江苏省南通市海安中学2026届高一数学第一学期期末联考模拟试题含解析.doc

江苏省南通市海安中学2026届高一数学第一学期期末联考模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数则=（ ）
A. B.9
C. D.
2．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为40L的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出用水补满，搅拌均匀，第二次倒出后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的最小值为（ ）
A.5 B.10
C.15 D.20
3．已知函数，且，则
A.3 B.
C.9 D.
4．若角满足条件，且，则在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5．已知定义在R上的函数满足：对任意，则
A. B.0
C.1 D.3
6．已知函数与的部分图象如图1（粗线为部分图象，细线为部分图象）所示，则图2可能是下列哪个函数的部分图象（）

A. B.
C. D.
7．将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（　　）
A. B.
C. D.
8．幂函数的图象过点，则函数的值域是（）
A. B.
C. D.
9．在长方体中，，则异面直线与所成角的大小是
A. B.
C. D.
10．已知的值域为，那么的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知直线,直线若，则______________
12．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过x的最大整数.例如：，.已知函数，若，则________；不等式的解集为________.
13．锐角中, 分别为内角的对边,已知，，，则的面积为__________
14．已知函数和函数的图像相交于三点，则的面积为__________.
15．已知为的外心，，，，且；当时，______；当时，_______.
16．若幂函数的图象过点，则______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.

（Ⅰ）证明： BC1//平面A1CD;
（Ⅱ）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.
18．已知
（1）求函数的单调递增区间与对称轴方程；
（2）当时，求的最大值与最小值
19．已知函数
（1）求证：用单调性定义证明函数是上的严格减函数；
（2）已知“函数的图像关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”.试用此结论判断函数的图像是否存在对称中心，若存在，求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若对任意，都存在及实数，使得，求实数的最大值.
20．在中，顶点，，BC边所在直线方程为.
（1）求过点A且平行于BC的直线方程；
（2）求线段AB的垂直平分线方程.
21．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.
（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；
（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据函数的解析式求解即可.
【详解】，
所以，
故选A
2、B
【解析】依据题意列出不等式即可解得V的最小值.
【详解】由，解得
则V的最小值为10.
故选：B
3、C
【解析】利用函数的奇偶性以及已知条件转化求解即可
【详解】函数g（x）＝ax3+btanx是奇函数，且,
因为函数f（x）＝ax3+btanx+6（a，b∈R），且，可得＝﹣3，
则＝﹣g（）+6＝3+6＝9
故选C
【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．已知函数解析式求函数值，可以直接将变量直接代入解析式从而得到函数值，直接代入较为繁琐的题目，可以考虑函数的奇偶性的应用，利用部分具有奇偶性的特点进行求解，就如这个题目.
4、B
【解析】因为，所以在第二或第四象限，且，所以在第二象限
考点：三角函数的符号
5、B
【解析】，且，又，，由此可得，，是周期为的函数，，，故选B.
考点：函数的奇偶性，周期性，对称性，是对函数的基本性质的考察.
【易错点晴】函数满足则函数关于中心对称，,则函数关于轴对称，常用结论：若在上的函数满足，则函数以为周期.本题中，利用此结论可得周期为，进而，需要回到本题利用题干条件赋值即可.
6、B
【解析】结合函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确选项.
【详解】由图1可知为偶函数，为奇函数，
A选项，，所以是偶函数，不符合图2.A错.
C选项，，所以是偶函数，不符合图2.C错.
D选项，，所以的定义域不包括，不符合图2.D错.
B选项，，所以是奇函数，符合图2，所以B符合.
故选：B
7、C
【解析】由题意可得，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，于是把钢球的球心连接，则可得到一个棱长为2的小正四面体，该小正四面体的高为，且由正四面体的性质可知，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心是重合的，所以小正四面体的中心到底面的距离是，正四面体的中心到底面的距离是，所以可知正四面体的高的最小值为，故选择C
考点：几何体的体积
8、C
【解析】设，带点计算可得，得到，令转化为二次函数的值域求解即可.
【详解】设，
代入点得
，

则，令，

函数的值域是.
故选：C.
9、C
【解析】连接为异面直线与所成角，几何体是长方体，是，，异面直线与所成角的大小是,故选C.
10、C
【解析】先求得时的值域，再根据题意，当时，值域最小需满足，分析整理，即可得结果.
【详解】当，，
所以当时，，
因为的值域为R，
所以当时，值域最小需满足
所以，解得，
故选：C
【点睛】本题考查已知函数值域求参数问题，解题要点在于，根据时的值域，可得时的值域，结合一次函数的图像与性质，即可求得结果，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由两条直线垂直，可得，解方程即可求解.
详解】若，则，解得，
故答案为：
【点睛】本题考查了由两条直线互相垂直，求参数的范围，熟练掌握直线垂直的充要条件是解题的关键，考查了运算能力，属于基础题.
12、 ①. ②.
【解析】第一空：”根据“高斯函数”的定义，可得，进而再分类讨论建立方程求值即可；第二空：分类讨论建立不等式求解即可.
【详解】由题意，得，
当时，，即；
当时，，即(舍)，
综上；
当时，，即，
当时，，即，
综上，.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：求解分段函数相关问题的关键是“分段归类”，即应用分类讨论思想.
13、
【解析】由已知条件可得，，再由正弦定理可得，从而根据三角形内角和定理即可求得，从而利用公式即可得到答案.
【详解】，
由得，
又为锐角三角形，
，
又，即，
解得，
.
由正弦定理可得，解得，
又，
，

故答案为.
【点睛】三角形面积公式的应用原则：
(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式
(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化
14、
【解析】解出三点坐标，即可求得三角形面积.
【详解】由题：，
，所以，，
所以，
.
故答案为：
15、 (1). (2).
【解析】（1）由可得出为的中点，可知为外接圆的直径，利用锐角三角函数的定义可求出；（2）推导出外心的数量积性质，，由题意得出关于、和的方程组，求出的值，再利用向量夹角的余弦公式可求出的值.
【详解】当时，由可得，，
所以，为外接圆的直径，则，此时；
如下图所示：

取的中点，连接，则，所，
，同理可得.
所以，，整理得，
解得，，，因此，.
故答案为：；.
【点睛】本题考查三角的外心的向量数量积性质的应用，解题的关键就是推导出，，并以此建立方程组求解，计算量大，属于难题.
16、
【解析】设，将点代入函数的解析式，求出实数的值，即可求出的值.
【详解】设，则，得，，因此，.
故答案为.
【点睛】本题考查幂函数值的计算，解题的关键就是求出幂函数的解析式，考查运算求解能力，属于基础题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）连接AC1交A1C于点F，则DF为三角形ABC1的中位线，故DF∥BC1．再根据直线和平面平行的判定定理证得BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）由题意可得此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形，由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB1A1．求得CD的值，利用勾股定理求得A1D、DE和A1E的值，可得A1D⊥DE．进而求得S△A1DE的值，再根据三棱锥C-A1DE的体积为•S△A1DE•CD，运算求得结果
试题解析：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，
连结DF，则BC1∥DF.3分
因DF⊂平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD， 4分
所以BC1∥平面A1CD.5分

（2）解：因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥CD．由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB．又AA1∩AB=A，于是CD⊥平面ABB1A1.8分
由AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，，，，A1E=3，故A1D2+DE2=A1E2，即DE⊥A1D 10分
所以三菱锥C﹣A1DE的体积为：==1.12分
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积
18、（1）单调递增区间为，k∈Z．对称轴方程为，其中k∈Z
（2）f（x）的最大值为2，最小值为–1
【解析】（1）因为，由，
求得，k∈Z，
可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z
由，求得，k∈Z
故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z
（2）因为，所以，故有，
故当即x=0时，f（x）的最小值为–1，
当即时，f（x）的最大值为2
19、（1）见解析；
（2）存在，为；
（3）2.
【解析】(1)先设，然后利用作差法比较与的大小即可判断；
假设函数的图像存在对称中心，
(2)结合函数的对称性及恒成立问题可建立关于，的方程，进而可求，；
(3)由已知代入整理可得，的关系，然后结合恒成立可求的范围，进而可求
【小问1详解】
设，则，
∴，
∴函数是上的严格减函数；
【小问2详解】
假设函数的图像存在对称中心，
则恒成立，
整理得恒成立，
∴，
解得，，
故函数的对称中心为；
【小问3详解】
∵对任意,，都存在,及实数，使得，
∴，
即，
∴，
∴，
∵,，∴,，
∵,，∴,,，
∴，即，
∴，
∴，即的最大值为2
20、（1）
（2）
【解析】（1）利用点斜式求得过点A且平行于BC的直线方程.
（2）根据中点坐标、线段AB的垂直平分线的斜率求得正确答案.
【小问1详解】
直线的斜率为，
所以过点A且平行于BC的直线方程为.
【小问2详解】
线段的中点为，
直线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线的斜率为，
所以线段AB的垂直平分线为.
21、（1）（2）这样规定公平，详见解析
【解析】（1）利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；
（2）利用古典概型及其概率的计算公式，求得的概率，即可得到结论.
【详解】由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y.
用表示抽取结果，可得，则所有可能的结果有16种，
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则，
事件A由4个基本事件组成，故所求概率.
（2）设“甲获胜”为事件B，“乙获胜”为事件C，
则，.
可得，
即甲获胜的概率是，乙获胜的概率也是，所以这样规定公平.
【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算及应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题题.