2025年河南省周口市扶沟县包屯高级中学数学高一第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析.doc

2025年河南省周口市扶沟县包屯高级中学数学高一第一学期期末学业质量监测模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知集合，，则（）
A B.
C. D.{1，2，3}
2．若两个非零向量，满足，则与的夹角为（）
A. B.
C. D.
3．棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为　　
A. B.
C. D.
4．已知，，且，，，那么的最大值为（）
A. B.
C.1 D.2
5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝（）
A.{x|－2＜x＜－1} B.{x|－2＜x＜3}
C.{x|－1＜x＜1} D.{x|1＜x＜3}
6．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：

1
2
4
5
6

123136
15.552
10.88
-52.488
-232.064
在以下区间中，一定有零点的是（）
A.（1，2） B.（2，4）
C.（4，5） D.（5，6）
7．已知弧长为cm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（ ）cm2
A. B.
C. D.
8．若，则的最小值是（）
A.1 B.2
C.3 D.4
9．在下列命题中，不是公理的是
A.平行于同一条直线的两条直线互相平行
B.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
C.空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两角相等或互补
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10．函数f（x）=+的定义域为（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数f（x）=sin（ωx+）（其中ω＞0），若x=为函数f（x）的一个零点，且函数f（x）在（，）上是单调函数，则ω的最大值为______
12．若幂函数在区间上是减函数，则整数________
13．设函数，若关于x的方程有且仅有6个不同的实根.则实数a的取值范围是_______.
14．一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______；
15．已知函数,若方程有四个不同的解,且,则的最小值是______,的最大值是______.
16．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.如图，O为线段中点，C为上异于O的一点，以为直径作半圆，过点C作的垂线，交半圆于D，连结，过点C作的垂线，垂足为E.设，则图中线段，线段，线段_______；由该图形可以得出的大小关系为___________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知集合，.
（1）当时，求.
（2）若，求实数m的取值范围.
18．已知函数.
（1）当，为奇函数时，求b的值；
（2）如果为R上的单调函数，请写出一组符合条件的a，b值；
（3）若，，且的最小值为2，求的最小值.
19．某中学调查了某班全部45名学生参加社会实践活动和社会公益活动的情况，数据如表单位：人：

参加社会公益活动
未参加社会公益活动
参加社会实践活动
30
4
未参加社会实践活动
8
3
从该班随机选1名学生，求该学生未参加社会公益活动也未参加社会实践活动的概率；
在参加社会公益活动，但未参加社会实践活动的8名同学中，有5名男同学，，，，，三名女同学，，，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人参加岗位体验活动，求被选中且未被选中的概率
20．已知函数.
（1）用“五点法”做出函数在上的简图；
（2）若方程在上有两个实根，求a的取值范围.
21．为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.
（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；
（2）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】利用并集概念进行计算.
【详解】.
故选：A
2、C
【解析】根据数量积的运算律得到，即可得解；
【详解】解：因为，
所以，即，
即，所以，即与的夹角为；
故选：C
3、A
【解析】先求出该球面的半径，由此能求出该球面的表面积
【详解】棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，
该球面的半径，
该球面的表面积为
故选A
【点睛】本题考查球面的表面积的求法，考查正方体的外接球、球的表面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题
4、C
【解析】根据题意，由基本不等式的性质可得，即可得答案.
【详解】根据题意，，，，
则，当且仅当时等号成立，
即的最大值为1.
故选：
5、A
【解析】直接根据交集的定义即可得解.
【详解】解：因为A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
所以.
故选：A.
6、C
【解析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.
【详解】∵
∴ ，，，,
又函数的图象是一条连续不断的曲线，
由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点
故选：C.
7、C
【解析】根据弧长计算出半径，再利用面积公式得到答案.
【详解】弧长为cm的弧所对的圆心角为，则

故选
【点睛】本题考查了扇形面积，求出半径是解题的关键.
8、C
【解析】采用拼凑法，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为，，当且仅当时取到等号，故的最小值是3.
故选：C
9、C
【解析】A,B,D分别为公理4,公理1,公理2,C为角平行性质,选C
10、C
【解析】根据分母部位0，被开方数大于等于0构造不等式组，即可解出结果
【详解】利用定义域的定义可得 ，解得，即，
故选C
【点睛】本题考查定义域的求解，需掌握：
分式分母不为0，②偶次根式被开方数大于等于0，③对数的真数大于0.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由题意，为函数的一个零点，可得，且函数在，上是单调函数可得，即可求的最大值
【详解】解：由题意，为函数的一个零点，
可得，
则．
函数在，上是单调函数，可得，
即．
当时，可得的最大值为3
故答案为3．
【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图象及性质的应用，属于中档题．
12、2
【解析】由题意可得，求出的取值范围，从而可出整数的值
【详解】因为幂函数在区间上是减函数，
所以，解得，
因为，
所以，
故答案为：2
13、或或
【解析】作出函数的图象，设，分关于有两个不同的实数根、，和两相等实数根进行讨论，当方程有两个相等的实数根时，再检验，当方程有两个不同的实数根、时，或，再由二次方程实数根的分布进行讨论求解即可.
【详解】作出函数的简图如图，

令，要使关于的方程有且仅有个不同的实根，
（1）当方程有两个相等的实数根时，
由，即，此时
当，此时，此时由图可知方程有4个实数根，此时不满足.
当，此时，此时由图可知方程有6个实数根，此时满足条件.
(2)当方程有两个不同的实数根、时，则或
当时，由可得
则的根为
由图可知当时，方程有2个实数根
当时，方程有4个实数根，此时满足条件.
当时，设
由 ，则，即
综上所述：满足条件的实数a的取值范围是 或或
故答案为：或或
【点睛】关键点睛：本题考查利用复合型二次函数的零点个数求参数，考查数形结合思想的应用，解答本题的关键由条件结合函数的图象，分析方程的根情况及其范围，再由二次方程实数根的分布解决问题，属于难题.
14、15海里/小时
【解析】先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度.
【详解】设船的实际速度为，船速，水的流速，
则海里/小时，
∴海里/小时.
故答案为：15海里/小时

15、 ①.1 ②.4
【解析】画出的图像,再数形结合分析参数的的最小值,再根据对称性与函数的解析式判断中的定量关系化简再求最值即可.
【详解】画出的图像有：

因为方程有四个不同的解,故的图像与有四个不同的交点,又由图,, 故的取值范围是,故的最小值是1.
又由图可知,,,故,故.
故.
又当时, .当时, ,故.
又在时为减函数,故当时取最大值.
故答案为：(1).1 (2).4
【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数以及范围的问题,需要根据题意分析交点间的关系,并结合函数的性质求解.属于难题.
16、 ①. ②.
【解析】利用射影定理求得，结合图象判断出的大小关系.
【详解】在中，由射影定理得，即.
在中，由射影定理得，
即
根据图象可知，即.
故答案为：；

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）利用集合的交集运算即可求解；
（2）由集合的基本运算得出集合的包含关系，进而求出实数m的取值范围.
【小问1详解】
解：时，；
又
；
【小问2详解】
解：由得

所以
解得：
所以实数m的取值范围为：
18、（1）
（2），（答案不唯一，满足即可）
（3）
【解析】（1）当时，根据奇函数的定义，可得，化简整理，即可求出结果；
（2）由函数和函数在上的单调递性，可知，即可满足题意，由此写出一组即可；
（3）令，则，然后再根据基本不等式和已知条件，可得，再根据基本不等式即可求出结果.
【小问1详解】
解：当时，，
因为是奇函数，所以，
即，得，可得；
【小问2详解】
解：当，时，此时函数为增函数.（答案不唯一，满足即可）
检验：当和时，，，均是上的单调递增函数，所以此时是上的单调递增函数，满足题意；
【小问3详解】
解：令，则，
所以，即，当且仅当，即时等号成立，
所以，
由题意，，所以.
由，
当且仅当时等号成立，由解得，
所以.
19、（1）；（2）.
【解析】从该班随机选1名学生，利用古典概型能求出该学生未参加社会公益活动也未参加社会实践活动的概率
基本事件总数，被选中且未被选中包含的基本事件个数，由此能求出被选中且未被选中的概率
【详解】解：从该班随机选1名学生，
该学生既未参加社会公益活动也未参加社会实践活动的概率
在参加社会公益活动，但未参加社会实践活动的8名同学中，
有5名男同学，，，，，三名女同学，，，
现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人参加岗位体验活动，
基本事件总数，
被选中且未被选中包含的基本事件个数，
被选中且未被选中的概率
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，属于基础题
20、（1）答案见解析
（2）
【解析】（1）根据“五点法”作图法，列表、描点、作图，即可得到结果；
（2）将原问题转化为与在上有两个不同的交点，作出函数在的图象，由数形结合即可得到结果.
【小问1详解】
解：列表：
x
0

1

1
3
1
作图：
【小问2详解】
解：若方程在上有两个实根，
则与在上有两个不同交点，
因为，所以
作出函数在的图象，如下图所示：

又，，，，
由图象可得，或，
故a的取值范围是.
21、（1）函数模型①，函数模型②
（2）函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500
【解析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；
（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.
【小问1详解】
对于函数模型①：把及相应y值代入得
解得，所以.
对于函数模型②：把及相应y值代入得
解得，所以.
【小问2详解】
对于模型①，当时，，当时，，故模型①不符合观测数据；
对于模型②，当时，，当时，，符合观测数据，
所以函数模型②更合适
要使，则，
即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.