福建省龙岩第一中学2025-2026学年高二数学第一学期期末达标检测试题含解析.doc

福建省龙岩第一中学2025-2026学年高二数学第一学期期末达标检测试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若抛物线的焦点与椭圆的下焦点重合，则m的值为（）
A.4 B.2
C. D.
2．如图，在空间四边形OABC中，，，，点N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，则（ ）

A. B.
C. D.
3．等比数列的公比为，则“”是“对于任意正整数n，都有”的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4．命题，，则为（）
A.， B.，
C.， D.，
5．一道数学试题，甲、乙两位同学独立完成，设命题是“甲同学解出试题”，命题是“乙同学解出试题”，则命题“至少一位同学解出试题”可表示为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知命题：，使；命题：，都有，则下列结论正确的是（ ）
A.命题“”是真命题： B.命题“”是假命题：
C.命题“”是假命题： D.命题“”是假命题
7．已知两直线与，则与间的距离为（ ）
A. B.
C. D.
8．若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（）
A. B.
C. D.
9．由下面的条件一定能得出为锐角三角形的是（）
A. B.
C. D.
10．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）
A. B.
C. D.
11．已知双曲线，则该双曲线的实轴长为（）
A.1 B.2
C. D.
12．设函数的图象在点处的切线为，则与坐标轴围成的三角形面积的最小值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，则曲线在处的切线方程为___________.
14．已知正方体,点在底面内运动,且始终保持平面,设直线与底面所成的角为,则的最大值为______.
15．若直线与直线平行，则________.
16．斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列满足，，，若记，，则________．（用，表示）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，

（1）若为中点，求证平面；
（2）若，求面与面的夹角的余弦值.
18．（12分）设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4
（1）求直线AB的斜率；
（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程
19．（12分）已知圆,直线
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）若直线与圆交于不同两点,且,求直线的方程
20．（12分）已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相交于，两点，求的面积
21．（12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝2AF＝2

（1）证明：AC∥平面BEF；
（2）求点C到平面BEF的距离
22．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合
（1）求椭圆的离心率；
（2）求抛物线的方程；
（3）设是抛物线上一点，且，求点的坐标
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】求出椭圆的下焦点，即抛物线的焦点，即可得解.
【详解】解：椭圆的下焦点为，
即为抛物线焦点，∴，∴.
故选：D.
2、D
【解析】利用空间向量的线性运算即可求解.
【详解】解：∵N为BC的中点，点M在线段OA上，且OM=2MA，且，，，

故选：D.
3、D
【解析】结合等比数列的单调性，根据充分必要条件的定义判断
【详解】若，，则，，充分性不成立；
反过来，若，，则时，必要性不成立；
因此“”是“对于任意正整数n，都有”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4、B
【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.
【详解】命题，为特称命题，而特称命题的否定是全称命题，
所以命题，，则为：，.
故选：B
5、D
【解析】根据“或命题”的定义即可求得答案.
【详解】“至少一位同学解出试题”的意思是“甲同学解出试题，或乙同学解出试题”.
故选：D.
6、B
【解析】根据正弦函数的性质判断命题为假命题，由判断命题为真命题，从而得出答案.
【详解】因为的值域为，所以命题为假命题
因为，所以命题为真命题
则命题“”是假命题，命题“”是假命题，命题“”是真命题，命题“”是真命题
故选：B
7、B
【解析】把直线的方程化简，再利用平行线间距离公式直接计算得解.
【详解】直线的方程化为：，显然，，
所以与间的距离为.
故选：B
8、B
【解析】利用余弦型函数的周期公式可求得的值，由结合的取值范围可求得的值.
【详解】由已知可得，且，因此，.
故选：B.
9、D
【解析】对于A，两边平方得，由得，即为钝角；
对于B，由正弦定理求出，进而求出，可得结果；
对于C，根据平方关系将余弦化为正弦，用正弦定理可将角转化为边，进而可得的值，从而作出判断；
对于D，由可得，推出，，，故可知三个内角均为锐角
【详解】解：对于A，由，
两边平方整理得，，
因为，所以，
所以，所以，所以为钝角三角形，故A不正确；
对于B，由，得，
所以，
因为，所以，所以或，
所以或，所以为直角三角形或钝角三角形，故B不正确；
对于C，因为，
所以，
即，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
因为，
所以，故三角形为钝角三角形，C不正确；
对于D，由可得，
因为中最多只有一个钝角，所以，，中最多只有一个为负数，所以，，，所以中三个内角都为锐角，所以为锐角三角形，故D正确；
故选：D
10、B
【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出
【详解】如图所示：不妨设棱长为1，
，，
所以＝＝，
，，
即，故异面直线与所成角的余弦值为

故选：B
注意事项：1.将答案写在答题卡上 2.本卷共10小题，共80分.
11、B
【解析】根据给定的双曲线方程直接计算即可作答.
【详解】双曲线的实半轴长，
所以该双曲线的实轴长为2.
故选：B
12、C
【解析】利用导数的几何意义求得切线为，求x、y轴上截距，进而可得与坐标轴围成的三角形面积，利用导数研究在上的最值即可得结果.
【详解】由题设，，则，又，
所以切线为，
当时，当时，又，
所以与坐标轴围成的三角形面积为，
则，当时，当时，
所以在上递减，在上递增，即.
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程
【详解】解：∵，∴，又，
∴曲线在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
14、
【解析】画出立体图形,因为面面,在底面内运动,且始终保持平面,可得点在线段上运动,因为面面,直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等,即可求得答案.
【详解】连接和

,
面面
在底面内运动,且始终保持平面
可得点在线段上运动,
面面,
直线与底面所成的角和直线与底面所成的角相等
面
直线与底面所成的角为:
有图像可知:
长是定值,
当最短时,,即最大,即角最大
设正方体的边长为

,

故
故答案为:
【点睛】本题考查了求线面角的最大值,解题是掌握线面角的定义和处理动点问题时,应画出图形,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
15、
【解析】根据直线平行的充要条件即可求出
【详解】当时，显然两直线不平行，所以依题有，解得
故答案为：
16、
【解析】由已知两式相加求得，得，
得到，从而得到，，利用可得答案.
【详解】因为，
由，，得，
所以，
得，
因为，
所以，
，
所以，，
所以，.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）先证，，再证平面即可；
（2）建立空间直角坐标系，先求出面与面的法向量，再计算夹角余弦值即可.
小问1详解】

取中点，连接，则四边形为平行四边形，
，为直角三角形，且.
又平面，平面，.
又，平面.
【小问2详解】
，为等边三角形，取中点，连接，则，以为坐标原点，分别以为轴建立空间坐标系，如图

令，则，

设面的法向量为，
则由得
取，则
设面的法向量为，则由得
取，则
设面与面的夹角为，则
所以面与面的夹角的余弦值为.
18、（1）1；（2）y＝x＋7
【解析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率；
（2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m.
【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，
于是直线AB的斜率k＝＝＝1
（2）由y＝，得y′＝
设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)
设直线AB的方程为y＝x＋m，
故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|
将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0
当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2
从而|AB|＝|x1－x2|＝
由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，
解得m＝7
所以直线AB的方程为y＝x＋7
19、（1）直线与圆相交；（2）或
【解析】（1）通过比较圆心到直线的距离与半径的关系，不难发现直线和圆相交．（2）根据垂径定理，得到圆心与直线的距离，进而列方程求解即可
试题解析：（1）将圆方程化为标准方程,所以圆的圆心,半径,圆心到直线的距离,因此直线与圆相交
（2）设圆心到直线的距离为,则,又,解得所求直线为或
考点：直线与圆的位置关系
20、（1）
（2）4
【解析】（1）由已知设圆心，再由相切求圆半径从而得解.
（2）求弦长，再求点到直线的距离，进而可得解.
【小问1详解】
因为圆心在直线上，所以设圆心，
又圆与轴相切于点，所以，即
圆与轴相切，则圆的半径，于是圆的方程为
【小问2详解】
圆心到直线的距离，则，
又到直线的距离为，
所以.
21、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）建立空间直角坐标系，进而求出平面BEF的法向量，然后证明线面平行；
（2）算出在向量方向上的投影，进而求得答案.
【小问1详解】
因为DE⊥平面ABCD，DA、DC平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，因为ABCD是正方形，所以DA⊥DC.以D为坐标原点，所在方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(0，0，2)，F(2，0，1)，

所以，，设平面BEF的法向量，因为，所以－2x－2y＋2z＝0，－2y＋z＝0，令y＝1，则＝(1，1，2)，又因为＝(－2，2，0)，所以，即，而平面BEF，所以AC∥平面BEF.
【小问2详解】
设点C到平面BEF的距离为d，而，所以，所以点C到平面BEF的距离为
22、（1）；
（2）；
（3）
【解析】（1）由椭圆方程即可求出离心率.
（2）求出椭圆的焦点即为抛物线的焦点，即可求出答案.
（3）由抛物线定义可求出点的坐标
【小问1详解】
由题意可知，.
【小问2详解】
椭圆的右焦点为，
故抛物线的焦点为.
抛物线的方程为.
【小问3详解】
设的坐标为，，解得，.
故的坐标为.