2025-2026学年贵州省大方县第一中学高二上数学期末经典模拟试题含解析.doc

2025-2026学年贵州省大方县第一中学高二上数学期末经典模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．等比数列的前项和为，前项积为，，当最小时，的值为（）
A.3 B.4
C.5 D.6
2．双曲线的离心率是，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
3．若双曲线与椭圆有公共焦点，且离心率，则双曲线的标准方程为（）
A. B.
C. D.
4．已知等比数列中，，，则该数列的公比为（）
A. B.
C. D.
5．已知直线l与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，若直线的斜率之积为，则直线l恒过定点（ ）
A. B.
C. D.
6．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（ ）

A.底面边长为6米 B.体积为立方米
C.侧面积为平方米 D.侧棱与底面所成角的正弦值为
7．（）
A. B.
C. D.
8．若命题“对任意，使得成立”是真命题，则实数a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
9．在中，若，，则外接圆半径为（ ）
A. B.
C. D.
10．若定义在R上的函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（）

A. B.
C. D.
11．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；若，则的长轴长与的实轴长之比为（ ）

A. B.
C. D.
12．已知递增等比数列的前n项和为，，且，则与的关系是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知点，圆：.若过点的圆的切线只有一条，求这条切线方程____________.
14．已知某圆锥的高为4，体积为，则其侧面积为________
15．设为第二象限角，若，则__________
16．若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆：，定点，Q为圆上的一动点，点P在半径CQ上，且，设点P的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过点的直线交曲线E于A，B两点，过点H与AB垂直的直线与x轴交于点N，当取最大值时，求直线AB的方程.
18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别为，其离心率，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A，B（均异于点M）.若∠AMB的角平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.
19．（12分）抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点
（1）若，求直线AB的斜率；
（2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值
20．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，两点，的中点坐标为.
（1）求直线l的方程；
（2）求的面积.
21．（12分）已知椭圆C：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-.
（1）求椭圆C的离心率
（2）点M（，）在椭圆C上，椭圆的左顶点为D，上顶点为B，点A的坐标为（1，0），过点D的直线L与椭圆在第一象限交于点P，与直线AB交于点Q设L的斜率为k，若，求k的值.
22．（10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A和B的大小；
若M，N是边AB上的点，，求的面积的最小值
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据等比数列相关计算得到，，进而求出与，代入后得到，利用指数函数和二次函数单调性得到当时，取得最小值.
【详解】显然，由题意得：，，两式相除得：，将代入，解得：，所以，所以，，所以，其中单调递增，所以当时，取得最小值.
故选：B
2、B
【解析】利用双曲线的离心率，以及渐近线中，关系，结合找关系即可
【详解】解：，又因为在双曲线中，，
所以，
故，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：B
3、A
【解析】首先求出椭圆的焦点坐标，然后根据可得双曲线方程中的的值，然后可得答案.
【详解】椭圆焦点坐标为
所以双曲线的焦点在轴上，，
因为，所以，
所以双曲线的标准方程为
故选：A
4、C
【解析】设等比数列的公比为，可得出，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，可得出.
故选：C.
5、A
【解析】设出直线方程，联立抛物线方程，得到，进而得到的值，将直线的斜率之积为，用A,B点坐标表示出来，结合的值即可求得答案.
【详解】设直线方程为 ，
联立 ，整理得： ，
需满足 ，即 ，
则 ，
由 ，得： ，
所以 ，即 ，
故 ，
所以直线l为：，当时，，
即直线l恒过定点，
故选：A.
6、D
【解析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.
【详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接
则为该正四棱锥的高，即平面
取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得
由分别为的中点，所以，则
所以为二面角的平面角，由条件可得
设正方形的边长为，则,又
则 , 解得 故选项A正确.
所以,
则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.
该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.
由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.
故选：D

7、B
【解析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.
【详解】
故选：B.
8、A
【解析】由题得对任意恒成立，求出的最大值即可.
【详解】解：由题得对任意恒成立，

(当且仅当时等号成立)
所以
故选：A
9、A
【解析】根据三角形面积公式求出c，再由余弦定理求出a，根据正弦定理即可求外接圆半径.
【详解】,,
,

解得
由正弦定理可得：，
所以
故选：A
10、A
【解析】由函数单调性得出和的解，然后分类讨论解不等式可得
【详解】由图象可知：在为正，在为负，
，可化为：或，解得或
故选：A
11、D
【解析】在图①和图②中，利用椭圆和双曲线的定义，分别求得 和的周长，再根据光速相同，且 求解.
【详解】在图①中，由椭圆的定义得：，由双曲线的定义得，
两式相减得 ，
所以 的周长为 ，
在图②中，的周长为，
因为光速相同，且 ，
所以 ，即 ，
所以，
即的长轴长与的实轴长之比为，
故选：D
12、D
【解析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解.
【详解】设等比数列的公比为，
由，得，
所以，
又，所以，
所以，，
所以
即
故选：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、或
【解析】由题设知A在圆上，代入圆的方程求出参数a，结合切线的性质及点斜式求切线方程.
【详解】因为过的圆的切线只有一条，则在圆上，
所以，则，且切线斜率，即，
所以切线方程或，整理得或.
故答案为：或.
14、
【解析】设该圆锥的底面半径为r，由圆锥的体积V＝πr2h，可解得r的值，再由勾股定理求得圆锥的母线长l，而侧面积S＝πrl，代入数据即可得解
【详解】设该圆锥的底面半径为r，圆锥的体积V＝πr2h＝πr2×4＝12π，解得r＝3
∴圆锥母线长l＝＝5，∴侧面积S＝πrl＝15π
故答案为：15π
【点睛】本题考查圆锥的侧面积和体积的计算，理解圆锥的结构特征是解题的关键，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题
15、
【解析】先求出，再利用二倍角公式求的值.
【详解】因为为第二象限角，若，
所以.
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查同角三角函数的平方关系，考查二倍角的正弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
16、
【解析】首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数在开区间内存在最大值，可判断极大值点就是最大值点，列式求解.
【详解】由题可知：
所以函数在单调递减，在单调递增，故函数的极大值为 .所以在开区间内的最大值一定是又， 所以 得实数的取值范围是
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由函数在开区间内若存在最大值，即极大值点在区间内，同时还得满足极大值点是最大值，还需列不等式，不要忽略这个不等式.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或
【解析】(1)结合已知条件可得到点P在线段QF的垂直平分线上，然后利用椭圆定义即可求解；(2)结合已知条件设出直线的方程，然后联立椭圆方程，利用弦长公式求出，再设出直线NH的方程，求出N点坐标，进而求出，然后表示出，再利用换元法和均值不等式求解即可.
【小问1详解】
设点的坐标为，
∵，
∴点P在线段QF垂直平分线上，
∴，
又∵，∴
∴点P在以C，F为焦点的椭圆上，且，
∴，
∴曲线的方程为：.
【小问2详解】
设直线AB方程为，，
由，解得，
，解得，
由韦达定理可知，，，
∴
∵AB与HN垂直，∴直线NH的方程为，
令，得，∴，
又由，∴，
∴
设则
∴
当且仅当即时等号成立，有最大值，此时满足，
故，
所以直线AB的方程为：，即或.
18、（1）
（2）是，证明见解析
【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；
（2）根据题意分别设出直线MA、MB，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.
【小问1详解】
由，得，所以a2 =9b2①，
又椭圆过点，则②，
由①②解得a=6，b=2，所以椭圆的标准方程为
【小问2详解】
设直线MA的斜率为k，点， 因为∠AMB的平分线与y轴平行，所以直线MA与MB的斜率互为相反数，则直线MB的斜率为-k.
联立直线MA与椭圆方程，得
整理，得，
所以，同理可得，
所以，
又

所以为定值.
19、（1）；（2）面积最小值是4
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，依题意F（1,0），设直线AB的方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，得，由此能够求出直线AB的斜率；第二问，由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于，由此能求出四边形OACB的面积的最小值
试题解析：（1）依题意知F（1,0），设直线AB方程为．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得．设，，所以，．①因为，所以．②联立①和②，消去，得
所以直线AB的斜率是
（2）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于
因为，
所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4

考点：抛物线的标准方程及其几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、直线的斜率
20、（1）
（2）
【解析】（1）设，根据AB的中点坐标可得，再利用点差法求得直线的斜率，即可求出直线方程；
（2）易得直线过左焦点，联立直线和椭圆方程，消，利用韦达定理求得，再根据即可得出答案.
【小问1详解】
解：设，
因为的中点坐标为，所以，
则，
两式相减得，
即，
即，所以直线l的斜率为1，
所以直线l的方程为，即；
【小问2详解】
在直线中，当时，，
由椭圆：，得，
则直线过点，
联立，消整理得，
则，
.
21、（1）
（2）1
【解析】（1）根据椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-，由求解；
（2）根据点M（，）在椭圆C上，顶点，再由，求得椭圆方程，由，结合，得到，设直线方程为，与椭圆方程联立，求得点P的坐标，再由，求得Q的坐标，代入求解.
【小问1详解】
解：设椭圆C：的上顶点为，
左顶点为，右顶点为，
因为椭圆的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为-,
所以，即，又
所以，解得；
【小问2详解】
因为点M（，）在椭圆C上，
所以，又，
解得，
所以椭圆方程为，，
则，
因为，
所以，
又，
所以，则，
设，则，
当时，则，不合题意；
当时，设直线方程为，
与题意方程联立，消去y得：
则，
所以，则，
因为，由，得，
因为，所以，
化简得，因，则.
22、（1），（2）
【解析】利用正余弦定理化简即求解A和B的大小
利用正弦定理把CN、CM表示出来，结合三角函数的性质，即可求解的面积的最小值
【详解】解：，
由正弦定理得：，
，，
可得，即;

,
由
由余弦定理可得：，
，

如图所示:

设，,
在中由正弦定理,得,
由可知,,
所以:,
同理,
由于,
故，此时
故的面积的最小值为
【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，三角函数的有界限求解最值范围，考查了推理能力与计算能力，属于中档题