包头市重点中学2025-2026学年数学高一第一学期期末达标检测试题含解析.doc

包头市重点中学2025-2026学年数学高一第一学期期末达标检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若向量＝，||＝2，若·(－)＝2，则向量与的夹角（）
A. B.
C. D.
2．下列各式不正确的是（ ）
A.sin(α+)=－sinα B.cos(α+)=－sinα
C.sin(－α－2)=－sinα D.cos(α－)=sinα
3．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，其和等于20的概率是（ ）
【注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其它正因数，则称这个整数为素数．】
A. B.
C. D.
4．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后，种植收入减少
B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
5．已知，则下列结论中正确的是（）
A.的最大值为 B.在区间上单调递增
C.的图象关于点对称 D.的最小正周期为
6．若，，，则的大小关系为（）
A. B.
C. D.
7．已知，，，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8．如图，已知水平放置的按斜二测画法得到的直观图为，若，，则的面积为（）

A.12 B.
C.6 D.3
9．已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中，，，则直角梯形边的长度是

A. B.
C. D.
10．下列表示正确的是
A.0∈N B.∈N
C.–3∈N D.π∈Q
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．为了实现绿色发展，避免用电浪费，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”．计费方法如表所示，若某户居民某月交纳电费227元，则该月用电量为_______度．
每户每月用电量
电价
不超过210度的部分
0.5元/度
超过210度但不超过400度的部分
0.6元/度
超过400度的部分
0.8元/度

12．等于_______.
13．设定义在区间上的函数与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为__________
14．已知，则函数的最大值为__________.
15．若幂函数的图象经过点，则的值等于_________.
16．已知正三棱柱的棱长均为2，则其外接球体积为__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数的图象过点，且满足
（1）求函数的解析式：
（2）求函数在上最小值；
（3）若满足，则称为函数的不动点，函数有两个不相等且正的不动点，求t的取值范围
18．如图，已知，分别是正方体的棱，的中点.求证:平面平面.

19．如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，C点坐标为(－2,0)，平行四边形OAQP的面积为S.

(1)求·＋S的最大值；
(2)若CB∥OP，求sin的值
20．已知函数，且.
（1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性.
（2）求满足的实数x的取值范围.
21．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是______小时.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用向量模的坐标求法可得，再利用向量数量积求夹角即可求解.
【详解】由已知可得：，得，
设向量与的夹角为，则
所以向量与的夹角为
故选：A.
【点睛】本题考查了利用向量数量积求夹角、向量模的坐标求法，属于基础题.
2、B
【解析】将视为锐角，根据“奇变偶不变，符号看象限”得出答案.
【详解】将视为锐角，
∵在第三象限，正弦为负值，且是的2倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，A正确；
∵在第四象限，余弦为正值，且是的3倍为奇数数，要改变三角函数的名称，∴，B错误；
∵，在第四象限，正弦为负值，且0是的0倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，C正确；
∵在第四象限，余弦为正值，且是的1倍为奇数，要改变三角函数的名称，∴，D正确.
故选：B.
3、A
【解析】随机选取两个不同的数共有种，而其和等于20有2种，由此能求出随机选取两个不同的数，其和等于20的概率
【详解】在不超过20的素数中有2，3，5，7，11，13，17，19共8个，
随机选取两个不同的数共有种，
随机选取两个不同的数，其和等于20有2种，分别为（3,17）和（7,13），
故可得随机选取两个不同的数，其和等于20的概率，
故选：
4、A
【解析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.
【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，
则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；
新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；
新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；
新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；
故选A.
点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.
5、B
【解析】利用辅助角公式可得，根据正弦型函数最值、单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项即可.
【详解】；
对于A，，A错误；
对于B，当时，，
由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，B正确；
对于C，当时，，则关于成轴对称，C错误；
对于D，最小正周期，D错误.
故选：B.
6、A
【解析】由指数函数的单调性可知,由对数函数的单调性可知,化简,进而比较大小即可
【详解】因为在上是增函数,所以；
在上是增函数,所以；
,
所以,
故选:A
【点睛】本题考查指数、对数比较大小问题,考查指数函数、对数函数的单调性的应用
7、A
【解析】由题，,
,所以的大小关系为.故选A.
点晴：本题考查的是对数式的大小比较．解决本题的关键是利用对数函数的单调性比较大小，当对数函数的底数大于0小于1时，对数函数是单调递减的，当底数大于1时，对数函数是单调递增的；另外由于对数函数过点（1，0），所以还经常借助特殊值0,1，2等比较大小.
8、C
【解析】由直观图，确定原图形中线段长度和边关系后可求得面积
【详解】由直观图，知，，，
所以三角形面积为
故选：C
9、B
【解析】根据斜二测画法，原来的高变成了方向的线段，且长度是原高的一半，
原高为
而横向长度不变，且梯形是直角梯形，

故选
10、A
【解析】根据自然数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.
【详解】N表示自然数集，在A中，0∈N，故A正确；
在B中，，故B错误；
在C中，–3∉N，故C错误；
Q表示有理数集，在D中，π∉Q，故D错误
故选A
【点睛】本题考查自然数集、有理数集的含义以及数与集合关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、410
【解析】由题意列出电费（元）关于用电量（度）的函数，令，代入运算即可得解.
【详解】由题意，电费（元）关于用电量（度）的函数为：
，
即，
当时，，
若，，则，解得.
故答案为：410.
12、
【解析】直接利用诱导公式即可求解.
【详解】由诱导公式得：
.
故答案为：.
13、
【解析】不妨设坐标为
则的长为
与的图象交于点，
即

解得
则线段的长为
点睛：本题主要考查的知识点是三角函数的图象及三角函数公式的应用．突出考查了数形结合的思想，同时也考查了考生的运算能力，本题的关键是解出是这三点的横坐标，而就是线段的长
14、
【解析】换元，，化简得到二次函数，根据二次函数性质得到最值.
【详解】设，，则，，
故当，即时，函数有最大值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了指数型函数的最值，意在考查学生的计算能力，换元是解题的关键.
15、
【解析】设出幂函数，将点代入解析式，求出解析式即可求解.
【详解】设，函数图像经过，
可得，解得，
所以，
所以.
故答案为：
【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
16、
【解析】
分别是上，下底面的中心，则的中点为几何体的外接球的球心，

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）；
（3）.
【解析】(1)根据f(x)图像过点，且满足列出关于m和n的方程组即可求解；
(2)讨论对称轴与区间的位置关系，即可求二次函数的最小值；
(3)由题可知方程x＝g(x)有两个正根，根据韦达定理即可求出t范围.
【小问1详解】
∵的图象过点，
∴①
又，
∴②
由①②解，，
∴；
【小问2详解】
，，
当，即时，函数在上单调递减，
∴；
当，即时，函数在上单调递减，
在单调递增，∴；
当时，函数在上单调递增，
∴
综上，
【小问3详解】
设有两个不相等的不动点、，且，，
∴，即方程有两个不相等的正实根、
∴，解得
18、见解析
【解析】取的中点，连接、，则，进一步得到四边形为平行四边形，同理得到四边形为平行四边形，结合线面平行的判定即可得到结果.
【详解】证明:取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，.
四边形为平行四边形..
、分别为、的中点，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，∴.
∵平面，平面，
平面
又，平面平面.
【点睛】本题主要考查面面平行的判定，属于基础题型.
19、（1）＋1（2）
【解析】求出，的坐标，然后求解，以及平行四边形的面积，通过两角和与差的三角函数，以及正弦函数的值域求解即可；
利用三角函数的定义，求出，利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数求解表达式的值
解析：（1）由已知得，的坐标分别为，，因为四边形是平行四边形，所以，

又因为平行四边形的面积为，
所以
又因为，所以当时，的最大值为
（2）由题意知，，
因为，所以，因为，所以
由，，得，，
所以，，
所以
20、（1）定义域为，奇函数；（2）当时的取值范围是；当时的取值范围是
【解析】（1）根据题意，先求出函数的定义域，进而结合函数的解析式可得，即可得结论；
（2）根据题意，即，分与两种情况讨论可得的取值范围，综合即可得答案
详解】解：（1）根据题意，，
则有，解可得，
则函数的定义域为，
又由，
则是奇函数；
（2）由得
①当时，，解得；
②当时，，解得；
当时的取值范围是；
当时的取值范围是
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，注意判断奇偶性要先求出函数的定义域，属于中档题
21、24
【解析】由题意得：，所以时，.
考点：函数及其应用.