调递增，
，，
，.
故选：A.
5、C
【解析】从图象中的最小值入手，求出，进而求出函数的最大值，即为答案.
【详解】从图象可以看出，函数最小值为-2，即当时，函数取得最小值，即，解得：，所以，当时，函数取得最大值，，这段时间水深（单位：m）的最大值为8m.
故选：C
6、B
【解析】利用零点存在定理得到零点所在区间求解.
【详解】因为函数在定义域上连续的增函数，
且，
又∵是函数的零点，
∴，
所以，
故选：B．
7、C
【解析】根据棱柱的定义进行判断即可
【详解】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，观察图形满足棱柱概念的几何体有：①③⑤，共三个
故选：C
【点睛】本题主要考查棱柱的概念，属于简单题.
8、A
【解析】对进行研究，求出其最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，从而得到答案.
【详解】，最小正周期为；
单调增区间为，即，故时，在上单调递增；
定义域关于原点对称，，故为奇函数；
对称中心横坐标为，即，所以对称中心为
【点睛】本题考查了正切型函数的最小正周期，单调区间，奇偶性和对称中心，属于简单题.
9、A
【解析】根据向量的线性运算法则，结合题意，即可求解.
【详解】由中，，且边上一点满足，如图所示，
根据向量的线性运算法则，可得：
.
故选：A.

10、D
【解析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案
【详解】由题意知，在三角形ABC中，，
对A选项，，故A选项错误；
对B选项，，故B选项错误；
对C选项，，故C选项错误；
对D选项，，故D选项正确．故选D.
【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】分和求解即可.
【详解】当时，，所以（舍去）；
当时，，所以（符合题意）.
故答案为：.
12、
【解析】先根据弧度的定义求得扇形的弧长,即可由扇形面积公式求得扇形的面积.
【详解】设扇形的弧长为
根据弧度定义可知
则
由扇形面积公式
代入可得
故答案为:
【点睛】本题考查了弧度的定义,扇形面积的求法,属于基础题.
13、-1
【解析】根据幂函数，当为奇数时，函数为奇函数，时，函数在(0，＋∞)上递减，即可得出答案.
【详解】解：∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴可取－1，1，3，
又f(x)＝xα在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故＝－1.
故答案为：-1.
14、
【解析】求出函数的周期即可求解.
【详解】根据题意，为偶函数，即函数图象关于直线对称，
则有，又由为奇函数，则，
则有，即，即函数是周期为4的周期函数，
所以，
故答案为：
15、27
【解析】由在幂函数的图象上，利用待定系数法求出幂函数的解析式，再计算的值
【详解】设幂函数，，
因为函数图象过点，
则，，
幂函数，
，故答案为27
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义与解析式，意在考查对基础知识的掌握情况，是基础题
16、##
【解析】右边化简可得，利用基本不等式，计算化简即可求得结果.
【详解】，
故,则，当且仅当时，等号成立
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）选择模型②：，；
（2）441.
【解析】（1）根据表格数据的变化趋势选择函数模型，再将数据代入解析式求参数值，即可得解析式.
（2）由题设及（1）所得解析式求的解析式，再由分段函数的性质，结合分式型函数最值的求法求的最小值
【小问1详解】
由表格数据知，当时间x变换时，先增后减，而①；③；④都是单调函数，
所以选择模型②：，
由，可得，解得，
由，解得，，
所以日销售量与时间x的变化的关系式为
【小问2详解】
由（2）知：，
所以，
即，
当，时，
由基本不等式，可得，当且仅当时，即时等号成立，
当，时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上，当时，函数取得最小值441
18、解：(1) y (2) ymax=1225，ymin=600
【解析】解：（Ⅰ）
＝
（Ⅱ）当0≤t＜10时，y的取值范围是[1200，1225]，
在t＝5时，y取得最大值为1225；
当10≤t≤20时，y的取值范围是[600，1200]，
在t＝20时，y取得最小值为600
（答）总之，第5天，日销售额y取得最大为1225元；
第20天，日销售额y取得最小为600元
19、（1）
（2）在上单调递减，证明见解析
（3）
【解析】（1）依题意可得，即可得到方程，解得即可；
（2）首先判断函数的单调性，再根据定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
（3）根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解得即可；
【小问1详解】
解：因为是定义在上的奇函数，所以，
即，即，所以，即；解得，
所以
【小问2详解】
解：函数是上的减函数
证明：在上任取,，设，

因为，所以，则，
所以
即
所以在上单调递减
【小问3详解】
解：因为是定义在上奇函数
所以可化为
又在上单调递减，
所以
解得
20、（1） 0.56；（2）0.38.
【解析】（1）利用相互独立事件概率计算公式，求得两人都命中的概率.
（2）利用互斥事件概率公式和相互独立事件概率计算公式，求得恰有一人命中的概率.
【详解】记事件A，B分别为“甲投篮命中"，“乙投篮命中”，则.
（1）“两人都命中”为事件AB，由于A，B相互独立，所以，即两人都命中的概率为0.56.
（2）由于互斥且A，B相互独立，
所以恰有1人命中概率为.
即恰有一人命中的概率为0.38.
【点睛】关键点睛：本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查互斥事件概率公式，关键在于准确地理解题意和运用公式求解.
21、（1） （2）-
【解析】⑴首先可以通过、、写出和，然后通过化简可得，最后通过即可得出角的值；
⑵首先可通过化简得到，再通过化简得到，最后对化简即可得到的值
【详解】⑴已知、、，
所以，，
因为，
所以
化简得，即，
因为，所以；
⑵由可得，
化简得，，
所以，
所以，综上所述，
【点睛】本题考查了三角函数以及向量的相关性质，主要考查了三角恒等变换的相关性质以及向量的运算的相关性质，考查了计算能力，考查了化归与转化思想，锻炼了学生对于公式的使用，是难题