湖北省仙桃、天门、潜江三市2025-2026学年数学高二第一学期期末经典试题含解析.doc

湖北省仙桃、天门、潜江三市2025-2026学年数学高二第一学期期末经典试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．数列满足，，，则数列的前8项和为（）
A.25 B.26
C.27 D.28
2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为、，左顶点为，左焦点为，若直线与直线互相垂直，则椭圆的离心率为
A. B.
C. D.
3．已知，是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球的表面积为（）
A. B.
C. D.
4．设命题，，则为（）.
A.， B.，
C.， D.，
5．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是3，则点到另一个焦点的距离为（ ）
A.9 B.7
C.5 D.3
6．在单调递减的等比数列中，若，，则（ ）
A.9 B.3
C. D.
7．若椭圆与直线交于两点,过原点与线段AB中点的直线的斜率为,则
A. B.
C. D.2
8．已知{}为等比数列.，则＝ （ ）
A.—4 B.4
C.—4或4 D.16
9．设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
10．已知抛物线， 为坐标原点，以为圆心的圆交抛物线于、两点，交准线于、两点，若，，则抛物线方程为（ ）
A. B.
C. D.
11．已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，点T在抛物线C的准线上，线段FT与抛物线C的交点为W，，则（ ）
A.1 B.
C. D.
12．已知是上的单调增函数，则的取值范围是
A.﹣1b2 B.﹣1b2
C.b﹣2或b2 D.b﹣1或b2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x=_____________，y=_____________

14．已知，动点满足，则点的轨迹方程为___________.
15．曲线在x=1处的切线方程为__________.
16．中国的西气东输工程把西部地区的资源优势变为经济优势，实现了天然气能源需求与供给的东西部衔接，工程建设也加快了西部及沿线地区的经济发展.输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，水平横向移动输气管经过此拐角，从宽为的峡谷拐入宽为的峡谷，如图所示，位于峡谷悬崖壁上两点，的连线恰好经过拐角内侧顶点(点，，在同一水平面内)，设与较宽侧峡谷悬崖壁所成的角为，则的长为______(用表示).要使输气管顺利通过拐角，其长度不能低于______.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某双曲线型自然冷却通风塔的外形是由图1中的双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转一周所形成的曲面，如图2所示.双曲线的左、右顶点分别为、.已知该冷却通风塔的最窄处是圆O，其半径为1；上口为圆，其半径为；下口为圆，其半径为；高（即圆与所在平面间的距离）为.

（1）求此双曲线的方程；
（2）以原平面直角坐标系的基础上，保持原点和x轴、y轴不变，建立空间直角坐标系，如图3所示.在上口圆上任取一点，在下口圆上任取一点.请给出、的值，并求出与的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.若不存在，请说明理由；若存在，求出点P、Q的坐标，并证明此时线段PQ上任意一点都在曲面上.
18．（12分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2.
（1）求C的方程：
（2）过C上一动点P作圆两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值.
19．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，过点的直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若以为直径的圆过坐标原点，求的值.
20．（12分）直线：和：
（1）若两直线垂直，求m的值；
（2）若两直线平行，求平行线间的距离
21．（12分）已知的离心率为，短轴长为2，F为右焦点
（1）求椭圆的方程；
（2）在x轴上是否存在一点M，使得过F的任意一条直线l与椭圆的两个交点A，B，恒有，若存在求出M的坐标，若不存在，说明理由
22．（10分）为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的北偏西45°方向km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系

（1）试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；
（2）某日经观测发现，在该平台O正南10km C处，有一艘轮船正以每小时km的速度沿北偏东45°方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】根据通项公式及求出，从而求出前8项和.
【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则数列的前8项和为.
故选：C
2、C
【解析】依题意，直线与直线互相垂直，

，
，
故选
3、C
【解析】当平面时，三棱锥体积最大，根据棱长与球半径关系即可求出球半径，从而求出表面积.
【详解】当平面时，三棱锥体积最大.
又，则三棱锥体积，解得；
故表面积.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查三棱锥与球的组合体的综合问题，本题的关键是判断当平面时，三棱锥体积最大.
4、B
【解析】根据全称命题和特称命题互为否定，即可得到结果.
【详解】因为命题，，所以为，.
故选：B.
5、A
【解析】根据椭圆定义求得即可.
【详解】由椭圆定义知，点P到另一个焦点的距离为2×6-3=9.
故选：A
6、A
【解析】利用等比数列的通项公式可得，结合条件即求.
【详解】设等比数列的公比为，则
由，，得
，解得或，
又单调递减，
故，.
故选：A.
7、D
【解析】细查题意，把代入椭圆方程，得，整理得出，设出点的坐标，由根与系数的关系可以推出线段的中点坐标，再由过原点与线段的中点的直线的斜率为，进而可推导出的值.
【详解】联立椭圆方程与直线方程，
可得，
整理得，
设，
则，
从而线段的中点的横坐标为，纵坐标，
因为过原点与线段中点的直线的斜率为，
所以，
所以，
故选D.
【点睛】该题是一道关于直线与椭圆的综合性题目，涉及到的知识点有直线与椭圆相交时对应的解题策略，中点坐标公式，斜率坐标公式，属于简单题目.
8、B
【解析】根据题意先求出公比，进而用等比数列通项公式求得答案.
【详解】由题意，设公比为q，则，则.
故选：B.
9、B
【解析】根据双曲线定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.
【详解】解：因为在双曲线中，因为，
所以，
所以，
在中，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.

10、C
【解析】设圆的半径为，根据已知条件可得出关于的方程，求出正数的值，即可得出抛物线的方程.
【详解】设圆的半径为，抛物线的准线方程为，由勾股定理可得，
因为，将代入抛物线方程得，可得，
不妨设点，则，所以，，解得，
因此，抛物线的方程为.
故选：C.
11、B
【解析】根据平面向量共线的性质，结合抛物线的定义进行求解即可.
【详解】由已知得：，该抛物线的准线方程为：，所以设，
因为，所以，
由抛物线的定义可知：，
故选：B
12、A
【解析】利用三次函数的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题
【详解】∵
∴
∵函数是上的单调增函数
∴在上恒成立
∴，即.
∴
故选A.
【点睛】可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上（或）（在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式来进行求解.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.3 ②.5
【解析】根据茎叶图进行数据分析，列方程求出x、y.
【详解】由题意，甲组数据为56，62，65，70+x，74；乙组数据为59，61，67，60+y，78.
要使两组数据中位数相等，有65=60+y，所以y=5.
又平均数相同，则，解得x=3.
故答案为：3；5.
14、
【解析】表示出、，根据题意，列出等式，化简整理即可得答案.
【详解】，
由题意得，所以
整理可得，即.
故答案为：.
15、
【解析】根据导数的几何意义求切线方程的斜率并求出，再由点斜式写出切线方程即可.
【详解】由题设，，则，而，
所以在x=1处的切线方程为，即.
故答案为：.
16、 ①. ②.
【解析】(1)利用三角关系分别利用表示、即可求解；(2)利用导数求最小值的方法即可求解.
【详解】过点分别作，，垂足分别为，，

则，
在中，，则，同理可得，
所以.
令，
则，
令，，得，即，
由，解得，
当时，；当时，，
所以当时，取得极小值，也是最小值，
则，
故输气管的长度不能低于m.
故答案为：；.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2），，，；
（3）存在，或，证明见解析.
【解析】（1）设双曲线的标准方程为，易知，设，，代入求解即可；
（2）分析圆，圆的方程即可求解；
（3）利用圆的参数方程，设，，利用，即可求解，再利用线段PQ上任意一点的特征证明点在曲面上；
【小问1详解】
设双曲线的标准方程为，由题意知，
点，的横坐标分别为，，
则设点，的坐标为，，，，
，解得，，
又塔高米，，解得，
故所求的双曲线的方程为
【小问2详解】
点在圆上，；点在圆上，；
圆，其半径为，；圆，其半径为，
【小问3详解】
存在点P、Q，使得P、A、Q三点共线.
由点在半径为的圆上，（为参数）；
点在半径为的圆上，（为参数）；
由已知得，
整理得
两式平方求和得，
则或
当时，，
当时，
证明：，则，
利用，，其中
又曲面上的每一点可以是圆与旋转任意坐标系上的双曲线的交点，
旋转直角坐标系，保持原点和y轴不变，点所在的轴为轴，
此时，满足，即
即点是曲面上的点.

18、（1）
（2）
【解析】(1)根据抛物线方程求出交点坐标和准线方程，求出p即可；
(2)设，利用两点坐标求距离公式求出，根据四边形PAMB的面积得到关于的二次函数，结合二次函数的性质即可得出结果.
【小问1详解】
因为C的焦点为，准线为，
由题意得，即，因此.
【小问2详解】
圆M的圆心为，半径为1.
由条件可知，，且，
于是.
设，则.
当时等号成立，所以四边形PAMB面积的最小值为.
19、 (1) ；(2)
【解析】（1）由离心率得到，由椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，得到，进而可求出结果；
（2）先由题意，得直线的斜率存在，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，设，根据韦达定理，得到，，再由以为直径的圆过坐标原点，得到，进而可求出结果.
详解】(1)由题意知，
∴，即 ，
又双曲线的焦点坐标为，椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合，
所以，∴，
故椭圆的方程为.
(2)解：由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为
由得：
由得：
设，则，，
∴
因为以为直径的圆过坐标原点，
所以，

.满足条件
故.
【点睛】本题主要考查椭圆的方程，以及椭圆的应用，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，解决此类问题时，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、判别式等求解，属于常考题型.
20、（1）；
（2）
【解析】（1）由直线一般方程的垂直公式，即得解；
（2）由直线一般方程的平行公式，求得，再由平行线的距离公式，即得解.
【小问1详解】
∵两直线垂直，∴，解得
【小问2详解】
∵两直线平行，∴，
解得或1，经过验证时两条直线重合，舍去．∴
可得：直线：，：
∴两直线间的距离
21、（1）；
（2）存在点M满足条件，点M的坐标为.
【解析】(1)根据给定条件直接计算出即可求解作答.
(2)假定存在点，当直线l与x轴不重合时，设出l的方程，与椭圆C的方程联立，
借助、斜率互为相反数计算得解，再验证直线l与x轴重合的情况即可作答.
【小问1详解】
依题意，，而离心率，即，解得，
所以椭圆C的方程为：.
【小问2详解】
由(1)知，，假定存在点满足条件，当直线与x轴不重合时，设l的方程为：，
由消去x并整理得：，设，
则有，因，则直线、斜率互为相反数，
于是得：，整理得，即，
则有，即，而m为任意实数，则，
当直线l与x轴重合时，点A，B为椭圆长轴的两个端点，点也满足，
所以存在点M满足条件，点M的坐标为.
【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆相交的问题，常把直线与椭圆的方程联立，消去x(或y)建立
一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
22、（1）；
（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时
【解析】（1）先求出A，B的坐标，再由距离公式得出A，B之间的距离；
（2）由三点的坐标列出方程组得出经过三点的圆的方程，设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全警示区内行驶时长.
【小问1详解】
由题意得，∴；
【小问2详解】
设圆的方程为，
因为该圆经过三点，∴，得到.
所以该圆方程为：，
化成标准方程为：.
设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为：，
圆心（6，8）到直线的距离，
所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区.
直线与圆截得的弦长为，行驶时长小时.
即在安全警示区内行驶时长为半小时.