青海省海南市2026届高一上数学期末达标检测试题含解析.doc

青海省海南市2026届高一上数学期末达标检测试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在长方体中，，则异面直线与所成角的大小是
A. B.
C. D.
2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数（的单位：天）的Logistic模型：其中为最大确诊病例数．当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（）
A.60 B.65
C.66 D.69
3．设函数，若互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是
A. B.
C. D.
4．函数的定义域是（）
A. B.
C.R D.
5．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若x=0是函数的一个零点，则的最小值是（）
A. B.
C. D.
6．和函数是同一函数的是（　）
A. B.
C. D.
7．已知函数，若正数，，满足，则（）
A.
B.
C.
D.
8．若、是全集真子集，则下列四个命题①；②；③；④中与命题等价的有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
9．下列说法正确的是（ ）
A.锐角是第一象限角 B.第二象限角是钝角
C.第一象限角是锐角 D.第四象限角是负角
10．满足的角的集合为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线平行，则实数的值为____________
12．定义在上的函数则的值为______
13．已知集合．
（1）集合A的真子集的个数为___________；
（2）若，则t的所有可能的取值构成的集合是___________．
14．已知平面向量，的夹角为，，则 =______
15．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角；
④AB与CD所成的角是60°.
其中正确结论的序号是________
16．已知奇函数f（x），当，，那么___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.
18．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.
（1）该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；
（2）若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.
19．已知函数f（x）=lg，
（1）求f（x）的定义域并判断它的奇偶性
（2）判断f（x）的单调性并用定义证明
（3）解关于x的不等式f（x）+f（2x2﹣1）＜0
20．已知OPQ是半径为1，圆心角为2θ（θ为定值）的扇形，A是扇形弧上的动点，四边形ABCD是扇形内的内接矩形，记∠AOP＝（0＜＜θ）

（1）用表示矩形ABCD的面积S；
（2）若θ＝，求当取何值时，矩形面积S最大？并求出这个最大面积
21．在年初的时候，国家政府工作报告明确提出，年要坚决打好蓝天保卫战，加快解决燃煤污染问题，全面实施散煤综合治理.实施煤改电工程后，某县城的近六个月的月用煤量逐渐减少，月至月的用煤量如下表所示：
月份

用煤量（千吨）

（1）由于某些原因，中一个数据丢失，但根据至月份数据得出样本平均值是，求出丢失的数据；
（2）请根据至月份的数据，求出关于的线性回归方程；
（3）现在用（2）中得到的线性回归方程中得到的估计数据与月月的实际数据的误差来判断该地区的改造项目是否达到预期，若误差均不超过，则认为该地区的改造已经达到预期，否则认为改造未达预期，请判断该地区的煤改电项目是否达预期？
（参考公式：线性回归方程，其中）
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】连接为异面直线与所成角，几何体是长方体，是，，异面直线与所成角的大小是,故选C.
2、B
【解析】由已知可得方程，解出即可
【详解】解：由已知可得，解得，
两边取对数有，
解得.
故选：B
3、B
【解析】
不妨设，由，得，结合图象可知，，则，令，可知在上单调递减，故，则，故选B.
【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质、指数与对数的运算以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质
4、A
【解析】显然这个问题需要求交集.
【详解】对于：，；
对于：，；
故答案为：A.
5、C
【解析】根据正弦型函数图象变换的性质，结合零点的定义和正弦型函数的性质进行求解即可.
【详解】因为函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，所以函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，
因为x=0是函数的一个零点，
所以，即，
所以，因此有，或，
解得：，或，因为，
当时，因为，所以的最小值是，
当时，因为，所以的最小值是，
综上所述的最小值是，
故选：C
6、D
【解析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足.
【详解】的定义域为，值域为，
对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数；
对于B，的值域为，故不是同一个函数；
对于C，的定义域为，故不是同一个函数；
对于D, ，故与是同一个函数.
故选：D
7、B
【解析】首先判断函数在上单调递增；然后根据，同时结合函数的单调性及放缩法即可证明选项B；通过举例说明可判断选项A，C，D.
【详解】因为，所以函数在上单调递增；
因为，，，均为正数，所以，
又，所以，
所以，所以，
又因为
，所以，选项B正确；
当时，满足，但不满足，故选项A错误；
当时，满足，但此时，不满足，故选项C错误；
当时，满足，但此时，不满足，故选项D错误.
故选：B.
8、B
【解析】直接根据集合的交集、并集、补集的定义判断集合间的关系，从而求出结论
【详解】解：由得Venn图，

①；
②；
③；
④；
故和命题等价的有①③，
故选：B
【点睛】本题主要考查集合的包含关系的判断及应用，考查集合的基本运算，考查了Venn图的应用，属于基础题
9、A
【解析】根据角的定义判断
【详解】锐角大于而小于，是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，
第二象限角不都是钝角，第四象限角有正角有负角．只有A正确
故选：A
10、D
【解析】利用正弦函数的图像性质即可求解.
【详解】.
故选：D.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出
【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行；
当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；
当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+，
∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7
综上可得：m=﹣7
故答案为﹣7
【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题
12、
【解析】∵定义在上的函数
∴
故答案为
点睛：：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围
13、 ①.15 ②.
【解析】（1）根据集合真子集的计算公式即可求解；（2）根据集合的包含关系即可求解．
【详解】解：（1）集合A的真子集的个数为个，
（2）因为，又，
所以t可能的取值构成的集合为，
故答案为：15；．
14、
【解析】=代入各量进行求解即可.
【详解】=,故答案.
【点睛】本题考查了向量模的求解，可以通过先平方再开方即可，属于基础题.
15、①②④
【解析】①取BD的中点O，连接OA,OC,所以,所以平面OAC，所以AC⊥BD；②设正方形的边长为a，则在直角三角形ACO中，可以求得OC=a，
所以△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD成45角；④分别取BC，AC的中点为M，N，连接ME，NE，MN.则MN∥AB，且MN＝AB＝a，ME∥CD，且ME＝CD＝a，∴∠EMN是异面直线AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，∴NE＝AC＝a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正确
考点：本小题主要考查平面图形向空间图形的折叠问题，考查学生的空间想象能力.
点评：解决此类折叠问题，关键是搞清楚折叠前后的变量和不变的量.
16、
【解析】根据函数奇偶性把求的值，转化成求的值.
【详解】由f（x）为奇函数，可知，则
又当，，则
故
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、
【解析】结合奇函数性质以及单调性，去掉外层函数，变成一元二次不等式进行求解.
【详解】由题即
根据奇函数定义可知原不等式为
又因为单调递减函数，故，解得或
又因为函数定义域为故，解得,
所以
综上得的范围为.
18、（1）第4个月开始盈利
（2）方案①较为合算，理由见解析
【解析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；
（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.
【小问1详解】
由题意得
，即，
解得，∴.
∴该设备从第4个月开始盈利.
【小问2详解】
该设备若干月后，处理方案有两种：
①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，
.
当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，
∴方案①的利润为：（万元）.
②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.
，
∴或时，盈利总额最大，
∴方案②的利润为20+16=36（万元），
∵38>36，
∴方案①较为合算.
19、（1）奇函数（2）见解析（3）
【解析】（1）先求函数f（x）的定义域，然后检验与f（x）的关系即可判断；
（2）利用单调性的定义可判断f（x）在（﹣1，1）上单调性；
（3）结合（2）中函数的单调性及函数的定义域，建立关于x的不等式，可求
【详解】（1）的定义域为（-1,1）
因为，所以为奇函数
（2）为减函数．证明如下：
任取两个实数，且，
==
=
<0
<0,所以在（-1,1）上为单调减函数
（3）由题意：，
由（1）、（2）知是定义域内单调递减的奇函数

即不等式的解集为（，）
【点睛】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的定义的应用，及函数单调性在求解不等式中的应用
20、（1）S＝（0＜＜θ）；（2）当α＝时，S取得最大值为2﹣
【解析】（1）由题意可求得∠ADO，△COD为等腰三角形，在△OAD中利用正弦定理求出AD，从而可用表示矩形ABCD的面积S；
（2）由（1）可得，然后由的范围结合正弦函数的性质可求出其最大值
【详解】解：（1）由题意可得AD∥OE∥CB，
∴∠POE＝∠PDA＝θ，
∴∠ODC＝＝∠DCO，∠BOA＝2θ﹣2，△COD为等腰三角形
故AB＝2sin（θ﹣）， 再由∠ADO＝＝π﹣θ，
△OAD中，利用正弦定理可得， 化简可得AD=
故矩形ABCD的面积S＝f（）＝AB•AD＝（0＜＜θ）
（2）θ＝，由（1）可得S＝f（）＝＝＝
再由 0＜＜可得 ＜2＋＜，
故当 2＋＝，即当＝时，S＝f（）取得最大值为2﹣
21、（1）4（2）（3）该地区的煤改电项目已经达到预期
【解析】（1）根据平均数计算公式得，解得丢失数据；（2）根据公式求，再根据求；（3）根据线性回归方程求估计数据，并与实际数据比较误差，确定结论.
试题解析：解：（1）设丢失的数据为，则
得，即丢失的数据是.
（2）由数据求得，
由公式求得

所以关于的线性回归方程为
（3）当时，，
同样，当时，，
所以，该地区的煤改电项目已经达到预期