山西省灵丘县第一中学2025-2026学年数学高二上期末检测试题含解析.doc

山西省灵丘县第一中学2025-2026学年数学高二上期末检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，，，则此三角形（ ）
A.无解 B.一解
C.两解 D.解的个数不确定
2．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）
A. B.
C. D.
3．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）
A. B.
C. D.
4．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（）
A. B.13
C.45 D.117
5．已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为
A.3 B.2
C. D.
6．下列结论正确的个数为（ ）
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则
A.4 B.3
C.2 D.1
7．抛物线y＝4x2的焦点坐标是（　　）
A.（0，1） B.（1，0）
C. D.
8．已知四棱锥，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ）

A.椭圆 B.椭圆的一部分
C.圆 D.不完整的圆
9．设变量，满足约束条件则的最小值为（ ）
A.3 B.－3
C.2 D.－2
10．如图，过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点，若且，则抛物线的方程为（ ）

A.
B.
C.
D.
11．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，则下列数量积最大的是（）

A. B.
C. D.
12．下列命题中正确的是　　
A.命题“若，则”的否命题为：“若，则”
B.若命题，是假命题，则实数
C.“”的一个充分不必要条件是“”
D.命题“若，则”的逆否命题为真命题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”.若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是____________.
14．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.
15．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________.
16．已知、是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆离心率是___________
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在直三棱柱中，，是中点.

（1）求点到平面的的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.

（1）当时，求证：；
（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.
19．（12分）已知数列是递增的等比数列，是其前n项和，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
20．（12分）在数列中，，是与的等差中项，
（1）求证：数列是等差数列
（2）令，求数列的前项的和
21．（12分）已知点，，线段是圆的直径.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.
22．（10分）已知等比数列的前项和为，，．数列的前项和为，且，
（1）分别求数列和的通项公式；
（2）若，为数列的前项和，是否存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的，，的值；若不存在，说明理由
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用正弦定理求出的值，再根据所求值及a与b的大小关系即可判断作答.
【详解】在中，，，，
由正弦定理得，而为锐角，且，
则或，
所以有两解
故选：C
2、B
【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果
【详解】因为，
所以，即
所以，
由双曲线的定义，知，
设，则，易得，
如图，作，为垂足，

则，所以，即，即双曲线的离心率为.
故选：B
3、D
【解析】由题，求得圆的圆心和半径，易知最长弦，最短弦为过点与垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.
【详解】圆化简为可得圆心为
易知过点的最长弦为直径，即
而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：

所以弦
所以四边形ABCD的面积：
故选：D
4、C
【解析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答
【详解】在等差数列中，因，所以.
故选：C
5、D
【解析】设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到，利用基本不等式可得结论
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，
设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得，
4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos
∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：，
∴≥2
∴，
故选D

【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题
6、D
【解析】根据常数函数的导数为0，可判断①；根据幂函数的求导公式，可判断②；根据指数函数以及对数函数的求导公式，可判断③④.
【详解】由得：，故①错误；
对于，，故，故②正确；
对于，则，故③错误；
对于，则，故④错误，
故选：D
7、C
【解析】将抛物线方程化为标准方程，由此可抛物线的焦点坐标得选项.
【详解】解：将抛物线y＝4x2的化为标准方程为x2＝y，p＝，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，）.
故选：C
8、D
【解析】根据题意，分析得动点满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点的限制条件，即可判断轨迹.
【详解】因为平面PAB，平面PAB，则//，
又面面，故可得；
因为，故可得，
则，
综上所述：动点在垂直的平面中，且满足；
为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，
在平面中，因为，以中点为坐标原点，
以为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下所示：

因为，故可得，
整理得：，
故动点的轨迹是一个圆；
又当三点共线时，几何体不是空间几何体，
故动点的轨迹是一个不完整的圆.
故选：.
【点睛】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求解轨迹.
9、D
【解析】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大，作出不等式组表示的可行域，数形结合即得解
【详解】转化为，则最小即直线在轴上的截距最大
作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

作出直线，平移该直线，
当直线经过时，在轴上的截距最大，最小，
此时，
故选：D
10、D
【解析】如图根据抛物线定义可知，进而推断出的值，在直角三角形中求得，进而根据，利用比例线段的性质可求得，则抛物线方程可得.
【详解】如图分别过点，作准线的垂线，分别交准线于点，
设，则由已知得：，由定义得：，故
在直角三角形中，，
，，从而得
，，求得，所以抛物线的方程为
故选：D

11、B
【解析】设，根据线面垂直的性质得，，，，根据向量数量积的定义逐一计算，比较可得答案.
【详解】解：设，因为平面，所以，，，，
又底面是正方形，所以，，
对于A，；
对于B，

；
对于C，；
对于D，，
所以数量积最大的是，
故选：B.
12、C
【解析】．命题的否定是同时否定条件和结论；．将当成真命题解出的范围，再取补集即可；．求出“”的充要条件再判断即可；．判断原命题的真假即可
【详解】解：对于A：命题“若，则”的否命题为：“若，则 “，故A错误；
对于B：当命题，是真命题时，，所以，
又因为命题为假命题，所以，故B错误；
对于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：因为命题“若，则”是假命题，所以其逆否命题也是假命题，故D错误；
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】令得，设函数，则直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，利用数形结合思想可求得实数的取值范围.
【详解】令得，设函数，
则直线与函数在区间上的图象有两个交点，
，令，可得，列表如下：

极小值

，，如图所示：

由图可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
14、
【解析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论
【详解】在长方体中，连接，
在长方体中，平面，
所以对角线与平面所成的角为，
对角线与平面所成的角为,
对角线与平面所成的角为，
显然，
，
，
所以
,

，
故答案为：

15、
【解析】依题意，设所求的双曲线的方程为.
点为该双曲线上的点，
.
该双曲线的方程为：，即.
故本题正确答案是.
16、
【解析】先由，根据椭圆的定义，求出，，再由余弦定理，根据，即可列式求出离心率.
【详解】因为点在椭圆上，
所以，
又，所以，
因，
在中，由，根据余弦定理可得
，
解得（负值舍去）
故答案为：.
【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，属于常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，再利用公式计算即可；
（2）易得平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，再利用计算即可
小问1详解】
解：（1）以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
所以
因为，
设平面的法向量为，则有，得，
令则，所以可以取，
设点到平面的距离为，则，
所以点到平面的的距离的距离为；
【小问2详解】
（2）因为平面，取平面的法向量为
设平面与平面的夹角为，
所以
平面与平面夹角的余弦值

18、（1）证明见解析；（2）是定值，定值为.
【解析】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再利用韦达定理求出，即得证；
（2）设直线方程为，联立直线与抛物线的方程得到韦达定理，再求出，，即得解.
【详解】（1）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，所以.
所以

即.
（2）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，
故.
设的方程为，
联立直线与拋物线的方程，
消去得，
从而，则，
同理可得，

，
即定值.
19、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出数列的公比即可计算得解.
(2)由(1)的结论求出，然后利用分组求和方法求解作答.
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，而，且是递增数列，则，，解得，
所以数列的通项公式是：.
【小问2详解】
由(1)知，，，

，
所以数列的前n项和.
20、（1）证明见解析；
（2）.
【解析】（1）求得，利用等差数列的定义可证得结论成立；
（2）求出，可计算得出，利用并项求和法可求得数列的前项的和.
小问1详解】
解：由题意知是与的等差中项，可得，
可得，则，可得，
所以，，
又由，可得，所以数列是首项和公差均为的等差数列.
【小问2详解】
解：由（1）可得：，
，
对任意的，，
因此，
.
21、（1）；
（2）或.
【解析】(1)AB两点的中点为圆心，AB两点距离的一半为半径；
(2)分斜率存在和不存在，根据垂径定理即可求解.
【小问1详解】
已知点，，线段是圆M的直径，
则圆心坐标为，∴半径，∴圆的方程为；
【小问2详解】
由(1)可知圆的圆心，半径为.
设为中点，则，，
则.
当的斜率不存在时，的方程为，此时，符合题意；
当的斜率存在时，设的方程为，即kx－y＋2＝0，
则，解得，
故直线的方程为，即.
综上，直线的方程为或.
22、（1），；（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）利用数列为等比数列，将已知的等式利用首项和公比表示，得到一个方程组，求解即可得到首项和公比，结合等比数列的通项公式即可求出；将已知的等式变形，得到数列为等差数列，利用等差数列通项公式求出，再结合数列的第项与前项和之间的关系进行求解，即可得到；
（2）先利用等比数列求和公式求出，从而得到的表达式，然后利用裂项相消求和法求出，假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，利用等比中项、等差中项以及进行化简变形，得到假设不成立，故可得到答案
【详解】（1）因为数列为等比数列，设首项为，公比为，
由题意可知，所以，
所以，
由②可得，即，所以或2，
因为，所以，所以，
所以，
由，可得，
所以数列为等差数列，首项为，公差为1，
故，则，
当时，，
当时，也适合上式，
故
（2）由，可得，
所以，
所以，
假设存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列，
则有，
所以，
则，即，
因为，所以，即，
所以，所以，
则，所以，则，
所以，即，
所以，这与已知的，，互不相等矛盾，
故不存在不同的正整数，，（其中，，成等差数列），使得，，成等比数列
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.