2025年四川省武胜中学数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

2025年四川省武胜中学数学高一第一学期期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．的值是　　
A. B.
C. D.
2．已知函数，若，则的值为
A. B.
C.-1 D.1
3．函数有（ ）
A.最大值 B.最小值
C.最大值2 D.最小值2
4．下列函数中，同时满足：①在上是增函数，②为奇函数，③最小正周期为的函数是（）
A. B.
C. D.
5．设函数的部分图象如图，则　　

A.
B.
C.
D.
6．已知角的终边经过点，则
A. B.
C.-2 D.
7．化简的值是
A. B.
C. D.
8．函数在区间上的最小值是　　
A. B.0
C. D.2
9．设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是(　　)
A. B.//
C. D.
10． “”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则__________.
12．从含有两件正品和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为__________.
13．以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为__________
14．若，且，则上的最小值是_________.
15．已知函数的图像恒过定点A，若点A在一次函数的图像上，其中，则的最小值是__________
16．函数的定义域是______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数 .
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的值域为R，求实数取值范围.
18．设函数.
（1）若，且均为正实数，求的最小值，并确定此时实数的值；
（2）若满足在上恒成立，求实数的取值范围.
19．求证：角为第二象限角的充要条件是
20．设函数f（x）的定义域为I，对于区间，若，x2∈D（x1＜x2）满足f（x1）＋f（x2）＝1，则称区间D为函数f（x）的V区间
（1）证明：区间（0，2）是函数的V区间；
（2）若区间[0，a]（a＞0）是函数的V区间，求实数a的取值范围；
（3）已知函数在区间[0，＋∞）上的图象连续不断，且在[0，＋∞）上仅有2个零点，证明：区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间
21．已知
（1）若为第三象限角，求的值
（2）求的值
（3）求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】由余弦函数的二倍角公式把等价转化为，再由诱导公式进一步简化为，由此能求出结果
详解】，故选B
【点睛】本题考查余弦函数的二倍角公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意诱导公式的灵活运用，属于基础题.
2、D
【解析】 ,选D
点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.
3、D
【解析】分离常数后，用基本不等式可解.
【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
4、D
【解析】根据三角函数的图像和性质逐项分析即可求解.
【详解】A中的最小正周期为，不满足；
B中是偶函数，不满足；
C中的最小正周期为，不满足；
D中是奇函数﹐且周期，令，∴，∴函数的递增区间为，，∴函数在上是增函数，故D正确.
故选：D.
5、A
【解析】根据函数的图象，求出A，和的值，得到函数的解析式，即可得到结论
【详解】由图象知，，则，所以，
即，
由五点对应法，得，即，
即，
故选A
【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中根据条件求出A，和的值是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
6、B
【解析】按三角函数的定义，有.
7、B
【解析】利用终边相同角同名函数相同，可转化为求的余弦值即可.
【详解】.故选B.
【点睛】本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值，属于容易题.
8、A
【解析】函数，可得的对称轴为，利用单调性可得结果
【详解】函数，
其对称轴为，在区间内部，
因为抛物线的图象开口向上，
所以当时，在区间上取得最小值，
其最小值为，故选A
【点睛】本题考查二次函数的最值，注意分析的对称轴，属于基础题．若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.
9、D
【解析】由得若,即,则向量共线且方向相反，
因此当向量共线且方向相反时,能使成立，
本题选择D选项.
10、A
【解析】根据终边相同的角的三角函数值相等，结合充分不必要条件的定义，即可得到答案；
【详解】，
当，
“”是“”的充分不必要条件，
故选：A

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】由同角三角函数商数关系及已知等式可得，应用诱导公式有，即可求值.
【详解】由题设，，可得，
∴.
故答案为：3
12、
【解析】基本事件总数6，取出的两件产品都是正品包含的基本事件个数2，由此能求出取出的两件产品都是正品的概率.
【详解】从含有两件正品和一件次品的3件产品中，
按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，
共包含，，，，，6个基本事件，
取出的两件产品都是正品包含，2个基本事件，
∴取出的两件产品都是正品的概率为，
故答案为：.
13、
【解析】以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，圆锥的底面半径，母线长，
该几何体的表面积为：.
故答案为
14、
【解析】将的最小值转化为求的最小值，然后展开后利用基本不等式求得其最小值
【详解】解：因为，且，
，当且仅当时，即，时等号成立；
故答案为：
15、8
【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解.
【详解】由可得当时，，故，
点A在一次函数的图像上，，即，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值是8.
故答案为：8.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A，代入一次函数得出，利用“1”的妙用求解.
16、
【解析】由题意可得，从而可得答案.
【详解】函数的定义域满足
即，所以函数的定义域为
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）当时，，利用二次函数的性质求出真数部分的范围，根据对数函数的单调性可求出值域；
（2）的值域为等价于的值域包含，故，即求.
小问1详解】
当时，，
∵，
∴，
∴函数的值域；
【小问2详解】
要使函数的值域为R，则的值域包含，
∴，
解得或，
∴实数取值范围为.
18、（1）的最小值为3，此时；（2）
【解析】（1）由可得，则由结合基本不等式即可求出；
（2）不等式恒成立等价于对恒成立，利用判别式可得对恒成立，再利用判别式即可求出的范围.
【详解】（1），则，
，
当且仅当，即时等号成立，
的最小值为3，此时；
（2），
则，
即对恒成立，
则，
即对恒成立，
则，解得.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查一元二次不等式的恒成立问题，属于中档题.
19、证明见解析
【解析】先证明充分性，即由可以推得角为第二象限角 ，再证明必要性，即由角为第二象限角 可以推得成立.
【详解】证明：充分性：即如果成立，那么为第二象限角
若成立，那么为第一或第二象限角，也可能是y轴正半轴上的角；
又成立，那么为第二或第四象限角
因为成立，所以角的终边只能位于第二象限
于是角为第二象限角
则是角为第二象限角的充分条件
必要性：即若角为第二象限角，那么成立
若角为第二象限角，则，，
则，同时成立，
即角为第二象限角，那么成立
则角为第二象限角是成立的必要条件
综上可知，角为第二象限角的充要条件是
20、（1）证明详见解析；（2）a＞1；（3）证明详见解析.
【解析】（1）取特殊点可以验证；
（2）利用的单调递减可以求实数a的取值范围；
（3）先证f（x）在上存在零点，然后函数在区间[0，＋∞）上仅有2个零点， f（x）在[π，＋∞）上不存在零点，利用定义说明区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间.
详解】（1）设x1，x2∈（0，2）（x1＜x2）
若f（x1）＋f（x2）＝1，则
所以lgx1＋lgx2＝lgx1x2＝0，x1x2＝1，
取，，满足定义
所以区间（0，2）是函数的V区间
（2）因为区间[0，a]是函数的V区间，
所以，x2∈[0，a]（x1＜x2）使得
因为在[0，a]上单调递减
所以，，
所以，a-1＞0，a＞1
故所求实数a的取值范围为a＞1
（3）因为，，
所以f（x）在上存在零点，
又因为f（0）＝0
所以函数f（x）在[0，π）上至少存在两个零点，
因为函数在区间[0，＋∞）上仅有2个零点，
所以f（x）在[π，＋∞）上不存在零点，
又因为f（π）＜0，所以，f（x）＜0
所以，x2∈[π，＋∞）（x1＜x2），f（x1）＋f（x2）＜0
即因此不存在，x2∈[π，＋∞）（x1＜x2）满足f（x1）＋f（x2）＝1
所以区间[π，＋∞）不是函数f（x）的V区间
【点睛】本题考查了函数的性质，对新定义的理解，要求不仅好的理解能力，还要有好的推理能力.
21、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）化简式子可得，平方后利用同角三角函数的基本关系求解；
（2）分子分母同除以，化切后，由两角和的正切公式可得解；
（3）根据二倍角的余弦公式求解.
【小问1详解】
由可得，，
平方得，，
所以，
即，
因为为第三象限角，
所以.
【小问2详解】
由可得，
即，
所以
【小问3详解】
由（1）知，，
所以.