2025年湖南省双峰县一中数学高一上期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年湖南省双峰县一中数学高一上期末学业质量监测模拟试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若函数唯一的一个零点同时在区间、、、内，那么下列命题中正确的是
A.函数在区间内有零点
B.函数在区间或内有零点
C.函数在区间内无零点
D.函数在区间内无零点
2．已知集合，，则等于（）
A. B.
C. D.
3．已知集合则（ ）
A. B.
C. D.
4．两圆和的位置关系是
A.内切 B.外离
C.外切 D.相交
5．在正方体中，分别是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为
A. B.
C. D.
6．函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
7．设集合U=,则
A. B.
C. D.
8．函数的部分图像如图所示，则的最小正周期为（）

A. B.
C. D.
9．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数α是（ ）
A.1 B.4
C.1或4 D.2或4
10．已知．则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．点分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为__________
12．集合，则____________
13．若，，，则的最小值为___________.
14．已知函数，其所有的零点依次记为，则_________.
15．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.

16．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，则的最小值为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知，函数.
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的方程的解集中恰有一个元素，求的取值范围；
（3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.
18．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

（1）请将上表数据补充完整；函数的解析式为 （直接写出结果即可）；
（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象；
（3）求函数在区间上最大值和最小值

19．已知均为正数，且，证明：，并确定为何值时，等号成立.
20．已知，，当k为何值时.
（1）与垂直？
（2）与平行？平行时它们是同向还是反向？
21．已知函数
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若在区间上存在唯一的最小值为-2，求实数m的取值范围
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】有题意可知，函数唯一的一个零点应在区间内，所以函数在区间内无零点
考点：函数的零点个数问题
2、A
【解析】先解不等式,再由交集的定义求解即可
【详解】由题,因为,所以,即,
所以,
故选:A
【点睛】本题考查集合的交集运算,考查利用指数函数单调性解不等式
3、D
【解析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
4、D
【解析】根据两圆方程求解出圆心和半径，从而得到圆心距；根据得到两圆相交.
【详解】由题意可得两圆方程为：和
则两圆圆心分别为：和；半径分别为：和
则圆心距：
则 两圆相交
本题正确选项：
【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，关键是判断出圆心距和两圆半径之间的关系，属于基础题.
5、C
【解析】设正方体的棱长为，如图，连接，它们交于，连接，则平面，而，故就是直线与平面所成的余角，又为直角三角形且，所以，，设直线与平面所成的角为，则，选C.

点睛：线面角的计算往往需要先构造面的垂线，必要时还需将已知的面的垂线适当平移才能构造线面角，最后把该角放置在容易计算的三角形中计算其大小.
6、B
【解析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数有意义，则满足，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：B.
7、D
【解析】
8、B
【解析】由图可知，,计算即可.
【详解】由图可知，,则,
故选：B
9、C
【解析】根据扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，求得的值，即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，
由扇形的周长是6，面积是2，可得，解得或，
又由弧长公式，可得，即，
当时，可得；
当时，可得，
故选：C.
10、A
【解析】求解出成立的充要条件，再与分析比对即可得解.
【详解】，，
则或，
由得，
由得，
显然，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】结论点睛：充分不必要条件的判断：p是q的充分不必要条件，则p对应集合是q对应集合的真子集.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、7
【解析】根据题意,算出圆M关于直线对称的圆方程为.当点P位于线段上时,线段AB的长就是的最小值,由此结合对称的知识与两点间的距离公式加以计算,即可得出的最小值.
【详解】
设圆是圆关于直线对称的圆, 
可得,圆方程为, 
可得当点C位于线段上时,线段AB长是圆N与圆上两个动点之间的距离最小值, 
此时的最小值为AB, 
,圆的半径, 
, 
可得
因此的最小值为7, 
故答案为7.
点睛：圆中的最值问题往往转化动点与圆心的距离问题，本题中可以转化为，再利用对称性求出的最小值即可
12、
【解析】分别解出集合,，再根据并集的定义计算可得.
【详解】∵∴，
∵，∴，
则，
故答案为：
【点睛】本题考查指数不等式、对数不等式的解法，并集的运算，属于基础题.
13、3
【解析】利用基本不等式常值代换即可求解.
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为3，
故答案为：3
14、16
【解析】由零点定义,可得关于的方程.去绝对值分类讨论化简.将对数式化为指数式,再去绝对值可得四个方程.结合韦达定理,求得各自方程两根的乘积,即可得所有根的积.
【详解】函数的零点
即
所以
去绝对值可得或
即或
去绝对值可得或,或
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
当,两边同时乘以,化简可得,设方程的根为.由韦达定理可得
综上可得所有零点的乘积为
故答案为:
【点睛】本题考查了函数零点定义,含绝对值方程的解法,分类讨论思想的应用,由韦达定理研究方程根的关系,属于难题.
15、
【解析】
如图，取中点，中点，连接，
由题可知，边长均为1，则，
中，，则，得，
所以二面角的平面角即，
在中，，
则，
所以．
点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．

16、9
【解析】由x＋4y＝1，结合目标式，将x＋4y替换目标式中的“1”即可得到基本不等式的形式，进而求得它的最小值，注意等号成立的条件
【详解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1
∴当且仅当有时取等号
∴的最小值为9
故答案为：9
【点睛】本题考查了基本不等式中“1”的代换，注意基本不等式使用条件“一正二定三相等”，属于简单题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）．（2）．（3）
【解析】（1）当时，解对数不等式即可；（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论的取值范围进行求解即可；（3）根据条件得到，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可.
试题解析：（1）由，得，解得
（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0得log2（a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0
即log2（a）＝log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，
即a＝（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①
则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1＝0，
即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]＝0，②，
当a＝4时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a＝3时，方程②的解为x＝﹣1，代入①，成立
当a≠4且a≠3时，方程②的解为x＝﹣1或x，
若x＝﹣1是方程①的解，则a＝a﹣1＞0，即a＞1，
若x是方程①的解，则a＝2a﹣4＞0，即a＞2，
则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2
综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]＝0的解集中恰好有一个元素，
则a的取值范围是1＜a≤2，或a＝3或a＝4
（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，
由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，
即log2（a）﹣log2（a）≤1，
即a≤2（a），即a
设1﹣t＝r，则0≤r，
，
当r＝0时，0，
当0＜r时，，
∵y＝r在（0，）上递减，
∴r，
∴，
∴实数a的取值范围是a
【一题多解】（3）还可采用：当时，，，
所以在上单调递减
则函数在区间上的最大值与最小值分别为，

即，对任意成立
因为，所以函数在区间上单调递增，
时，有最小值，由，得
故的取值范围为
18、（1）见解析；（2）详见解析；（3）当时，；当时，
【解析】（1）由表中数据可以得到的值与函数周期，从而求出，进而求出，即可得到函数的解析式，利用函数解析式可将表中数据补充完整；（2）结合三角函数性质与表格中的数据可以作出一个周期的图象；（3）结合正弦函数单调性，可以求出函数的最值
【详解】（1）根据表中已知数据，解得，，，数据补全如下表：

函数表达式为.
（2）根据表格中的数据作出一个周期的图象见下图：

（3）令，，则，
则，，可转化为，，
因为正弦函数在区间上单调递减，在区间（上单调递增，
所以，在区间上单调递减，在区间（上单调递增，
故的最小值为，最大值为，
由于时，；时，，
故当时，；当时，.
【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题
19、证明见解析，时，等号成立.
【解析】根据重要不等式及均值不等式证明即可.
【详解】证明：因为均为正数，所以.
所以①
故，
而.②
所以原不等式成立.当且仅当①式和②式等号成立，
即当且仅当时，故当且仅当时，原不等式等号成立.
20、（1) （2) ,反向
【解析】（1）计算得到，，计算得到答案.
（2）根据得到，计算并判断方向得到答案，
【详解】（1)；
，
得，
（2)，得，
此时，所以方向相反.
【点睛】本题考查了向量的平行和垂直，意在考查学生的计算能力.
21、（1）,
（2）
【解析】（1）用诱导公式将函数化为，然后可解；
（2）根据m介于第一个最小值点和第二个最小值点之间可解.
【小问1详解】

所以的最小正周期，
由，解得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
令，得
因为在区间上存在唯一的最小值为-2，
所以，，即
所以实数m的取值范围是.