2025-2026学年重庆市云阳县数学高一第一学期期末综合测试试题含解析.doc

2025-2026学年重庆市云阳县数学高一第一学期期末综合测试试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．要得到的图像，只需将函数的图像（）
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
2．设函数的最小值为-1，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
3．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为，外圆半径为，内圆半径为.则制作这样一面扇面需要的布料为（）.

A. B.
C. D.
4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
5．已知命题：角为第二或第三象限角，命题：，命题是命题的（）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．若，都为正实数，，则的最大值是（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数为上偶函数，且在上的单调递增，若，则满足的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
8．已知圆心在轴上的圆与直线切于点.若直线与圆相切，则的值为（）
A.9 B.7
C.-21或9 D.-23或7
9．奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1)＝0，则不等式f(x)＜0的解集是.
A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C.(－1，0)∪(0，1) D.(－1，0)∪(1，＋∞)
10．将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图像向左平移个单位，得到的图像对应的解析式为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．设集合，对其子集引进“势”的概念；①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大.最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，以此类推.若将全部的子集按“势”从小到大顺序排列，则排在第位的子集是_________.
12．已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f(x)=x-[x].有下列结论:
①函数的图象是一条直线;②函数f(x)的值域为[0，1);③方程f(x)=有无数个解;④函数是R上的增函数.其中正确的是____.(填序号)
13．函数在区间上的单调性是______．（填写“单调递增”或“单调递减”）
14．已知函数（，）的部分图象如图所示，则的值为

15．已知，，，则，，的大小关系是______．（用“”连接）
16．下图是某机械零件的几何结构，该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的，且前后，左右、上下均对称，每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形，高为4，且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，该四棱锥的正视图和侧视图均为腰长为6的等腰直角三角形.

（1）画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
（2）求证：；
（3）求四棱锥外接球的直径.
18．如图所示,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,.
(1)求证:；
(2)求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积.

19．已知，，且.
(1)求的值；
(2)求β.
20．已知，
当时，求函数在上的最大值；
对任意的，，都有成立，求实数a的取值范围
21．在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点O，始边为x轴的非负半轴，终边上有一点
（1）求的值；
（2）若，且，求角的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】化简函数，即可判断.
【详解】，
需将函数的图象向左平移个单位.
故选：A.
2、C
【解析】当时，为增函数，最小值为，故当时，，分离参数得，函数开口向下，且对称轴为，故在递增，，即.
考点：分段函数的最值.
【思路点晴】本题主要考查分段函数值域问题，由于函数的最小值为，所以要在两段函数图象都要讨论最小值.首先考虑没有参数的一段，当时，为增函数，最小值为.由于这一段函数值域已经包括了最小值，故当时，值域应该不小于，分离常数后利用二次函数图象与性质可求得参数的取值范围.
3、B
【解析】由扇形的面积公式，可得制作这样一面扇面需要的布料.
【详解】解：根据题意，由扇形的面积公式可得：
制作这样一面扇面需要的布料为.
故选：B.
【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查学生的计算能力，属于基础题.
4、D
【解析】利用指数函数和对数函数的单调性求解.
【详解】因为，，，
所以，
故选：D
5、D
【解析】利用切化弦判断充分性，根据第四象限的角判断必要性.
【详解】当角为第二象限角时，，
所以，
当角为第三象限角时，，
所以，
所以命题是命题的不充分条件.
当时，显然，当角可以为第四象限角，命题是命题的不必要条件.
所以命题是命题的既不充分也不必要条件.
故选：D
6、D
【解析】由基本不等式，结合题中条件，直接求解，即可得出结果.
【详解】因为，都为正实数，，
所以，
当且仅当，即时，取最大值.
故选：D
7、B
【解析】根据偶函数的性质和单调性解函数不等式
【详解】是偶函数，．所以不等式化为，
又在上递增，所以，
或，即或
故选：B
8、D
【解析】先求得圆的圆心和半径，根据直线若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值.
【详解】圆心在轴上圆与直线切于点.
可得圆的半径为3,圆心为.
因为直线与圆相切,
所以由切线性质及点到直线距离公式可得,
解得或7.
故选:D

【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.
9、A
【解析】考点：奇偶性与单调性的综合
分析：根据题目条件，画出一个函数图象，再观察即得结果

解：根据题意，可作出函数图象：
∴不等式f（x）＜0的解集是（-∞，-1）∪（0，1）
故选A
10、B
【解析】由三角函数的平移变换即可得出答案.
【详解】函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再将所得的图象向左平移个单位可得
故选：B.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据题意依次按“势”从小到大顺序排列，得到答案.
【详解】根据题意，将全部的子集按“势”从小到大顺序排列为：
，，，，，，，.
故排在第6的子集为.
故答案为：
12、②③##③②
【解析】画出的图象，即可判断四个选项的正误.
【详解】画出函数的图象，如图所示，可以看出函数的图象不是一条直线，故A错误；函数f(x)的值域为，故②正确；方程有无数个解，③正确；函数是分段函数，且函数不是R上的增函数，故④错误.

故答案为：②③
13、单调递增
【解析】求出函数单调递增区间，再判断作答.
【详解】函数的图象对称轴为，因此，函数的单调递增区间为，
而，所以函数在区间上的单调性是单调递增.
故答案为：单调递增
14、
【解析】先计算周期，则，函数，
又图象过点，则，
∴
由于，则.
考点：依据图象求函数的解析式；
15、
【解析】结合指数函数、对数函数的知识确定正确答案.
【详解】，
，
所以
故答案为：
16、
【解析】该几何体体积等于两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积，根据直观图分别进行求解即可.
【详解】该几何体的直观图如图所示，

该几何体的体积为两个四棱柱的体积和减去两个四棱柱交叉部分的体积.
两个四棱柱的体积和为.
交叉部分的体积为四棱锥的体积的2倍.
在等腰中，边上的高为2，则
由该几何体前后，左右上下均对称，知四边形为边长为的菱形.
设的中点为，连接易证即为四棱锥的高，
在中，
又所以
因为，所以，
所以求体积为
故答案为：
【点睛】本题考查空间组合体的结构特征.关键点弄清楚几何体的组成，属于较易题目.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)见解析；（2）见解析；（3）.
【解析】（1）该四棱锥的俯视图为边长为6cm的正方形（内含对角线），如图，即可得出面积
(2)设法证明面即可；
（3）由侧视图可求得即为四棱锥外接球的直径
试题解析：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，
边长为6的正方形，如图，其面积为36.

(2)证明：因为底面，底面，
所以，由底面为正方形，所以,
，面，面，
所以面，面，所以
（3）由侧视图可求得
由正视图可知，所以在Rt△中，
.
所以四棱锥外接球直径为.
18、 (1)见解析；(2) .
【解析】（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面；
（2）由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大, 此时外接球的直径即可得解.
试题解析：
(1)证明:∵已知是圆柱的母线,.∴平面
∵是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,
∴,又,∴平面
又平面
(2)解:由已知得三棱锥的高,当直角的面积最大时,
三棱锥的体积最大,当点在弧中点时最大,
,
结合(1)可得三棱锥的外接球的直径即为,
所以此时外接球的直径.
.
点睛：一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
19、（1）；.
【解析】（1）先根据，且，求出，再求；（2）先根据，，求出，再根据求解即可.
【详解】（1）因且，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
又因为，
所以，

，
所以.
【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角
20、（1）3；（2）.
【解析】（1）由，得出函数的解析式，根据函数图象，得函数的单调性，即可得到函数在上的最大值；（2）对任意的，都有成立，等价于对任意的，成立，再对进行讨论，即可求出实数的取值范围.
试题解析：（1）当时，，
结合图像可知，函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

又，，
所以函数在上的最大值为3.
（2） ，由题意得：成立.
①时，，函数在上是增函数，
所以，，
从而，解得，
故.

②因为，由，得：，
解得：或（舍去）
当时，，此时，，
从而成立，
故
当时，，此时，，
从而成立，
故，
综上所述：.
点睛：（1）对于形如，对任意的，恒成立的问题，可转化为恒成立的问题，然后根据函数的单调性将函数不等式转化为一般不等式处理；（2）解决不等式的恒成立问题时，要转化成函数的最值问题求解，解题时可选用分离参数的方法，若参数无法分离，则可利用方程根的分布的方法解决，解题时注意区间端点值能否取等号

21、（1）；（2）
【解析】（1）根据角的终边上有一点，利用三角函数的定义得到，再利用二倍角的余弦公式求解；
（2）利用角的变换，由求解.
【详解】（1）∵角的终边上有一点，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，

∵，
∴．