2025-2026学年浙江省衢州四校数学高一第一学期期末达标检测试题含解析.doc

2025-2026学年浙江省衢州四校数学高一第一学期期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是

A.平面
B.与是异面直线
C.
D.
2．已知指数函数是减函数，若，，，则m，n，p的大小关系是（）
A. B.
C. D.
3．已知直线，平面满足，则直线与直线的位置关系是
A.平行 B.相交或异面
C.异面 D.平行或异面
4．用反证法证明命题：“已知.，若不能被7整除，则与都不能被7整除”时，假设的内容应为
A.,都能被7整除 B.,不能被7整除
C.,至少有一个能被7整除 D.,至多有一个能被7整除
5．已知角α的终边经过点，则（ ）
A. B.
C. D.
6．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
7．若集合，集合，则（）
A.{5，8} B.{4，5，6，8}
C.{3，5，7，8} D.{3，4，5，6，7，8}
8．定义在R上的偶函数f(x)满足，当x∈[0，1]时，则函数在区间上的所有零点的和为（）
A.10 B.9
C.8 D.6
9．函数y=的单调递减区间是(　　)
A.(-∞,1) B.［1,+∞)
C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)
10．的零点所在区间为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若是角终边上的一点，则______
12．给出下列四个结论：
①函数是奇函数；
②将函数的图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象；
③若是第一象限角且，则；
④已知函数，其中是正整数．若对任意实数都有，则的最小值是4
其中所有正确结论的序号是________
13．制造一种零件，甲机床的正品率为，乙机床的正品率为．从它们制造的产品中各任抽1件，则两件都是正品的概率是__________
14．若（）与（）互为相反数，则的最小值为______.
15．函数y=1-sin2x-2sinx的值域是______
16．已知函数，若函数的最小值与函数的最小值相等，则实数的取值范围是__________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．整治人居环境，打造美丽乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余的区域种植花卉.设.

（1）当时，求的长；
（2）求三角形区域面积的最大值.
18．已知函数求：
的最小正周期；
的单调增区间；
在上的值域
19．已知.
（1）若关于x的不等式的解集为区间，求a的值；
（2）设，解关于x的不等式.
20．已知直线经过点
（1）若点在直线上，求直线的方程；
（2）若直线与直线平行，求直线的方程
21．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).
（1）若满足性质P(2)，且，求的值；
（2）若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；
（3）若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】因为三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，
所以对于A,AC与AB夹角为60°,即两直线不垂直，所以AC不可能垂直于平面ABB1A1；故A错误；
对于B,CC1与B1E都在平面CC1BB1中不平行，故相交；所以B错误；
对于C,A1C1，B1E是异面直线；故C错误；
对于D,因为几何体是三棱柱,并且侧棱AA1⊥底面ABC，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AE,AE⊥BC,得到AE⊥平面BCC1B1,所以AE⊥BB1；
故选D.
2、B
【解析】由已知可知，再利用指对幂函数的性质，比较m，n，p与0，1的大小，即可得解.
【详解】由指数函数是减函数，可知，
结合幂函数的性质可知，即
结合指数函数的性质可知，即
结合对数函数的性质可知，即，
故选：B.
【点睛】方法点睛：本题考查比较大小，比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法，解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.
3、D
【解析】∵a∥α，∴a与α没有公共点，b⊂α，∴a、b没有公共点，
∴a、b平行或异面．
故选D
4、C
【解析】根据用反证法证明数学命题的步骤和方法，应先假设命题的否定成立
而命题“ 与都不能被7整除”的否定为“至少有一个能被7整除”，
故选C
【点睛】本题主要考查用反证法证明数学命题，把要证结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的关键.
5、D
【解析】推导出，，，再由，求出结果
【详解】∵角的终边经过点，
∴，，，
∴
故选：D
6、D
【解析】在定义域每个区间上为减函数，排除.是非奇非偶函数，排除.故选.
7、D
【解析】根据并集的概念和运算即可得出结果.
【详解】由，
得.
故选：D
8、A
【解析】根据条件可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f(x)在的图象；令，画出其图象，进而得出函数的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论
【详解】因为定义在R上的偶函数f(x)满足，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
当x∈[0，1]时，，可以得出函数f(x)在上的图象，进而得出函数f(x)
在的图象.画出函数，的图象；
令，可得周期T1，画出其图象，进而得出函数的图象
由图象可得：函数在区间上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为.

故选：A
9、A
【解析】令t＝-x2+2x﹣1，则y，故本题即求函数t的增区间，再结合二次函数的性质可得函数
t的增区间
【详解】令t＝-x2+2x﹣1，则y，故本题即求函数t的增区间，
由二次函数的性质可得函数t的增区间为（-∞，1），
所以函数的单调递减区间为(-∞,1).
故答案为A
【点睛】本题主要考查指数函数和二次函数的单调性，考查复合函数的单调性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
10、C
【解析】根据零点存在性定理进行判断即可
【详解】，，，
，根据零点存在性定理可得，则的零点所在区间为
故选C
【点睛】本题考查零点存性定理，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据余弦函数的定义可得答案.
【详解】解：∵是角终边上的一点，∴
故答案为：.
12、①②④
【解析】直接利用奇函数的定义，函数图象的平移变换，象限角，三角函数的恒等变换以及余弦函数图像的性质即可判断.
【详解】对于①，其中，
即为奇函数，则①正确；
对于②将的图象向右平移个单位长度，
即，则②正确；
对于③若令，，则，则③不正确；
对于④
，
由题意可知，任意一个长为的开区间上至少包含函数的一个周期，
的周期为，则，即，则的最小值是4, 则④正确；
故答案为：①②④.
13、
【解析】由独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】由独立事件的乘法公式可知，两件都是正品的概率是.
故答案为：
14、2
【解析】有题设得到，利用基本不等式求得最小值.
【详解】由题知，，则，，
则，当且仅当时等号成立，
故答案为：2
15、 [-2，2]
【解析】利用正弦函数的值域，二次函数的性质，求得函数f（x）的值域，属于基础题
【详解】∵sinx∈[-1，1]，∴函数y=1-sin2x-2sinx=-（sinx+1）2+2，故当sinx=1时，函数f（x）取得最小值为-4+2=-2，当sinx=-1时，函数f（x）取得最大值为2，故函数的值域为[-2，2]，故答案为[-2，2]
【点睛】本题主要考查正弦函数的值域，二次函数的性质，属于基础题
16、
【解析】由二次函数的知识得，当时有．令，则，．结合二次函数可得要满足题意，只需，解不等式可得所求范围
【详解】由已知可得，
所以当时，取得最小值，且
令，
则，
要使函数的最小值与函数的最小值相等，
只需满足，
解得或.
所以实数的取值范围是
故答案为
【点睛】本题考查二次函数最值的问题，求解此类问题时要结合二次函数图象，即抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系进行求解，同时注意数形结合在解题中的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用三角函数表达出的长；（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.
【小问1详解】
设MN与AB相交于点E，则，则，故的长为
【小问2详解】
过点P作PF⊥MN于点F，则PF=AE=，而MN=ME+EN=，则三角形区域面积为
，设，因为，所以，故，而，则，故当时，取得最大值，

故三角形区域面积的最大值为
18、（1）；（2），；（3）.
【解析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论;利用正弦函数的单调性，求得的单调增区间;利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的值域
【详解】函数
，
故函数的最小正周期为．
令，求得，可得函数的增区间为，
在上，，，，
即的值域为
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，单调性，定义域和值域，属于中档题．单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间.
19、（1）；（2）答案见解析.
【解析】(1)先将分式不等式转化成一元二次不等式，再根据解集与根的关系，即得结果；
(2) 先将分式不等式转化成一元二次不等式，再结合根的大小对a进行分类讨论求解集即可.
【详解】（1）由，得，即，即，
等价于，由题意得，则；
（2）即，即.
①当时，不等式即为，则，此时原不等式解集为；
②当时，不等式即为.
1°若，则，所以，此时原不等式解集为；
2°若，则，不等式为，x不存在，此时原不等式解集为；
3°若，则，所以，此时原不等式解集为.
【点睛】分式不等式的解法：等价于；等价于；等价于或；等价于或.
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用两点式求得直线的方程.
（2）利用点斜式求得直线的方程.
【小问1详解】
∵直线经过点，且点在直线上，
∴由两点式方程得，即，
∴直线的方程为
【小问2详解】
若直线与直线平行，则直线的斜率为，
∵直线经过点，
∴直线的方程为，即
21、（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；
(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，
同时使得函数满足性质和；
（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.
【小问1详解】
因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
由可得，
所以，；
【小问2详解】
若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
【小问3详解】
若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.