2025年江苏省南通巿数学高一第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2025年江苏省南通巿数学高一第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，则下列选项错误的是（ ）
A. B.
C.的最大值是 D.的最小值是
2． “”是“”的条件
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.即不充分也不必要条件
3．已知关于x的不等式解集为，则下列说法错误的是（）
A.
B.不等式的解集为
C.
D.不等式的解集为
4．
A. B.
C.1 D.
5．将函数的图像先向右平移个单位，再把所得函数图像横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，若函数在上没有零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
6．下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的函数为
A. B.
C. D.
7．下列各角中，与126°角终边相同的角是（　　）
A. B.
C. D.
8．已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，函数是奇函数，且当时，，则（）
A. B.6
C. D.7
9．天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，天体就越暗．到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森（）又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念．天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足（），其中星等为的星的亮度为（，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则的近似值为（当较小时，）（）
A1.23 B.1.26
C.1.51 D.1.57
10．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若.则（）
A. B.
C.2 D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数的图象过点，则________
12．的值为______.
13．在中，若，则的形状一定是___________三角形.
14．设函数，则____________.
15．某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为，则徒弟加工2个零件都是精品的概率为______
16．函数的最大值为___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆经过点，和直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点，并且被圆截得的弦长为2，求直线的方程.
18．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形生态种植园．设生态种植园的长为，宽为

（1）若生态种植园面积为，则为何值时，可使所用篱笆总长最小？
19．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
20．已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且
（1）求的解析式；
（2）若时，对一切，使得恒成立，求实数的取值范围.
21．如图，在几何体ABCDEF中，平面平面ABFE．正方形ABFE的边长为2，在矩形ABCD中，

（1）证明：；
（2）求点B到平面ACF的距离
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】根据题意求出b的范围可以判断A，然后结合基本不等式判断B,C，最后消元通过二次函数的角度判断D.
【详解】对A，，正确；
对B，，当且仅当时取“=”，正确；
对C，，当且仅当时取“=”，正确；
对D，由题意，，由A可知，所以，错误.
故选：D.
2、A
【解析】若,则；若,则,推不出．所以“” 是“”成立的充分不必要条件．故选A
考点：充分必要条件
3、D
【解析】根据已知条件得和是方程的两个实根，且，根据韦达定理可得，根据且,对四个选项逐个求解或判断可得解.
【详解】由已知可得－2，3是方程的两根，
则由根与系数的关系可得且，解得，所以A正确；
对于B，化简为，解得，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，化简为：，解得，D错误
故选：D.
4、A
【解析】由题意可得：

本题选择A选项.
5、C
【解析】先由图象的变换求出的解析式，再由定义域求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质，求得 的取值范围.
【详解】函数的图象先向右平移个单位长度，可得 的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，
得到函数的图象，∴周期 ，
由，则 ，
若函数在上没有零点，结合正弦函数 的图象观察

则
∴ ， ，解得，
又，解得 ，
当时，解得，当 时，，可得，
.
故选：C
【点睛】本题考查正弦型的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式求解，属于较难题.
第II卷
6、C
【解析】选项A中，函数的定义域为,不合题意，故A不正确；
选项B中，函数的定义域为,无奇偶性，故B不正确；
选项C中，函数为偶函数，且当x>0时，，为增函数，故C正确；
选项D中，函数为偶函数，但在不是增函数，故D不正确
选C
7、B
【解析】写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案
【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}
取k=1，可得α=486°
∴与126°的角终边相同的角是486°
故选B
【点睛】本题考查终边相同角的计算，是基础题
8、D
【解析】先求出，再求出即得解.
【详解】由已知，函数与函数互为反函数，则
由题设，当时，，则
因为为奇函数，所以.
故选：D
9、B
【解析】根据题意列出方程，结合对数式与指数式的互化以及对数运算性质即可求解.
【详解】设“心宿二”的星等为，“天津四”的星等为，
“心宿二”和“天津四”的亮度分别为，，
，，，
所以，
所以，
所以，
所以与最接近的是1.26，
故选：B.
10、A
【解析】由已知、同角三角函数关系、辅助角公式及诱导公式可得解.
【详解】由得，
∴.
故选：A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】先求得幂函数的解析式，再去求函数值即可.
【详解】设幂函数，则，则，
则，则
故答案为：3
12、11
【解析】进行对数和分数指数幂的运算即可
【详解】原式
故答案为：11
13、等腰
【解析】根据可得，利用两角和的正弦公式展开，再逆用两角差的正弦公式化简，结合三角形内角的范围可得，即可得的形状.
【详解】因，，
所以，
即，
所以，可得：，
因为，，所以
所以，即，故是等腰三角形.
故答案为：等腰.
14、
【解析】依据分段函数定义去求的值即可.
【详解】由，可得，则
由，可得
故答案为：
15、##0.25
【解析】结合相互独立事件的乘法公式直接计算即可.
【详解】记师傅加工两个零件都是精品的概率为，则，徒弟加工两个零件都是精品的概率为，则师徒二人各加工两个零件都是精品的概率为，求得，故徒弟加工两个零件都是精品的概率为.
故答案为：
16、
【解析】根据二次函数的性质，结合给定的区间求最大值即可.
【详解】由，则开口向上且对称轴为，又，
∴，，故函数最大值为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、 (1)(x－1)2＋(y＋2)2＝2；(2)x＝2或3x－4y－6＝0
【解析】（1）先求线段AB的垂直平分线方程为，设圆心的坐标为C(a，－a－1)，由圆心到点的距离和到切线的距离相等求解即可；
（2）由题知圆心C到直线l的距离，进而讨论直线斜率存在不存在两种情况求解即可.
试题解析：
（1）由题知，线段AB的中点M(1,－2)，,
线段AB的垂直平分线方程为，即，
设圆心的坐标为C(a，－a－1)，
则，
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．∴C(1，－2)，
半径r＝|AC|＝＝
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
（解二：可设原方程用待定系数法求解）
（2）由题知圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时直线l被圆C截得的弦长为2，
满足条件.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，由题意得，
解得k＝，
∴直线l的方程为y＝（x－2）
综上所述，直线l的方程为x＝2或3x－4y－6＝0.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
18、（1）为，为；
（2）.
【解析】（1）根据题意，可得，篱笆总长为，利用基本不等式可求出的最小值，即可得出对应的值；
（2）由题可知，再利用整体乘“1”法和基本不等式，求得，进而得出的最小值.
【小问1详解】
解：由已知可得，而篱笆总长为，
又，则，
当且仅当，即时等号成立，
菜园的长为，宽为时，可使所用篱笆总长最小
【小问2详解】
解：由已知得，，
又，
，当且仅当，即时等号成立，
的最小值是
19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据并集的概念运算可得结果；
（2）分类讨论集合是否为空集，根据交集结果列式可得答案.
【详解】（1）当时，，
所以.
（2）因为，
（i）当，即时，，符合题意；
（ii）当时，，解得或.
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】易错点点睛：容易漏掉集合为空集的情况.
20、（1）;（2）综上或
【解析】（1）利用奇偶性构建方程组，解之即可；（2）恒成立等价于在恒成立（其中），
令，讨论二次项系数，利用三个“二次”的关系布列不等式组即可.
试题解析：
（1）①，，
分别是定义在上的奇函数和偶函数，②，由①②可知
（2）当时，，
令，即 ，
恒成立，
在恒成立.令
（ⅰ）当时，（舍）；
（ⅱ）法一：当时，
或 或
解得.
法二：由于，所以或 解得.
（ⅲ）当时，，解得综上或
点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，然后研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
21、（1）证明见解析；
（2）
【解析】(1)连接BE，证明AF⊥平面BEC即可；
(2)由等体积即可求点B到平面ACF的距离
【小问1详解】
连接BE，

平面平面，且平面平面，又在矩形中，有，
平面，
平面，，
在正方形中有，且，平面
平面，平面，；
【小问2详解】
设点到平面的距离为，
由已知有，，
由(1)知：平面，平面，，
从而可得：，，
在等腰中，底边上的高为：，
，
由得，，则，
即点到平面的距离为