湖南省凤凰县皇仓中学2025年高一数学第一学期期末学业水平测试试题含解析.doc

湖南省凤凰县皇仓中学2025年高一数学第一学期期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知函数，则函数（）
A.有最小值 B.有最大值
C.有最大值 D.没有最值
2．下列函数中，既是偶函数又在上是单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
3．把表示成，的形式，则的值可以是（）
A. B.
C. D.
4．如图正方体，棱长为1，为中点，为线段上的动点，过的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是　　

当时，为四边形；
当时，为等腰梯形；
当时，与交点R满足；
当时，为六边形；
当时，的面积为
A. B.
C. D.
5．已知命题p：，，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
6．设，且，下列选项中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7．在空间给出下面四个命题（其中、为不同的两条直线），、为不同的两个平面）
①
②
③
④
其中正确的命题个数有
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
8．定义在上的奇函数满足，且当时，，则 （ ）
A. B.2
C. D.
9．已知函数为奇函数，且当时，，则（）
A. B.
C. D.
10．已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.，
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，则_________
12．若，，且，则的最小值为__________
13．若，则的值为___________.
14．用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时，第一次经计算，可得其中一个零点x0∈(0，1)，那么经过下一次计算可得x0∈___________(填区间).
15．当曲线与直线有两个相异交点时，实数的取值范围是________
16．已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（a为实常数）
（1）若，设在区间的最小值为，求的表达式：
（2）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围
18．如图所示，设矩形的周长为cm，把沿折叠，折过去后交于点，设cm，cm

（1）建立变量与之间的函数关系式，并写出函数的定义域;
（2）求的最大面积以及此时的的值
19．已知与都是锐角，且，
（1）求的值；
（2）求证：
20．已知
（1）画出这个函数的图象

（2）当0<a<2时f(a)>f(2),利用函数图象求出a的取值范围
21．已知函数
（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；
（Ⅱ）若，，求的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】换元法后用基本不等式进行求解.
【详解】令，则，
因为，，故，
当且仅当，即时等号成立，故函数有最大值，
由对勾函数的性质可得函数，即有最小值.
故选：B
2、B
【解析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【详解】根据函数奇偶性和单调性，
A，（0，+∞）上是单调递减，错误
B，偶函数，（0，+∞）上是递增，正确．
C，奇函数，错误，
D，x＞0时，（0，+∞）上是函数递减，错误，
故选：B．
【点睛】根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键
3、B
【解析】由结合弧度制求解即可.
【详解】∵，∴
故选：B
4、D
【解析】由已知根据的不同取值，分别作出不同情况下的截面图形，利用数形结合思想能求出结果
【详解】
当时，如图，是四边形，故正确

当时，如图，为等腰梯形，正确；

当时，如图,
由三角形与三角形相似可得，
由三角形与三角形相似可得,，正确

当时，如图是五边形，不正确；

当时，如图是菱形，面积为，正确，
正确的命题为，故选D
【点睛】本题主要考查正方体的截面，意在考查空间想象能力，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题
5、A
【解析】直接利用全称命题的否定即可得到结论
【详解】因为命题p：，，所以：，.
故选：A.
6、D
【解析】举出反例即可判断AC，根据不等式的性质即可判断B，利用作差法即可判断D.
【详解】解：对于A，当时，不成立，故A错误；
对于B，若，则，故B错误；
对于C，当时，，故C错误；
对于D，，
因为，所以，，
所以，即，故D正确.
故选：D.
7、C
【解析】：①若α，则，根据线面垂直的性质可知正确；
②若，则；不正确，也可能是m在α内；错误；
③若，则；据线面垂直的判定定理可知正确；
④若，根据线面平行判定的定理可知正确
得到①③④正确，故选C
8、D
【解析】根据题意，由，分析可得，即可得函数的周期为4，则有，由函数的解析式以及奇偶性可得的值，即可得答案
【详解】解：根据题意，函数满足，即，
则函数的周期为4，
所以
又由函数为奇函数，则，
又由当，时，，
则；
则有；
故选：
【点睛】本题考查函数奇偶性、周期性的应用，注意分析得到函数的周期，属于中档题
9、C
【解析】根据奇函数的定义得到，又由解析式得到，进而得到结果.
【详解】因为函数为奇函数，故得到
当时，，

故选：C.
10、D
【解析】根据时，一定有一个零点，故只需在时有一个零点即可，列出不等式求解即可.
【详解】当时，令，即可得，；
故在时，一定有一个零点；
要满足题意，显然，
令，解得
只需，解得.
故选：D
【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数范围，涉及对数不等式的求解，属综合基础题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用交集的运算解题即可.
【详解】交集即为共同的部分，即.
故答案为：
12、##
【解析】运用均值不等式中“1”的妙用即可求解.
【详解】解：因为，，且，
所以，当且仅当时等号成立，
故答案为：.
13、1或
【解析】由诱导公式、二倍角公式变形计算
【详解】,
所以或，
时，；
时，
故答案为：1或
14、
【解析】根据零点存在性定理判断零点所在区间.
【详解】，，
所以下一次计算可得.
故答案为：
15、
【解析】由解析式可知曲线为半圆，直线恒过；画出半圆的图象，找到直线与半圆有两个交点的临界状态，利用圆的切线的求解方法和两点连线斜率公式求得斜率的取值范围.
【详解】
为恒过的直线
则曲线图象如下图所示：

由图象可知，当直线斜率时，曲线与直线有两个相异交点
与半圆相切，可得：
解得：
又
本题正确结果：
【点睛】本题考查利用曲线与直线的交点个数求解参数范围的问题，关键是能够通过数形结合的方式找到临界状态，易错点是忽略曲线的范围，误认为曲线为圆.
16、5
【解析】根据可得周期，再结合偶函数，可将中的转化到内，可得的值.
【详解】因为，所以，
所以，即函数的一个周期为4，
所以，
又因为是定义在上的偶函数，
所以，
因当，，所以，所以.
故答案为：2.5.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）
【解析】（1）用二次函数法求函数的最小值，要注意定义域，同时由于不确定，要根据对称轴分类讨论
（2）首先用单调性定义证明单调性，可将“函数在区间上是增函数”转化为恒成立问题求即可
【详解】（1）由于，当时，
①若，即，则在为增函数，；
②若，即时，；
③若，即时，在上是减函数，；
综上可得；
（2）在区间上任取，

　　　　　　（*）
在上是增函数

∴（*）可转化为对任意且都成立，即
①当时，上式显然成立
②，由得，解得；
③，由得，，得，
所以实数的取值范围是
【点睛】本题考查二次函数在区间上的最值问题，注意要对对称轴和区间的位置进行讨论，考查单调性的应用，这类问题要转化为恒成立问题，实质还是研究最值，这里就会涉及到构造新函数的问题，本题是一道难度较大的题目
18、（1），定义域
（2），的最大面积为
【解析】（1）由题意可得，再由可求出的取值范围，
（2）设，在直角三角形ADP中利用勾股定理可得，从而可求得，化简后利用基本不等式可求得结果
【小问1详解】
因为，，矩形ABCD的周长为20cm，
所以，因为，所以，
解得．所以，定义域为
【小问2详解】
因为ABCD是矩形，所以有，
因为是沿折起所得，
所以有，，因此有，
，所以≌，因此，
设．而ABCD是矩形，所以，
因此
在直角三角形ADP中，有，
所以，
化简得，
当且仅当时取等号，即时，的最大面积为
19、（1）
（2）见解析
【解析】（1）先确定的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，求得和的值，然后根据，并结合两角和的正弦公式，得解；
（2）由，，结合两角和差的正弦公式，分别求出和的值，即可得证
【小问1详解】
解：因为与都是锐角，
所以，，
又，，
所以，，
所以，，
所以；
【小问2详解】
证明：因为，所以①，
因为，所以②，
①②得，，
①②得，，
故
20、（1）见解析；（2）{a|0＜a＜}.
【解析】（1）由函数整体加绝对值知，只需将函数位于x轴下方的图像关于x对称即可；
（2）利用数形结合，结合a范围即可得解.
【详解】（1）如图：
​
（2）令f(a)=f(2)，即|log3a|=|log32|，解得a=或a=2.从图像可知，当0＜a＜时，满足f(a)＞f(2)，所以a的取值范围是{a|0＜a＜}.
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象及图象变换，利用数形结合解不等式.
21、（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，求得函数在上的单调递增区间，与取交集可得出结果；
（Ⅱ）由可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用两角和的正弦公式可求得的值
详解】（Ⅰ）

令，，得，
令，得；令，得.
因此，函数在区间上的单调递增区间为，；
（Ⅱ）由，得
，，
又，，
因此，

【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.