甘肃省甘谷县第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析.doc

甘肃省甘谷县第一中学2025-2026学年数学高一第一学期期末学业水平测试模拟试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数可表示为

1
2
3
4
则下列结论正确的是（ ）
A. B.的值域是
C.的值域是 D.在区间上单调递增
2．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（）
A. B.
C. D.
3．已知函数，若存在四个互不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
4．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子： 
1
2
3
4
5
6
7
8
…
14
15
…
27
28
29
2
4
8
16
32
64
128
256
…
16384
32768
…
134217728
268435356
536870912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=
A.134217728 B.268435356
C.536870912 D.513765802
5．对于任意的实数，定义表示不超过的最大整数，例如，，，那么“”是“”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6．若－<α<0，则点P(tanα，cosα)位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
7．将函数图象向左平移个单位后与的图象重合，则（ ）
A. B.
C D.
8．已知向量且，则x值为（）.
A.6 B.-6
C.7 D.-7
9．若将函数的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
A. B.
C. D.
10．若，其中，则（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．函数，其中,,的图象如图所示，求的解析式____

12．已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，则球O的半径为________
13．已知关于的方程在有解，则的取值范围是________
14．已知角的终边过点，则_______
15．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.

16．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数且.
（1）若，求的值；
（2）若在上的最大值为，求的值.
18．已知函数过点
（1）求的解析式；
（2）求的值；
（3）判断在区间上的单调性，并用定义证明
19．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边在直线上.
（1）求的值；
（2）求值
20．某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产万部手机并全部销售完当年销售量不超过40万部时，销售1万部手机的收入万元；当年销售量超过40万部时，销售1万部手机的收入万元
（1）写出年利润万元关于年销售量万部的函数解析式；
（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润.
21．已知函数的最小正周期为，函数的最大值是，最小值是.
（1）求、、的值；
（2）指出的单调递增区间.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】，所以选项A错误；由表得的值域是，所以选项B正确C不正确；在区间上不是单调递增，所以选项D错误.
详解】A.，所以该选项错误；
B.由表得的值域是，所以该选项正确；
C.由表得的值域是，不是，所以该选项错误；
D.在区间上不是单调递增，如：，但是，所以该选项错误.
故选：B
【点睛】方法点睛：判断函数的性质命题的真假，一般要认真理解函数的定义域、值域、单调性等的定义，再根据定义分析判断.
2、A
【解析】分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围
【详解】解：因为，所以，
当时，的最小值为；
当时，，，
由知，，
所以此时，其最小值为；
同理，当，时，，其最小值为；
当，时，的最小值为；
作出如简图，

因为，
要使，
则有
解得或，
要使对任意，都有，
则实数的取值范围是
故选：A
3、D
【解析】令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，

由图可知，得或，所以和各有两个解
当有两个解时，则，
当有两个解时，则或，
综上，的取值范围是，故选D
点睛：本题考查函数性质的应用．本题为嵌套函数的应用，一般的，我们应用整体思想解决问题，所以令，则，由题意，有两个不同的解，有两个不相等的实根，再结合图象逐步分析，解得答案
4、C
【解析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可.
【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，
所以有：16384×32768＝536870912,
故选C.
【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.
5、B
【解析】根据充分必要性分别判断即可.
【详解】若，则可设，则，，其中，
，，即“”能推出“”；
反之，若，，满足，但，，即“”推不出“”，
所以“”是“”必要不充分条件，
故选：B.
6、B
【解析】∵－<α<0，∴tanα<0，cosα>0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限，故选B
考点：本题考查了三角函数值的符号
点评：熟练掌握三角函数的定义及三角函数的值的求法是解决此类问题的关键，属基础题
7、C
【解析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.
【详解】由已知可得.
故选：C.
8、B
【解析】利用向量垂直的坐标表示可以求解.
【详解】因为，，所以，即；
故选：B.
【点睛】本题主要考查平面向量垂直的坐标表示，熟记公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
9、C
【解析】由题意得，将函数的图象向左平移个单位长度，得到，由，得，即平移后的函数的对称轴方程为，故选C
10、D
【解析】化简已知条件，结合求得的值.
【详解】依题意，
，
所以，，
由于，所以.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】首先根据函数的最高点与最低点求出A，b，然后由图像求出函数周期从而计算出，再由函数过点求出.
【详解】，
，，解得，
则，因为函数过点，
所以，，解得
因为，所以， .
故答案为：
【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的最值确定A，b的值，第二步通过周期确定的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及
12、
【解析】根据直角三角形的外接圆的直径是直角三角形的斜边，结合球的对称性、勾股定理、直三棱柱的几何性质进行求解即可.
【详解】因为，所以三角形是以为斜边的直角三角形，
因此三角形的外接圆的直径为，圆心为.
因为，所以，
在直三棱柱中， 侧面是矩形且它的中心即为球心O，
球的直径是的长，则，
所以球的半径为
故答案为：

【点睛】本题考查了直三棱柱外接球问题，考查了直观想象能力和数学运算能力.
13、
【解析】将原式化为，然后研究函数在上的值域即可
【详解】解：由，得，
令，
令，
因为，所以，所以，即，
因为，
所以函数可化为，
该函数在上单调递增，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是，
故答案为：
14、
【解析】由三角函数定义可直接得到结果.
【详解】的终边过点，
故答案为：.
15、
【解析】
如图，取中点，中点，连接，
由题可知，边长均为1，则，
中，，则，得，
所以二面角的平面角即，
在中，，
则，
所以．
点睛：本题采用几何法去找二面角，再进行求解．利用二面角的定义：公共边上任取一点，在两个面内分别作公共边的垂线，两垂线的夹角就是二面角的平面角，找到二面角的平面角，再求出对应三角形的三边，利用余弦定理求解（本题中刚好为直角三角形）．

16、2400
【解析】由题意直接利用指数幂的运算得到结果
【详解】12年后的价格可降为81002400元
故答案为2400
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）或.
【解析】（1）根据函数奇偶性的定义判断是奇函数，再由即可求解；
（2）讨论和时，函数在上的单调性，根据单调性求出最值列方程，解方程可得的值.
【小问1详解】
因为的定义域为关于原点对称，
，
所以为奇函数，故.
【小问2详解】
，
若，则单调递减，单调递增，
可得为减函数，
当时，，
解得：，符合题意；
若，则单调递增，单调递减，
可得为增函数，
当时，
解得：，符合题意，
综上所述：的值为或.
18、（1）
（2）
（3）在区间上单调递增；证明见解析
【解析】（1）直接将点的坐标代入函数中求出，从而可求出函数解析式，
（2）直接利用解析求解即可，
（3）利用单调性的定义直接证明即可
【小问1详解】
∵函数∫过点，∴，
∴，得的解析式为：
【小问2详解】

【小问3详解】
在区间上单调递增
证明：，且，有

∵，
∴
∴，即
∴在区间上单调递增
19、（1）或；（2）或；
【解析】（1）在直线上任取一点，由已知角的终边过点，
利用诱导公式与三角函数定义即可求解，要注意分类讨论m的正负.
（2）先利用商的关系化简原式为，结合第一问利用三角函数定义分别求得与，要注意分类讨论m的正负.
【详解】（1）在直线上任取一点，由已知角的终边过点，
，，
利用诱导公式与三角函数定义可得：，
当时，；当时，
（2）原式

同理（1）利用三角函数定义可得：，
当时，，，此时原式；
当时，，，此时原式；
【点睛】易错点睛：本题考查三角函数化简求值，解本题时要注意的事项：角的终边在直线上，但未确定在象限，要分类讨论，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.
20、（1）；（2）年销售量为45万部时，最大利润为7150万元.
【解析】（1）依题意，分和两段分别求利润=收入-成本，即得结果；
（2）分和两段分别求函数的最大值，再比较两个最大值的大小，即得最大利润.
【详解】解：（1）依题意，生产万部手机，成本是（万元），
故利润，而，
故，
整理得，；
（2）时，，开口向下的抛物线，在时，利润最大值为；
时，，
其中，在上单调递减，在上单调递增，故 时，取得最小值，
故在 时，y取得最大值
而，
故年销售量为45万部时，利润最大，最大利润为7150万元.
【点睛】方法点睛：
分段函数求最值时，需要每一段均研究最值，再比较出最终的最值.
21、（1）（2）
【解析】（1）由 可得的值，根据正弦函数可得最值，再根据最值对应关系可得方程组，解得、的值；（2）根据正弦函数单调性可得不等式，解不等式可得函数单调区间.
试题解析：（1）由函数最小正周期为，得，∴.
又的最大值是，最小值是，
则解得
（2）由（1）知，，
当，
即时，单调递增，
∴的单调递增区间为.
点睛：已知函数的图象求解析式
(1).
(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求.