2025-2026学年安徽省淮南市第一中学创新班数学高一第一学期期末质量检测试题含解析.doc

2025-2026学年安徽省淮南市第一中学创新班数学高一第一学期期末质量检测试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是
A. B.
C. D.
2．下列函数中，满足对定义域内任意实数，恒有的函数的个数为（ ）
① ② ③ ④
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
3．函数的定义域是
A. B.
C. D.
4．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半圆画，则该几何体的体积为（ ）

A B.
C. D.
5．对于每个实数x，设取两个函数中的较小值.若动直线y=m与函数的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为,则的取值范围是（ 　　）
A. B.
C. D.
6．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为（ ）

A.6 B.7
C.2 D.4
7．下列函数中既是奇函数又在定义域上是单调递增函数的是（）
A. B.
C. D.
8．下列区间包含函数零点的为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知,，则（ ）
A. B.
C. D.
10．已知偶函数的定义域为，当时，，若，则的解集为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．给出以下四个结论：
①若函数的定义域为，则函数的定义域是；
②函数（其中，且）图象过定点；
③当时，幂函数的图象是一条直线；
④若，则的取值范围是；
⑤若函数在区间上单调递减，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是___________.
12．已知，，则__________
13．已知函数恰有2个零点，则实数m的取值范围是___________.
14．函数，的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____.
15．已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f(x)在R上恒成立，则a的取值范围是__
16．平面向量，，（R），且与的夹角等于与的夹角，则___.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知二次函数满足，且
求的解析式；
设，若存在实数a、b使得，求a的取值范围；
若对任意，都有恒成立，求实数t取值范围
18．已知扇形的周长为30
（1）若该扇形的半径为10，求该扇形的圆心角，弧长及面积;
（2）求该扇形面积的最大值及此时扇形的半径 .
19．已知函数为奇函数，且
（1）求a和的值；
（2）若，求的值
20．已知函数的部分图象如下图所示.

（1）求函数解析式，并写出函数的单调递增区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.
21．设函数，其中.
（1）求函数的值域；
（2）若，讨论在区间上的单调性；
（3）若在区间上为增函数，求的最大值.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】圆，即.
直线与圆相交于两点,若,
设圆心到直线距离.
则，解得.
即，解得
故选C.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小
2、A
【解析】根据因为函数满足对定义域内任意实数，恒有，可得函数的图象是“下凸”，然后由函数图象判断.
【详解】因为函数满足对定义域内任意实数，恒有，
所以函数的图象是“下凸”，
分别作出函数① ② ③ ④的图象，

由图象知，满足条件的函数有③一个，
故选：A
3、B
【解析】根据根式、对数及分母有意义的原则，即可求得x的取值范围
【详解】要使函数有意义，
则需，解得，
据此可得：函数的定义域为.
故选B.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．本题求解时要注意根号在分母上，所以需要，而不是.
4、C
【解析】由三视图可知，该几何体为半个圆柱，故体积为.
5、C
【解析】如图，作出函数的图象，其中，

设与动直线的交点的横坐标为，
∵图像关于对称
∴
∵
∴
∴
故选C
点睛：本题首先考查新定义问题，首先从新定义理解函数，为此解方程，确定分界点，从而得函数的具体表达式，画出函数图象，通过图象确定三个数中具有对称关系，，因此只要确定的范围就能得到的范围.
6、A
【解析】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积；当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出，计算即可得答案
【详解】根据题意，当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形，
设△ABC的面积为S，则S梯形＝S，水的体积V水＝S×AA1＝6S，
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，
则有V水＝Sh＝6S，故h＝6
故选A
【点睛】本题考点是棱柱的体积计算，考查用体积公式来求高，考查转化思想以及计算能力，属于基础题
7、D
【解析】结合初等函数的奇偶性和单调性可排除选项；再根据奇偶性定义和复合函数单调性的判断方法可证得正确.
【详解】对A，∵是奇函数，在(一∞，0)和(0，+∞)上是单调递增函数，在定义域上不是递增函数，可知A错误；
对B，不是奇函数，可知B错误；
对C，不是单调递增函数，可知C错误；
对D，，则为奇函数；当时，单调递增，由复合函数单调性可知在上单调递增，根据奇函数对称性，可知在上单调递增，则D正确.
故选：D
8、C
【解析】根据零点存在定理，分别判断选项区间的端点值的正负可得答案.
【详解】，，
，，
，又为上单调递增连续函数
故选：C .
9、C
【解析】求出集合，，直接进行交集运算即可.
【详解】，，

故选：C
【点睛】本题考查集合的交集运算，指数函数的值域，属于基础题.
10、D
【解析】先由条件求出参数，得到在上的单调性，结合和函数为偶函数进行求解即可.
【详解】因为为偶函数，所以，解得.
在上单调递减，且.
因为，所以，解得或.
故选：D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、①④⑤
【解析】根据抽象函数的定义域，对数函数的性质、幂函数的定义、对数不等式的求解方法，以及复合函数单调性的讨论，对每一项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对①：因为，，所以的定义域为，
令，故，即的定义域为，故①正确；
对②：当，，图象恒过定点，故②错误；
对③：若，则的图象是两条射线，故③错误；
对④：原不等式等价于，故（无解）或，
解得，故④正确；
对⑤：实数应满足，解得，故⑤正确；
综上所述：正确结论的序号为①④⑤.
【点睛】（1）抽象函数的定义域是一个难点，一般地，如果已知的定义域为，的定义域为，那么的定义域为；如果已知的定义域为，那么的定义域可取为.
（2）形如的复合函数，如果已知其在某区间上是单调函数，我们不仅要考虑在给定区间上单调性，还要考虑到其在给定区间上总有成立.
12、
【解析】构造角，，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开.
【详解】，，，，
，

故答案为：
【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.
13、
【解析】讨论上的零点情况，结合题设确定上的零点个数，根据二次函数性质求m的范围.
【详解】当时，恒有，此时无零点，则，
∴要使上有2个零点，只需即可，
故有2个零点有；
当时，存在，此时有1个零点，则，
∴要使上有1个零点，只需即可，
故有2个零点有；
综上，要使有2个零点，m的取值范围是.
故答案为：.
14、
【解析】令，解得，且恒成立，所以函数的图象恒过定点；故填.
15、﹣≤a≤2
【解析】先求画出函数的图像，然后对的图像进行分类讨论，使得的图像在函数的图像下方，由此求得的取值范围.
【详解】画出函数的图像如下图所示，而，是两条射线组成，且零点为.将向左平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.将向右平移，直到和函数图像相切的位置，联立方程消去并化简得，令判别式，解得.根据图像可知

【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，其中包括二次函数的图像、对勾函数的图像，以及含有绝对值函数的图像，考查恒成立问题的求解方法，考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.形如函数的图像，是引出的两条射线.
16、2
【解析】，与的夹角等于与的夹角，所以

考点：向量的坐标运算与向量夹角

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）或；（3）.
【解析】利用待定系数法求出二次函数的解析式；
求出函数的值域，再由题意得出关于a的不等式，求出解集即可；
由题意知对任意，都有，讨论t的取值，解不等式求出满足条件的t的取值范围
【详解】解：设，因为，所以；；
；；
；解得：；；
函数，若存在实数a、b使得，则，
即，，解得或，
即a的取值范围是或；
由题意知，若对任意，都有恒成立，
即，故有，
由，；
当时，在上为增函数，
，解得，所以；
当，即时，在区间上单调减函数，
，解得，所以；
当，即时，，
若，则，解得；
若，则，解得，
所以，应取；
综上所述，实数t的取值范围是
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想与转化思想，属于难题
18、（1），，；
（2），.
【解析】（1）利用弧长公式，扇形面积公式即得；
（2）由题可得，然后利用基本不等式即求.
【小问1详解】
由题知扇形的半径，扇形的周长为30，
∴，
∴，，.
【小问2详解】
设扇形的圆心角，弧长，半径为，则，
∴，
∴
当且仅当，即取等号，
所以该扇形面积的最大值为，此时扇形的半径为.
19、（1）
（2）
【解析】（1）由可得答案；
（2）利用二倍角公式和诱导公式化简可得，由，可得、，再利用两角差的正弦公式可得答案.
【小问1详解】
得，解得，
经检验，为奇函数，
即.
【小问2详解】

所以，则
因为，所以，
所以
20、（1），递增区间为；
（2）.
【解析】（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由三角函数的图象变换，求得，根据的图象关于直线对称，求得的值，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由图象可知，，
所以，所以，
由图可求出最低点的坐标为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
由，可得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）由题意知，函数，
因为的图象关于直线对称，
所以，即，
因为，所以，所以.
当时，，可得，
所以，即函数的值域为.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
21、（1）
（2）在区间上单调递增，在上单调递减
（3）
【解析】（1）首先化简函数，再求函数的值域；
（2）利用代入法，求的范围，再结合函数的性质，即可求解函数的单调性；
（3）由（1）可知，，首先求的范围，再根据函数的单调区间，求的最大值.
【小问1详解】

，
所以函数的值域是；
【小问2详解】
时，，
当，，
当，即时，函数单调递增，
当，即时，函数单调递减，
所以函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是；
【小问3详解】
若，则，
若函数在区间上为增函数，
则，解得：，
所以的最大值是.