辽宁省辽宁省营口市开发区第一高级中学2025年高一上数学期末联考试题含解析.doc

辽宁省辽宁省营口市开发区第一高级中学2025年高一上数学期末联考试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若幂函数的图象过点，则它的单调递增区间是(　　)
A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)
C.(－∞，＋∞) D.(－∞，0)
2．已知命题：函数过定点，命题：函数是幂函数，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.图象的一条对称轴为 B.在上单调递增
C.在上的最大值为1 D.的一个零点为
4．函数且的图象恒过定点（）
A.(－2，0) B.(－1，0)
C.(0，－1) D.(－1，－2)
5．点到直线的距离等于（ ）
A. B.
C.2 D.
6．函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于
A2 B.4
C.6 D.8
7．下列函数是奇函数，且在上单调递增的是( )
A. B.
C. D.
8．已知实数，且，则的最小值是（ ）
A.6 B.
C. D.
9．若关于的方程在上有实数根，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
10．函数的零点是
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，，则________.
12．设当时，函数取得最大值，则__________.
13．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元
14．设函数且是定义域为的奇函数；
（1）若，判断的单调性并求不等式的解集；
（2）若，且，求在上的最小值
15．写出一个满足，且的函数的解析式__________
16．函数，则________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.
（1）求的函数关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？
18．已知直线与相交于点，直线
（1）若点在直线上，求的值；
（2）若直线交直线，分别为点和点，且点的坐标为，求的外接圆的标准方程
19．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖.屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了定疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用.当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效.后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用.已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值.人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变.现用t表示时间（单位：），在时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：）.根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数.已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值.请根据以上描述完成下列问题：
（1）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是___________.
①
②
③
④
（2）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1，则称青蒿素药片是合格的.基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片___________；（填“合格”、“不合格”）
（3）记血药浓度的峰值为，当时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（1）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间.
20．设不等式的解集为集合A，关于x的不等式的解集为集合B.
（1）若，求；
（2）命题p：，命题q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
21．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．
(1)求证：MN⊥平面A1BC；
(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．

参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】设幂函数为y=xa，把点(2,)代入，求出a的值，从而得到幂函数的方程，再判断幂函数的单调递增区间.
【详解】设y＝xa，则＝2a，解得a＝－2，
∴y＝x－2其单调递增区间为(－∞，0)
故选D.
【点睛】本题考查了通过待定系数法求幂函数的解析式,以及幂函数的主要性质.
2、B
【解析】根据幂函数的性质，从充分性与必要性两个方面分析判断.
【详解】若函数是幂函数，则过定点；当函数过定点时，则不一定是幂函数，例如一次函数，所以是的必要不充分条件.
故选：B.
3、B
【解析】
对选项A，，即可判断A错误；对选项B，求出的单调区间即可判断B正确；对选项C，求出在的最大值即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D错误.
详解】，
.
对选项A，因为，故A错误；
对选项B，因为，.
解得，.
当时，函数的增区间为，
所以在上单调递增，故B正确；
对选项C，因为，所以，
所以，，，故错误；
对选项D，，故D错误.
故选：B
4、A
【解析】根据指数函数的图象恒过定点，即求得的图象所过的定点，得到答案
【详解】由题意，函数且，
令，解得，
，
的图象过定点
故选：A
5、C
【解析】由点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解：由点到直线的距离公式得，
点到直线的距离等于.
故选：C
【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属基础题.
6、D
【解析】由于函数与函数 均关于点成中心对称，结合图形以点 为中心两函数共有个交点，则有 ，同理有，所以所有交点横坐标之和为 .故正确答案为D.

考点：1.函数的对称性；2.数形结合法的应用.
7、D
【解析】利用幂函数的单调性和奇函数的定义即可求解.
【详解】当时，幂函数为增函数；当时，幂函数为减函数，
故在上单调递减，、和在上单调递增，
从而A错误；
由奇函数定义可知，和不是奇函数，为奇函数，从而BC错误，D正确.
故选：D.
8、B
【解析】构造，利用均值不等式即得解
【详解】，
当且仅当，即，时等号成立
故选：B
【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用 ，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题
9、A
【解析】当时，令，可得出，可得出，利用函数的单调性求出函数在区间上的值域，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，令，则，可得，
设，其中，任取、，
则.
当时，，则，即，
所以，函数在上为减函数；
当时，，则，即，
所以，函数在上为增函数.
所以，，，，则，
故函数在上的值域为，
所以，，解得.
故选：A.
10、B
【解析】函数y=x2-2x-3的零点即对应方程的根，故只要解二次方程即可
【详解】由y=x2-2x-3=（x-3）（x+1）=0，得到x=3或x=-1，所以函数y=x2-2x-3的零点是3和-1
故选B
【点睛】本题考查函数的零点的概念和求法．属基本概念、基本运算的考查

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】，然后可算出的值，然后可得答案.
【详解】因为，，
所以，所以，
所以，，因为，所以，
故答案为：
12、
【解析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据最值情况可得解.
【详解】由辅助角公式可知，，，，
当，时取最大值，
即，
，
故答案为.
13、2400
【解析】由题意直接利用指数幂的运算得到结果
【详解】12年后的价格可降为81002400元
故答案为2400
【点睛】本题考查了指数函数模型的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
14、（1）是增函数，解集是
（2）
【解析】（1）根据函数为奇函数，求得，得到，由，求得，得到是增函数，把不等式转化为，结合单调性，即可求解；
（2）由，求得，得到，得出，
令，结合指数函数的性质和换元法，即可求解.
【小问1详解】
解：因为函数且是定义域为的奇函数，
可得，即，
可得，所以，即，
由，可得且且，解得，
所以是增函数，
又由，可得，
所以，解得，所以不等式的解集是
【小问2详解】
解：由函数，
因为，即且，解得，所以，
由，
令，则由（1）得在上是增函数，故，
则在单调递增，
所以函数的最小值为，
即在上最小值为.
15、（答案不唯一）
【解析】根据题意可知函数关于对称，写出一个关于对称函数，再检验满足即可.
【详解】由，可知函数关于对称，
所以，
又，满足.
所以函数的解析式为（答案不唯一）.
故答案为：（答案不唯一）.
16、
【解析】利用函数的解析式可计算得出的值.
【详解】由已知条件可得.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）4千克，505元.
【解析】（1）用销售额减去成本投入得出利润的解析式；
（2）判断的单调性，及利用基本不等式求出的最大值即可
【详解】解：（1）由题意得：，

（2）由（1）中
得
（i）当时，；
（ii）当时，
当且仅当时，即时等号成立.
因为，所以当时，，
所以当施用肥料为4千克时，种植该果树获得的最大利润是505元.
【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数的应用问题，解题方法如下：
（1）根据题意，结合利润等于收入减去支出，得到函数解析式；
（2）利用分段函数的最大值等于每段上的最大值中的较大者，结合求最值的方法得到结果.
18、 (1)；(2).
【解析】（1）求出两直线的交点P坐标，代入方程可得；
（2）把B坐标代入方程可得，由方程联立可解得A点坐标，可设圆的一般方程，代入三点坐标后可解得其中的参数，最后再配方可得标准方程
试题解析：
(1)
又P在直线l3上，，
(2) 在l3上，，
联立l3,l1得：
设△PAB的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
把P(0，1)，A(1，0)，B(3，2)代入得：

△PAB的外接圆方程为x2+y2x+2y=0，即(x)2+(y+1)2=5
点睛：第（2）题中求圆的方程，可不设圆方程的一般式，用以下方法求解：
由于l1⊥l2，所以PAPB
△PAB的外接圆是以AB为直径的圆
外接圆方程为：(x) (x)+y(y+1) =0
整理后得：(x)2+(y+1)2=5
19、（1）④（2）合格
（3）
【解析】（1）先分析函数同时满足的条件，再逐一对每个函数进行验证；
（2）作差比较进行判断；
（3）令，分段解不等式，再取并集即可求解.
【小问1详解】
解：根据题意，得函数同时满足以下条件：
A.函数在上单调递增，在上单调递减；
B.当时，函数取得最大值；函数的最小值非负；
C.函数是一个连续变化的函数，不会发生骤变.
选择①：，
因为不满足条件B，
所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择②：，
当时，，
当时，函数取得最大值，不满足条件B，
所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择③：，
因为，
，
所以不满足条件C,
所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；
选择④：，
因为，
且当时，，
所以同时满足三个条件，
即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；
综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④.
【小问2详解】
解：由（1）得：函数④：
因为，
即血药浓度的峰值大于0.1，
所以此青蒿素药片合格，
即答案为：合格；
【小问3详解】
解：当时，令，
所以，即，
即，解得或，
即；
当时，令，
则，解得，
即；
综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间
为.
20、（1）（2）
【解析】（1）求解A,B，根据交集、补集运算即可；
（2）由题意转化为Ü,建立不等式求解即可.
【详解】（1），
，
解得，
所以,
当时，由可得，
解得，
所以，，
所以
（2）由解得，
即，
因为命题p：，命题q：，且p是q的必要不充分条件，
所以Ü，
所以，且等号不同时成立，解得，
即实数m的取值范围为
【点睛】关键点点睛：根据充分条件、必要条件的意义，转化为集合间的包含、真包含关系，是解题的关键，属于中档题.
21、（1）见解析；（2）
【解析】（1）易得BC⊥平面ACC1A1，连接AC1，则BC⊥AC1．侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．又BC∩A1C=C，根据线面垂直判定定理可知AC1⊥平面A1BC，因为侧面ABB1A1是正方形，MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1，从而MN⊥平面A1BC；
（2）根据AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，根据线面所成角的定义可知∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成角，设AC=BC=CC1=a，求出C1D，BC1，在Rt△BDC1中，求出∠C1BD，即可求出所求．
试题解析：
(1)证明　如图，由已知BC⊥AC，BC⊥CC1，得BC⊥平面ACC1A1．连接AC1，则BC⊥AC1．
又侧面ACC1A1是正方形，所以A1C⊥AC1．
又BC∩A1C＝C，所以AC1⊥平面A1BC．
因为侧面ABB1A1是正方形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点．
又点N是B1C1的中点，则MN是△AB1C1的中位线，所以MN∥AC1．故MN⊥平面A1BC.
(2)如图所示，因为AC1⊥平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，

连接BD，则∠C1BD为直线BC1和平面A1BC所成的角．
设AC＝BC＝CC1＝a，则C1D＝a，BC1＝a
在Rt△BDC1中，sin ∠C1BD＝＝，所以∠C1BD＝30°，故直线BC1和平面A1BC所成的角为30°