黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年数学高一上期末学业质量监测试题含解析.doc

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年数学高一上期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知，，，则的边上的高线所在的直线方程为（）
A. B.
C. D.
2．若，则的值是（）
A. B.
C. D.1
3．如果全集,,,则
A. B.
C. D.
4．设,若直线与直线平行,则的值为
A. B.
C.或 D.或
5．函数的零点所在区间为（ ）
A.（0，） B.（，）
C.（，1） D.（1，2）
6．垂直于直线且与圆相切的直线的方程是
A
B.
C.
D.
7．已知函数，则
A. B.0
C.1 D.
8．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则的最大值为
A B.
C. D.
9．函数f(x)＝，的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）

A.
B.f（x）的图象关于直线对称
C.f（x）在[－，－]上单调递减
D.该图象向右平移个单位可得的图象
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知扇形周长为4，圆心角为，则扇形面积为__________.
12．若点P（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，则实数k的取值范围为_____
13．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为______
14．函数定义域为____.
15．函数的最小值为______.
16．以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.一些地方的市政检修井盖、方孔转机等都有应用勒洛三角形.如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是___________.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数（且）的图像过点.
（1）求a的值；
（2）求不等式的解集.
18．已知函数）的最大值为2
（1）求m的值；
（2）求使成立的x的取值集合；
（3）将的图象上所有点的横坐标变为原来的）倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若是的一个零点，求t的最大值
19．已知函数
（1）若函数图像关于直线对称,且，求的值；
（2）在（1）的条件下，当时,求函数的值域.
20．（1）已知方程，的值
（2）已知是关于的方程的两个实根，且，求的值
21．已知函数的图象在定义域(0，+∞)上连续不断，若存在常数T>0，使得对于任意的x>0，恒成立，称函数满足性质P(T).
（1）若满足性质P(2)，且，求的值；
（2）若，试说明至少存在两个不等的正数T1、T2，同时使得函数满足性质P(T1)和P(T2)；
（3）若函数满足性质P(T)，求证：函数存在零点.
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先计算，得到高线的斜率，又高线过点，计算得到答案.
【详解】，高线过点
∴边上的高线所在的直线方程为，即.
故选
【点睛】本题考查了高线的计算，利用斜率相乘为是解题的关键.
2、D
【解析】由求出a、b，表示出，进而求出的值.
详解】由,

.
故选：D
3、A
【解析】
根据题意,先确定的范围,再求出即可.
【详解】,
,
故选:A.
【点睛】本题考查集合的运算,属于简单题.
4、B
【解析】由a（a+1）﹣2=0，解得a．经过验证即可得出
【详解】由a（a+1）﹣2=0，解得a=﹣2或1
经过验证：a=﹣2时两条直线重合，舍去
∴a=1
故选B
【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题
5、B
【解析】结合函数的单调性以及零点的存在性定理求得正确答案.
【详解】在上递减，所以，
在上递增，所以，
是定义在上的减函数，
,所以函数的零点在区间.
故选：B
6、B
【解析】设所求直线方程为3x+y+c=0，则d=，解得d=±10.
所以所求直线方程为3x+y+10=0或3x+y－10=0.
7、C
【解析】根据自变量所在的范围先求出，然后再求出
【详解】由题意得，
∴
故选C
【点睛】根据分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所属的范围，然后再代入解析式后可得结果，属于基础题
8、B
【解析】由题意可知,由在上为增函数，得，选B.
9、A
【解析】判断函数的奇偶性，以及函数在上的符号，利用排除法进行判断即可
【详解】∵f(x)＝，
∴，，
∴函数是奇函数，排除D，
当时，，则，排除B，C.
故选：A
10、C
【解析】先根据图像求出即可判断A，利用正弦函数的对称轴及单调性即可判断BC，通过平移变换即可判断D.
【详解】根据函数的部分图象，可得所以，故A正确；
利用五点法作图，可得，可得，所以，令x，求得，为最小值，故函数的图象
关于直线对称，故B正确：当时，，函数f（x）没有单调性，故C错误；把f（x）的图象向右平移个单位
可得的图象，故D正确
故选：C.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】利用扇形的弧长公式求半径，再由扇形面积公式求其面积即可.
【详解】设扇形的半径为，则，可得，而扇形的弧长为，
所以扇形面积为.
故答案为：1.
12、
【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程,点在圆外,则圆心到直线的距离,从而得解.
【详解】∵圆标准方程为，
∴圆心坐标（，），半径r，
若点（1，﹣1）在圆外，
则满足k，且k＞0，
即﹣2＜k，
即实数k的取值范围是（﹣2，）.
故答案为: （﹣2，）
【点睛】本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围,属于基础题.
13、1
【解析】根据题意，由函数在（﹣∞，0）上的解析式可得f（﹣1）的值，又由函数为奇函数可得f（1）=﹣f（﹣1），即可得答案
【详解】根据题意，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=2x3+x2，
则f（﹣1）=2×（﹣1）3+（﹣1）2=﹣1，
又由函数奇函数，
则f（1）=﹣f（﹣1）=1；
故答案为1
【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，注意利用奇偶性明确f（1）与f（﹣1）的关系
14、∪
【解析】根据题意列出满足的条件，解不等式组
【详解】由题意得，即，解得或，从而函数的定义域为∪.
故答案为：∪.
15、
【解析】先根据二倍角余弦公式将函数转化为二次函数，再根据二次函数性质求最值.
【详解】
所以令，则
因此当时，取最小值，
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及二次函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.
16、
【解析】计算出一个弓形的面积，由题意可知，勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，利用弓形和正三角形的面积可求得结果.
【详解】由弧长公式可得，可得，
所以，由和线段所围成的弓形的面积为，
而勒洛三角形由三个全等的弓形以及一个正三角形构成，
因此，该勒洛三角形的面积为.
故答案为：.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）
【解析】（1）代入点坐标计算即可；（2）根据定义域和单调性即可获解
【小问1详解】
依题意有
∴.
【小问2详解】
易知函数在上单调递增，
又，
∴解得.
∴不等式的解集为.
18、（1）
（2）
（3）
【解析】（1）将函数解析式化简整理，然后求出最值，进而得到，即可求出结果；
（2）结合正弦型函数图象，解三角不等式即可求出结果；
（3）结合伸缩变换求出函数的解析式，进而求出零点，然后结合题意即可求出结果.
【小问1详解】

因为的最大值为1，所以的最大值为，
依题意，，解得
【小问2详解】
由（1）知，
由，
得
所以
解得
所以，使成立的x取值集合为
【小问3详解】
依题意，，
因为是的一个零点，所以，
所以
所以，
因为，所以，
所以t的最大值为
19、 (1)w=1;(2) [0，].
【解析】（1）求出函数的对称轴，求出求的值.（2）根据x的范围，利用三角函数的图像和性
质求出f（x）的范围得解.
【详解】（1）∵函数f（x）的图象关于直线对称，
∴kπ，k∈Z，
∴ω＝1k，k∈Z，
∵ω∈（0，2]，
∴ω＝1，
（2）f（x）＝sin（2x），
∵0≤x，
∴2x，
∴sin（2x）≤1，
∴0≤f（x），
∴函数f（x）的值域是[0，]
【点睛】本题考查了正弦函数的单调性、值域问题，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键
20、（1）；（2）
【解析】（1）由已知利用诱导公式化简得到的值，再利用诱导公式化简为含有的形式，代入即可；
（2）由根与系数的关系求出的值，结合的范围求出，进一步求出，即可求的值
【详解】解：（1）由得：，
即，
，

；
（2），是关于的方程的两个实根，
，
解得：，
又，
，
，
即，
解得：，
，
.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是化弦为切.
21、（1）0；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】（1）由满足性质可得恒成立，取可求，取可求，由此可求的值；
(2）设满足，利用零点存在定理证明关于的方程至少有两个解，证明至少存在两个不等的正数，
同时使得函数满足性质和；
（3）分别讨论，，时函数的零点的存在性，由此完成证明.
【小问1详解】
因为满足性质，
所以对于任意的x，恒成立.
又因为，
所以，，
由可得，
所以，；
【小问2详解】
若正数满足，等价于，
记，
显然，，
因为，所以，，即.
因为的图像连续不断，
所以存，使得，
因此，至少存在两个不等的正数，使得函数同时满足性质和.
【小问3详解】
若，则1即为零点；
因为，若，则，矛盾，故，
若，则，，，
可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
若，则由，可得，
由，可得，
由，可得.
取即可使得，又因为的图像连续不断，
所以，当时，函数在上存在零点，
当时，函数在上存在零点，
综上，函数存在零点.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.