2025年辽宁省丹东市通远堡高中高一上数学期末学业水平测试试题含解析.doc

2025年辽宁省丹东市通远堡高中高一上数学期末学业水平测试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间t（单位：月）的关系为，关于下列说法不正确的是（）

A.浮萍每月的增长率为2
B.浮萍每月增加的面积都相等
C.第4个月时，浮萍面积超过
D.若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，、，则
2．函数，若恰有3个零点，则a的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．为了得到函数的图象，可以将函数的图象
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
4．直三棱柱中,若,则异面直线与所成角的余弦值为
A.0 B.
C. D.
5．已知函数则函数值域是（）
A. B.
C. D.
6．设全集，集合，则（）
A.{3，5} B.{2，4}
C.{1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5，6}
7．若，是第二象限的角，则的值等于（ ）
A. B.7
C. D.-7
8．在三角形中，若点满足，则与的面积之比为（ ）
A. B.
C. D.
9．已知点，，，且满足，若点在轴上，则等于
A. B.
C. D.
10．在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若关于方程恰好有6个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________.
12．已知集合，，则__________
13．边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________
14．已知，，向量与的夹角为，则________
15．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中"方田"章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离（等于半径长与圆心到弦的距离之差），现有圆心角为2，半径为1米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是_________平方米.（结果保留两位有效数字，参考数据：，）

16．已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知圆经过，两点，且圆心在直线上
（）求圆的方程
（）过的直线与圆相交于，且，求直线的方程
18．已知,当时，.
（1）若函数的图象过点，求此时函数的解析式；
（2）若函数只有一个零点，求实数a的值.
19．在①两个相邻对称中心的距离为，②两条相邻对称轴的距离为，③两个相邻最高点的距离为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并对其求解
问题：函数的图象过点，且满足__________．当时，，求的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
20．已知，函数.
（1）求函数的定义域；
（2）求函数的零点；
（3）若函数的最大值为2，求的值.
21．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，点D，E分别为AB，AC的中点．求证：

（1）DE∥平面PBC；
（2）CD⊥平面PAB
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、B
【解析】先利用特殊点求出函数解析式为，再利用指数函数的性质即可判断出正误
【详解】解：图象可知，函数过点，
，
函数解析式为，
浮萍每月的增长率为，故选项A正确，
函数是指数函数，是曲线型函数，浮萍每月增加的面积不相等，故选项B错误，
当时，，故选项C正确，
对于D选项，，，，，
又，，故选项D正确，
故选：B
2、B
【解析】画出的图像后，数形结合解决函数零点个数问题.
【详解】做出函数图像如下

由得，由得
故函数有3个零点
若恰有3个零点，即函数与直线有三个交点，
则a的取值范围，
故选：B
3、D
【解析】因为，所以将函数的图象向左平移个单位，选D.
考点：三角函数图像变换
【易错点睛】对y＝Asin（ωx＋φ）进行图象变换时应注意以下两点：
（1）平移变换时，x变为x±a（a＞0），变换后的函数解析式为y＝Asin[ω（x±a）＋φ]；
（2）伸缩变换时，x变为（横坐标变为原来的k倍），变换后的函数解析式为y＝Asin（x＋φ）
4、A
【解析】
连接，在正方形中，，
又直三棱柱中，，即，所以面.
所以，所以面，面，所以，
即异面直线与所成角为90°，所以余弦值为0.
故选A.
5、B
【解析】结合分段函数的单调性来求得的值域.
【详解】当吋，单调递增，值域为；当时，单调递增，值域为，故函数值域为.
故选：B
6、D
【解析】先求补集，再求并集.
详解】，则.
故选：D
7、B
【解析】先由同角三角函数关系式求出，再利用两角差的正切公式即可求解.
【详解】因为，是第二象限的角，
所以，所以.
所以.
故选：B
8、B
【解析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断P、Q两点所在位置，比较两个三角形的面积关系
【详解】因为，所以，即，得点P为线段BC上靠近C点的三等分点，又因为，所以，即，得点Q为线段BC上靠近B点的四等分点，所以，所以与的面积之比为，选择B
【点睛】平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系
9、C
【解析】由题意得，
∴
设点的坐标为，
∵，
∴，
∴，解得
故选：C
10、C
【解析】设AC=x，则BC=12-x（0＜x＜12）
矩形的面积S=x（12-x）＞20
∴x2-12x+20＜0
∴2＜x＜10
由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率
考点：几何概型

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】作出函数的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为在区间上有两个不等的实根，列出不等式组求解即可.
【详解】当，结合“双勾”函数性质可画出函数的简图，如下图，

令，
则由已知条件知，方程在区间上有两个不等的实根，
则，即实数的取值范围为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题 .
12、
【解析】因为集合，，所以，故答案为.
13、2
【解析】

取的中点，连接，，
则，
则为二面角的平面角

点睛：取的中点，连接，，根据正方形可知，，则为二面角的平面角，在三角形中求出的长．本题主要是在折叠问题中考查了两点间的距离．折叠问题要注意分清在折叠前后哪些量发生了变化，哪里量没变
14、1
【解析】由于.
考点：平面向量数量积；
15、
【解析】由题设可得“弦”为，“矢”为，结合弧田面积公式求面积即可.
【详解】由题设，“弦”为，“矢”为，
所以所得弧田面积是.
故答案为：.
16、
【解析】由题意得出方程有唯一实数解或有两个相等的实数解，然后讨论并求解当和时满足题意的参数的值.
【详解】∵集合A有且仅有2个子集，可得A中仅有一个元素，即方程仅有一个实数解或有两个相等的实数解.
当时，方程化为，∴，此时，符合题意；
当时，则由，，令时解方程得，此时，符合题意，令时解方程得，此时符合题意；
综上可得满足题意的参数可能的取值有0，-1，1，∴a的取值构成的集合为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了由集合子集的个数求参数的问题，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）（2）x＝2或15x﹣8y﹣30＝0
【解析】（1）由圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上，可设圆C的圆心为（a，2a﹣2），半径为r，再由圆C过点A（1，4），B（3，6）两点，列关于a，r的方程组，求解可得a，r的值，则圆C的方程可求；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，求得M，N的坐标，可得|MN|＝2，满足题意；当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），则kx﹣y﹣2k＝0，由|MN|＝2，可得圆心到直线的距离为1，由点到直线的距离公式列式求得k值，则直线l的方程可求
【详解】解：（1）∵圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上，
∴设圆C的圆心为（a，2a﹣2），半径为r，
又∵圆C过点A（1，4），B（3，6）两点，
∴，解得，
则圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝2，
联立，
解得M（2，4），N（2，4），
此时|MN|；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣2），则kx﹣y﹣2k＝0，
∵|MN|＝2，
∴圆心到直线的距离为d，解得k，
则直线l的方程为15x﹣8y﹣30＝0，
综上，直线l的方程为x＝2或15x﹣8y﹣30＝0

【点睛】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是中档题
18、 (1) (2)或.
【解析】（1）由计算；
（2）只有一个解，由对数函数性质转化为方程只有一个正根，分，和讨论
【详解】（1）,当时，.
函数的图象过点，
，解得，
此时函数.
（2）
，
∵函数只有一个零点，
只有一个正解，
∴当时，，满足题意；
当时，只有一个正根，若，解得，此时，满足题意；
若方程有两个相异实根，则两根之积为，此时方程有一个正根，符合题意；
综上，或.
【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布问题．解题时注意函数的定义域，在转化时要正确确定　方程根的范围，对多项式方程，要按最高次项系数为0和不为0进行分类讨论
19、选①②③，答案相同，均为
【解析】选①②可以得到最小正周期，从而得到，结合图象过的点，可求出，从而得到，进而得到，接下来用凑角法求出的值；选③，可以直接得到最小正周期，接下来过程与选①②相同.
【详解】选①②：由题意得：的最小正周期，则，结合，解得：，因为图象过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，
；
选③：由题意得：的最小正周期，则，结合，解得：，因为图象过点，所以，因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以，
；
20、（1）；（2）零点为或；（3）.
【解析】（1）由函数的解析式可得，解可得的取值范围，即可得答案，
（2）根据题意，由函数零点的定义可得，即，解可得的值，即可得答案，
（3）根据题意，将函数的解析式变形可得，设，分析的最大值可得的最大值为，则有，解可得的值，即可得答案.
【详解】解：（1）根据题意，，
必有，解可得，
即函数的定义域为，
（2），若，
即，即，
解可得：或，
即函数的零点为或，
（3），
设，，
则，有最大值4，
又由，则函数有最大值，
则有，解可得，故.
21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】(1)由点D、E分别为AB、AC中点得知DE∥BC,由此证得DE∥平面PBC;
(2)要证CD⊥平面PAB,只需证明垂直平面内的两条相交直线与即可.
【详解】（1）因为点D、E分别为AB、AC中点，
所以DE∥BC
又因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，
所以DE∥平面PBC
（2）因为CA＝CB，点D为AB中点，
所以CD⊥AB
因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，
所以PA⊥CD
又因为PA∩AB＝A，
所以CD⊥平面PAB

【点睛】本题考查线面平行的证明,线面垂直的证明,属于基础题.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.